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Relation und Komplexe Zahlen: Richtiger Weg?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Di 30.01.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Relation R= {(u,v) [mm] \in \IC [/mm] | u - v [mm] \in \IR [/mm] } eine Äquivalenzrelation ist und geben Sie ihre Äquivalenzklassen an.


Hallo,
wie muss ich denn die Komplexen Zahlen mit einbeziehen?
Ich versteh das so:
u ist quasi = [mm] (x_{1}+i*y_{1}) [/mm]
v ist quasi = [mm] (x_{2}+i*y_{2}) [/mm]

Für die reflexivität
zu zeigen: [mm] \forall u\in \IC [/mm] uRu [mm] \gdw [/mm] u-u [mm] \in \IR [/mm]
Sei u [mm] \in \IC =(x_{1}+i*y_{1}) \Rightarrow (x_{1}+i*y_{1}) [/mm] - [mm] (x_{1}+i*y_{1}) [/mm] = 0,
0 ist [mm] \in \IR \Rightarrow [/mm] uRu

Ich wusste jetzt nicht wie ich es genau aufschreiben soll.
Lieben Gruß

        
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Di 30.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Zeigen Sie, dass die Relation [mm]R= \{(u,v) \in \IC | u - v \in \IR\}[/mm]
> eine Äquivalenzrelation ist und geben Sie ihre
> Äquivalenzklassen an.

>

> Hallo,
> wie muss ich denn die Komplexen Zahlen mit einbeziehen?
> Ich versteh das so:
> u ist quasi = [mm](x_{1}+i*y_{1})[/mm]
> v ist quasi = [mm](x_{2}+i*y_{2})[/mm]

>

Ja, genau. Und was muss denn da für die beiden Imaginärteile wohl gelten, damit die Differenz u-v reell ist?

> Für die reflexivität
> zu zeigen: [mm]\forall u\in \IC[/mm] uRu [mm]\gdw[/mm] u-u [mm]\in \IR[/mm]
> Sei u [mm]\in \IC =(x_{1}+i*y_{1}) \Rightarrow (x_{1}+i*y_{1})[/mm]
> - [mm](x_{1}+i*y_{1})[/mm] = 0,
> 0 ist [mm]\in \IR \Rightarrow[/mm] uRu

>

Das ist schon richtig.

> Ich wusste jetzt nicht wie ich es genau aufschreiben soll.

Für die Symmetrie und die Transitivität bentötigst du die Antwort auf meine obige Frage, dann kannst du beide Eiegenschaften zeigen und dies auf ähnliche Weise wie bei der Reflexivität hinschreiben.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Di 30.01.2018
Autor: LeFlair


> Ja, genau. Und was muss denn da für die beiden
> Imaginärteile wohl gelten, damit die Differenz u-v reell
> ist?

i= 0, dadurch ist der Imaginärteil weg und ich bin nur in den Reellen Zahlen unterwegs!?
da
uRv = [mm] (x_{1}+ i*y_{1})-(x_{2}+ i*y_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}-x_{2}) [/mm] + [mm] i*(y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}) [/mm]



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Relation und Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 30.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > Ja, genau. Und was muss denn da für die beiden
> > Imaginärteile wohl gelten, damit die Differenz u-v reell
> > ist?
> i= 0,

Nein. [mm] i^2=-1, [/mm] das kannst du nicht einfach umdefinieren. ;-)

> dadurch ist der Imaginärteil weg und ich bin nur
> in den Reellen Zahlen unterwegs!?
> da
> uRv = [mm](x_{1}+ i*y_{1})-(x_{2}+ i*y_{2})[/mm] = [mm](x_{1}-x_{2})[/mm] +
> [mm]i*(y_{1}[/mm] - [mm]y_{2})[/mm]

Für die komplexe Zahl

[mm] u=x_1+i*y_1 [/mm]

heißt [mm] y_1 [/mm] der Imaginärteil von z. Kurz:

[mm] Im(z)=y_1 [/mm]

Jetzt nochmal: was muss für die Imaginärteile zweier komplexer zahlen gelten, damit ihre Differenz reell ist (damit hättest du ja sofort auch die Äquivalenzklassen dieser Relation)?


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Di 30.01.2018
Autor: LeFlair


> Jetzt nochmal: was muss für die Imaginärteile zweier
> komplexer zahlen gelten, damit ihre Differenz reell ist
> (damit hättest du ja sofort auch die Äquivalenzklassen
> dieser Relation)?

Die Imaginärteile sind Element der reellen Zahlen.
$Im(z) [mm] \in \IR$ [/mm]

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Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Di 30.01.2018
Autor: fred97


> > Jetzt nochmal: was muss für die Imaginärteile zweier
> > komplexer zahlen gelten, damit ihre Differenz reell ist
> > (damit hättest du ja sofort auch die Äquivalenzklassen
> > dieser Relation)?
>  
> Die Imaginärteile sind Element der reellen Zahlen.
>  [mm]Im(z) \in \IR[/mm]


Das gilt  doch für jede komplexe Zahl!

Denk also noch  mal nach.



Bezug
                                
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Di 30.01.2018
Autor: LeFlair


> Jetzt nochmal: was muss für die Imaginärteile zweier
> komplexer zahlen gelten, damit ihre Differenz reell ist
> (damit hättest du ja sofort auch die Äquivalenzklassen
> dieser Relation)?

[mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind beides imaginärteile von z?
$lm(z) = [mm] y_1, y_2$ [/mm]
Ich glaub ich hab nen Knoten im Kopf..

