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Residuum berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 Fr 26.06.2015
Autor: JoOtt

Aufgabe
Finden Sie die Singularitäten der folgenden holomorphen Funktionen und bestimmen Sie, von welcher Art sie sind. Berechnen Sie bei Polen auch das Residuum.

[mm] f(z)=\bruch{z}{e^z-1} [/mm]

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

ich höre gerade Analysis IV und bin zum ersten mal mit Singularitäten und Residuen konfrontiert - und kräftig überfordert.

Muss ich, um Singularitäten und deren Ordnung zu ermitteln immer erst die Laurantreihe zu der Funktion aufstellen? Wenn ja, dann brauch ich dafür auch noch Hilfe.

Anschaulich hätte ich bei dieser "einfachen" Funktion gesagt, dass sie einen Pol erster Ordnung bei [mm] z_{0}=0 [/mm] hat. Stimmt das schonmal? Um die Ordnung des Pols zu berechnen, müsste ich ja aber wieder das [mm] c_{n} [/mm] von der Laurantreihe wissen...

Angenommen meine Vermutung stimmt, wie kriege ich dann das Residuum heraus? Es gilt doch
[mm] Res_{f}=\limes_{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)=\limes_{z\rightarrow 0}(z-z_{0})\bruch{z}{e^z-1} [/mm]
...aber dann folgt doch "anschaulich" : [mm] 0*\bruch{0}{e^0-1}, [/mm] wobei [mm] (e^0-1)\rightarrow [/mm] 0 und somit [mm] 0*\bruch{0}{0}. [/mm] Wenn ich mir den Bruch mit L'hopital anschaue bekomme ich [mm] 1/e^z [/mm] und somit für [mm] z\rightarrow [/mm] 0, dass [mm] Res_{f}=0 [/mm] ist.

Stimmt das so?

Sorry, wie ihr merkt bin ich noch sehr verwirrt in dem Thema

Danke für jegliche Hilfe!

        
Bezug
Residuum berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Fr 26.06.2015
Autor: fred97


> Finden Sie die Singularitäten der folgenden holomorphen
> Funktionen und bestimmen Sie, von welcher Art sie sind.
> Berechnen Sie bei Polen auch das Residuum.
>  
> [mm]f(z)=\bruch{z}{e^z-1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> ich höre gerade Analysis IV und bin zum ersten mal mit
> Singularitäten und Residuen konfrontiert - und kräftig
> überfordert.
>  
> Muss ich, um Singularitäten und deren Ordnung

Nur bei Polen hat man auch eine Ordnung.


> zu ermitteln
> immer erst die Laurantreihe zu der Funktion aufstellen?

Nein, das muss man nicht.


> Wenn ja, dann brauch ich dafür auch noch Hilfe.
>
> Anschaulich hätte ich bei dieser "einfachen" Funktion
> gesagt, dass sie einen Pol erster Ordnung bei [mm]z_{0}=0[/mm] hat.
> Stimmt das schonmal?


Nein. Setzen wir [mm] g(z):=e^z. [/mm]

Dann: [mm] \bruch{e^z-1}{z}= \bruch{g(z)-g(0)}{z-0} \to [/mm] g'(0)=1  für z [mm] \to [/mm] 0.

Es folgt:  [mm] \limes_{z \rightarrow 0}f(z)=1. [/mm]

Damit hat f in [mm] z_0=0 [/mm] eine hebbare Singularität.


f hat noch weitere isolierte Singularitäten. Welche ?


FRED



> Um die Ordnung des Pols zu berechnen,
> müsste ich ja aber wieder das [mm]c_{n}[/mm] von der Laurantreihe
> wissen...
>  
> Angenommen meine Vermutung stimmt, wie kriege ich dann das
> Residuum heraus? Es gilt doch
>  [mm]Res_{f}=\limes_{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)=\limes_{z\rightarrow 0}(z-z_{0})\bruch{z}{e^z-1}[/mm]
>  
> ...aber dann folgt doch "anschaulich" : [mm]0*\bruch{0}{e^0-1},[/mm]
> wobei [mm](e^0-1)\rightarrow[/mm] 0 und somit [mm]0*\bruch{0}{0}.[/mm] Wenn
> ich mir den Bruch mit L'hopital anschaue bekomme ich [mm]1/e^z[/mm]
> und somit für [mm]z\rightarrow[/mm] 0, dass [mm]Res_{f}=0[/mm] ist.
>
> Stimmt das so?
>  
> Sorry, wie ihr merkt bin ich noch sehr verwirrt in dem
> Thema
>  
> Danke für jegliche Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Residuum berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Fr 26.06.2015
Autor: JoOtt

Hallo Fred,  danke schonmal für deine Antwort.

Klar, die Funktion hat natürlich auch noch alle Vielfachen von [mm] 2\pi [/mm] i als Singularitäten, wie konnte ich das nur übersehen.

Aus einer Beispielaufgabe folgere ich, dass es sich hierbei aber um einen Pol 1. Ordnung an [mm] 2in\pi [/mm] für [mm] n\in\IZ\{0} [/mm] handelt. (Die Funktion dort lautet [mm] \bruch{z}{sin(z)} [/mm] und die Aussage ist, dass es eine hebbare Singularität in z=0 und eben Pol 1. Ordnung in [mm] n\pi [/mm] handelt. Allerdings steht da leider nur die Lösung und kein Lösungsweg. Vielleicht könnte man mir da ein bisschen auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank nochmal

Bezug
                        
Bezug
Residuum berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Fr 26.06.2015
Autor: Chris84


> Hallo Fred,  danke schonmal für deine Antwort.
>  
> Klar, die Funktion hat natürlich auch noch alle Vielfachen
> von [mm]2\pi[/mm] i als Singularitäten, wie konnte ich das nur
> übersehen.
>
> Aus einer Beispielaufgabe folgere ich, dass es sich hierbei
> aber um einen Pol 1. Ordnung an [mm]2in\pi[/mm] für [mm]n\in\IZ\{0}[/mm]
> handelt. (Die Funktion dort lautet [mm]\bruch{z}{sin(z)}[/mm] und
> die Aussage ist, dass es eine hebbare Singularität in z=0
> und eben Pol 1. Ordnung in [mm]n\pi[/mm] handelt. Allerdings steht
> da leider nur die Lösung und kein Lösungsweg. Vielleicht
> könnte man mir da ein bisschen auf die Sprünge helfen?

Ich weiss natuerlich nicht, wie ihr das in der Vorlesung gelernt habt, aber wenn $f(z)$ einen Pol $n$-ter Ordnung in [mm] $z_0$ [/mm] hat, dann existiert

[mm] $\lim\limits_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)^n [/mm] f(z)$

>  
> Vielen Dank nochmal


Bezug
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