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Rekursive Darstellung Folgen: Folge a_n= vs. a_n+1=
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Mo 15.01.2018
Autor: asg

Hallo zusammen,

was ist besser? Eine Folge als

1. [mm] $a_n [/mm] = ...$ oder
2. [mm] $a_{n+1} [/mm] = ...$

anzugeben?

Beispiel:

i)
[mm] $a_0 [/mm] = 1; [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{a_{n-1}}{2} [/mm] oder

[mm] $a_0 [/mm] = 1; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_n}{2} [/mm]

ii)
[mm] $a_0 [/mm] = 0; [mm] a_n [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + 3 oder

[mm] $a_0 [/mm] = 0; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + 3

Für mich ist die 1. Variante intuitiver, aber ich vermute, die 2. Variante ist die gängigere.

Gibt es Fälle, in denen man eine der Varianten nicht verwenden kann?


Danke

Viele Grüße
Asg




        
Bezug
Rekursive Darstellung Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Mo 15.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gibt keine "bessere" Variante.
Beide Varianten sind gleichwertig, denn ist

[mm] $a_n [/mm] = [mm] f(a_{n-1})$ [/mm]

für eine beliebige Funktion f so ergibt dieselbe Gleichung durch die Substitution $n = k+1$

[mm] $a_{k+1} [/mm] = [mm] f(a_{k})$ [/mm]

die von dir erwähnte "andere" Form.
Letztendlich sind beide äquivalent und man kann nach eigenem Belieben entscheiden, welche man wählt.

Gruß,
Gono





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Bezug
Rekursive Darstellung Folgen: Danke! [GELÖST]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:18 Di 16.01.2018
Autor: asg

Hallo Gono,

> es gibt keine "bessere" Variante.
>  Beide Varianten sind gleichwertig, denn ist
>  
> [mm]a_n = f(a_{n-1})[/mm]
>  
> für eine beliebige Funktion f so ergibt dieselbe Gleichung durch die Substitution [mm]n = k+1[/mm]
>  
> [mm]a_{k+1} = f(a_{k})[/mm]
>  
> die von dir erwähnte "andere" Form.

Ah! ok - daran hatte ich nicht gedacht.

>  Letztendlich sind beide äquivalent und man kann nach eigenem Belieben entscheiden, welche man wählt.

Gut, dass es mir nun klar geworden, da ich sonst immer etwas unsicher war.

Dankeschön und viele Grüße

Asg

Bezug
                        
Bezug
Rekursive Darstellung Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Di 16.01.2018
Autor: HJKweseleit

Du musst aber darauf achten, wo du mit deiner Zählung anfängst.

Beispiel:

[mm] a_0=1 [/mm]
[mm] a_{n+1}=3a_n [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm] funktioniert nicht, denn dann ginge es weiter mit [mm] a_2=3a_1, [/mm] aber [mm] a_1 [/mm] wäre nicht definiert.

[mm] a_{n}=3a_{n-1} [/mm] würde funktionieren.

Im obigen Fall könntst du aber mit
[mm] a_1=1 [/mm]
[mm] a_{n+1}=3a_n [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm]

statt mit [mm] a_0 [/mm] anfangen, und es würde gehen.

Bezug
                                
Bezug
Rekursive Darstellung Folgen: Einwand
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Di 16.01.2018
Autor: Diophant

Hallo HJKweseleit,

> Du musst aber darauf achten, wo du mit deiner Zählung
> anfängst.

>

> Beispiel:

>

> $ [mm] a_0=1 [/mm] $
> $ [mm] a_{n+1}=3a_n [/mm] $ für $ [mm] n\in \IN [/mm] $ funktioniert nicht, denn dann
> ginge es weiter mit $ [mm] a_2=3a_1, [/mm] $ aber $ [mm] a_1 [/mm] $ wäre nicht
> definiert.

das ist so nicht ganz richtig. Die zentrale Frage ist (wie so oft), was man unter [mm] \IN [/mm] verstehen möchte. Gehört also die 0 zu den natürlichen Zahlen oder nicht.

Tut sie dies (wie in der Analysis meiner Kenntnis nach üblich), dann gibt es kein Problem.

Tut sie es nicht, dann tritt theoretisch das von dir geschilderte Problem auf, wobei für diesen Fall der Index 0, also die Bezeichnung [mm] a_0 [/mm] für das Anfangsglied, ziemlich sinnfrei ist, denn dann würde man konsequenterweise bei 1 mit der Zählung beginnen.


Gruß, Diophant

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Rekursive Darstellung Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 17.01.2018
Autor: DieAcht

Hier stand Quark.
Bezug
                                                
Bezug
Rekursive Darstellung Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Mi 17.01.2018
Autor: Diophant


> Seine Aussage ist richtig, denn [mm]a_2[/mm] bleibt undefiniert,
> egal ob nun die Null zu /N gehört oder nicht.

Hä?

[mm] a_0=1 [/mm]
[mm] a_1=3*a_0=3 [/mm]
[mm] a_2=3*a_1=9 [/mm]

?

EDIT: Ok, obiges war ein Missverständnis.

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