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Forum "Folgen und Reihen" - Reihenkovergenz Beweis
Reihenkovergenz Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Reihenkovergenz Beweis: Idee für den Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Di 04.08.2015
Autor: mathelernender

Aufgabe
Gegeben seien die Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k}. [/mm] Weiter gilt [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] <= [mm] \bruch{b_{k+1}}{b_{k}} [/mm] für alle k >= N [mm] \in \IN. [/mm]

Zeige, dass folgende Implikation gilt:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergent


Guten Abend,

ich bräuchte bei dieser Aufgabe einen "Starttipp".

Die Aufgabe sieht zwar sehr nach Quotientenkriterium aus, allerdings ist dieses ja nur hinreichend und nicht notwendig für die Konvergenz einer Reihe. Deshalb stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch - ich weiß nicht so recht etwas mit dem Quotienten anzufangen. Ich würde vermuten, dass bk Majorante zu ak ist, aber das kann man ja so aus dem Quotient nicht lesen, oder?

Viele Grüße und dankeschön und einen schönen Abend weiterhin!

        
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Mi 05.08.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Gegeben seien die Reihen [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] ak und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] bk. Weiter gilt [mm]\bruch{ak+1}{ak}[/mm] <=
> [mm]\bruch{bk+1}{bk}[/mm] für alle k >= N [mm]\in \IN.[/mm]

Durch deine Formatierung ist die Aufgabenstellung absolut nicht klar.
Soll nun [mm]\bruch{a_k+1}{a_k} \le \bruch{b_k+1}{b_k}[/mm]  oder [mm]\bruch{a_{k+1}}{a_k} \le \bruch{b_{k+1}}{b_k}[/mm] gelten. Korrigiere das bitte und nutze zukünftig den Formeleditor für eine eindeutige Darstellung.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Mi 05.08.2015
Autor: mathelernender

Hi,

tut mir leid, Du hast natürlich vollkommen recht. Ich habe es korrigiert.

Bezug
        
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:15 Mi 05.08.2015
Autor: UniversellesObjekt

Sollen die Reihen nichtnegative Glieder haben? Es ist $ [mm] a_k\le \dfrac {b_k}{b_{k-1}}*a_{k-1} \le\dots [/mm] $. Benutze das Majorantenkriterium.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 Mi 05.08.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Uni,

> Sollen die Reihen nichtnegative Glieder haben? Es ist
> [mm]a_k\le \dfrac {b_k}{b_{k-1}}*a_{k-1} \le\dots [/mm]. Benutze das
> Majorantenkriterium.

die Abschätzung ist klar, aber mich würde interessieren, wie du damit das Majorantenkriterium nutzen willst.
Es gilt zwar (unter der Annahme der Nichtnegativität) sicher [mm] $\frac{b_k}{b_{k-1}}\in(0,\infty)$, [/mm] aber ich sehe insbesondere nichts, was dagegen spräche, dass [mm] $\frac{b_k}{b_{k-1}}$ [/mm] immer mal wieder über alle Grenzen wächst.

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Mi 05.08.2015
Autor: fred97


> Hallo Uni,
>  
> > Sollen die Reihen nichtnegative Glieder haben? Es ist
> > [mm]a_k\le \dfrac {b_k}{b_{k-1}}*a_{k-1} \le\dots [/mm]. Benutze das
> > Majorantenkriterium.
>  
> die Abschätzung ist klar, aber mich würde interessieren,
> wie du damit das Majorantenkriterium nutzen willst.
> Es gilt zwar (unter der Annahme der Nichtnegativität)
> sicher [mm]\frac{b_k}{b_{k-1}}\in(0,\infty)[/mm], aber ich sehe
> insbesondere nichts, was dagegen spräche, dass
> [mm]\frac{b_k}{b_{k-1}}[/mm] immer mal wieder über alle Grenzen
> wächst.
>  
> Gruß,
>  Gono


Wir können  $ [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le \bruch{b_{k+1}}{b_{k}}$ [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 1 annehmen. Da alle [mm] a_k [/mm] und alle [mm] b_k [/mm] positiv sind, zeigt man induktiv:

    [mm] a_k \le b_k* \bruch{a_1}{b_1} [/mm]  für alle k.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Mi 05.08.2015
Autor: UniversellesObjekt

Hallo Gono & Fred,

Genau darauf wollte ich mit den Pünktchen hinaus.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                        
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Do 06.08.2015
Autor: Gonozal_IX

Vielen Dank!

Bezug
        
Bezug
Reihenkovergenz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Do 06.08.2015
Autor: fred97

Die Aussage obiger Aufgabe könnte man "Verallgemeinertes Quotientenkriterium" nennen. Also:

A: Verallgemeinertes Quotientenkriterium:

Sind [mm] (a_k) [/mm] und [mm] (b_k) [/mm] Folgen in $(0, [mm] \infty)$ [/mm] und gilt

     $ [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le \bruch{b_{k+1}}{b_{k}} [/mm] $ für fast alle $k$,

so folgt aus der Konvergenz von $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] $ die Konvergenz von $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] $.



Aus A folgt dann

B: Quotientenkriterium:

Ist [mm] (a_k) [/mm] eine Folge in $(0, [mm] \infty)$ [/mm] und gilt mit einem $q [mm] \in [/mm] [0,1)$:

     $ [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le [/mm] q $ für fast alle $k$,

so ist $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] $ konvergent.

Beweis: in A setze man [mm] $b_k:=q^k$ [/mm]  ($k [mm] \in \IN$). [/mm] $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_{k} [/mm] $ ist bekanntlich konvergent.






FRED










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