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Reihenkonvergenz: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:43 Mi 19.11.2014
Autor: lukasana

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(((n+1)^2)/n!) [/mm]

Ich habe bereits versucht mit dem Quotientenkriterium die Reihe zu lösen allerdings komme ich auf einen sehr unübersichtlichen Bruch..
Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich hier möglichst elegant vorgehen kann?

Mit freundlichen Grüßen


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reihenkonvergenz: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 19.11.2014
Autor: Loddar

Hallo lukasana!


Das ist hier aber ein ziemlich klassischer Fall für das Quotientenkriterium.

Rechne doch mal vor. Auf jeden Fall lässt sich schnell einiges kürzen und vereinfachen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Reihenkonvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mi 19.11.2014
Autor: lukasana

Mit Hilfe des Quotientenkriteriums erhalte ich:

lim sup [mm] ((n+2)^2)/(n+1)!*(n!/(n+1)^2) [/mm]

Anscheinend fehlt mir hier eine Rechenregel mit der ich das vereinfachen kann?

Bezug
                        
Bezug
Reihenkonvergenz: Kürzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mi 19.11.2014
Autor: Infinit

Hallo,
kürze doch mal die (n+1)! gegen die n!, das hilft.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                
Bezug
Reihenkonvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mi 19.11.2014
Autor: lukasana

Ich kann doch mit (n+1)! und n! kürzen?
Oder gibt es da eine Rechenregel?

Danke für die schnellen Antworten!

Bezug
                                        
Bezug
Reihenkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mi 19.11.2014
Autor: ito

[mm] $(n+1)!=(n+1)n(n-1)...3\cdot2\cdot1$ [/mm] analoges gilt für $n!$
VG

Bezug
                                        
Bezug
Reihenkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mi 19.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich kann doch mit (n+1)! und n! kürzen?
>  Oder gibt es da eine Rechenregel?

offenbar gilt

    [mm] $(n+1)!=(n+1)*n!\,.$ [/mm]

Beweis:

    [mm] $(n+1)!=\produkt_{k=1}^{n+1}k=\left(\produkt_{k=1}^{n}k\right)*(n+1)=(n+1)*\left(\produkt_{k=1}^{n}k\right)=(n+1)*n!$ [/mm]

P.S. Bei solchen Fragen vielleicht auch erstmal einfache Beispiele probieren:

    $4!/3!=(4*3*2*1)/(3*2*1)=4$

    [mm] $7!/6!=(7*6*5*4*3*2*1)/(6*5*4*3*2*1)=7\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Reihenkonvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Mi 19.11.2014
Autor: lukasana

Danke Marcel für die ausführliche Antwort!

Mit freundlichen Grüßen

Bezug
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