Bezug
                                        
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Di 30.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich glaub ich hab nen Knoten im Kopf..

jo, oder nicht richtig nachgedacht!
Du hast zwei komplexe Zahlen [mm] $z_1,z_2$ [/mm] und es gilt [mm] $z_1 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] iy_1, z_2 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] iy_2$ [/mm]

[mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] stehen in Relation zueinander, wenn [mm] $z_1 [/mm] - [mm] z_2 \in \IR$ [/mm]

Nun ist [mm] $z_1 [/mm] - [mm] z_2 [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2) [/mm] + [mm] i(y_1 [/mm] - [mm] y_2)$, [/mm] wann ist das nun eine reelle Zahl?

Gruß,
Gono

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Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Di 30.01.2018
Autor: LeFlair

Es macht grad einfach nicht mehr klick..
Ich werd Morgen nochmal drübergucken und hoffen, das der Groschen fällt.

Was überseh ich?

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Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Di 30.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

i ist bekanntlich die Imaginäre Einheit. Jede Zahl der Form a*i nennt man 'imaginäre Zahl', und insbesondere sind diese Zahlen nicht reell. Bis auf eine Ausnahme: 0*i=0. Und jetzt kommt die Preisfrage:

Welchen Wert muss die Differenz a*i-b*i=(a-b)*i haben, damit sie reell ist? Und für welche Paare (a,b) ist das der Fall?

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Mi 31.01.2018
Autor: LeFlair


Hallo

> Welchen Wert muss die Differenz a*i-b*i=(a-b)*i haben,
> damit sie reell ist?

a-b muss = 0 ergeben

> Und für welche Paare (a,b) ist das
> der Fall?

Für gleiche Paare, also muss a=b sein, aber dürfen sie das?

Gruß

Bezug
                                                                        
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mi 31.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo
> > Welchen Wert muss die Differenz a*i-b*i=(a-b)*i haben,
> > damit sie reell ist?

>

> a-b muss = 0 ergeben

>

> > Und für welche Paare (a,b) ist das
> > der Fall?
> Für gleiche Paare, also muss a=b sein, aber dürfen sie
> das?

Laut Grundgesetz: eindeutig ja! ;-)

Im Ernst: das herauszufinden war im Prinzip der Sinn der Aufgabe. Mit dem Wissen dürfte es jetzt auch nicht schwer sein, Symmetrie und Transitivität nachzuweisen (für letztere addiere zwei naheliegende Gleichungen).

Und natürlich bilden alle komplexen Zahlen mit jeweils gleichem Imaginärteil bezüglich dieser Äquivalenzrelation eine Äquivalenzklasse.


Gruß, Diophant 

Bezug
                                                                                
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Mi 31.01.2018
Autor: LeFlair


> Im Ernst: das herauszufinden war im Prinzip der Sinn der
> Aufgabe. Mit dem Wissen dürfte es jetzt auch nicht schwer
> sein, Symmetrie und Transitivität nachzuweisen (für
> letztere addiere zwei naheliegende Gleichungen).

u-v + v-w [mm] \in \IR \Rightarrow (x_1-x_2) [/mm] + [mm] i*(y_1-y_2) [/mm] + [mm] (x_2-x_3) [/mm] + [mm] i*(y_2-y_3) \Rightarrow x_1-x_2+x_2-x_3 \Rightarrow x_1-x_3 \in \IR [/mm]
Somit transitiv

Danke für die Zeit, die Sie schon für mich aufgewendet haben!
Gruß

Bezug
                                                                                        
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Mi 31.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> u-v + v-w [mm]\in \IR \Rightarrow (x_1-x_2)[/mm] + [mm]i*(y_1-y_2)[/mm] +
> [mm](x_2-x_3)[/mm] + [mm]i*(y_2-y_3) \Rightarrow x_1-x_2+x_2-x_3 \Rightarrow x_1-x_3 \in \IR[/mm]

>

> Somit transitiv

>

Nein, so ist das viel zu umständlich. Seien [mm] z_1{R}z_2 [/mm] sowie [mm] z_2{R}z_3. [/mm] Daraus folgen

[mm] y_1-y_2=0 [/mm]
[mm] y_2-y_3=0 [/mm]

Beide Gleichungen addiert:

[mm] y_1-y_3=0 [/mm]

Und daraus folgt die Transitivität.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                        
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Mi 31.01.2018
Autor: chrisno

>... aber dürfen sie das?
Das "dürfen" zeigt an, dass Du da noch gedanklich auf einen falschen Weg bist.
Nur dann stehen u und v in Relation zueinander, wenn dies gilt. Also geht es nicht um "dürfen", sondern eher um "müssen".

Da ich gerade schreibe:

> u ist quasi = $ [mm] (x_{1}+i\cdot{}y_{1}) [/mm] $

wieso nur "quasi"?

> zu zeigen: $ [mm] \forall u\in \IC [/mm] $ uRu $ [mm] \gdw [/mm] $ u-u $ [mm] \in \IR [/mm] $

Ich meine, es sollte da stehen: $ [mm] \forall u\in \IC [/mm] $ gilt: uRu
So lese ich, dass die Äquivalenz für alle u gelten soll.



Bezug
                                                                                
Bezug
Relation und Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:50 Mi 31.01.2018
Autor: LeFlair


> >... aber dürfen sie das?
> Das "dürfen" zeigt an, dass Du da noch gedanklich auf
> einen falschen Weg bist.
>  Nur dann stehen u und v in Relation zueinander, wenn dies
> gilt. Also geht es nicht um "dürfen", sondern eher um
> "müssen".

Das stimmt, ich hab gedanklich nicht das Prinzip mit "gegeben" und "zu zeigen"
berücksichtigt. Da u-v [mm] \in \IR [/mm] ja gegeben ist, setzt es dadurch ja [mm] y_1=y_2 [/mm] vorraus.

Danke an alle die sich die Mühe gemacht haben mich auf den richtigen Weg zu führen!!
DANKE!!
und Gruß

Bezug
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