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Forum "Funktionalanalysis" - Residuumsatz Beispiel lösen
Residuumsatz Beispiel lösen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Residuumsatz Beispiel lösen: Integral 1/(x^2+a^2)^3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Di 14.07.2015
Autor: Basti1987chiller

Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden reellen Integrale, indem Sie sie jeweils auf ein Integral entlang
eines geschlossenen Weges in der komplexen Ebene zuruckfuhren. Werten Sie anschlieend
dieses komplexe Integral mit Hilfe des Residuensatzes aus. [mm] 1/(x^2+a^2)^3 [/mm]

http://matheraum.de/forum/reelles_Integral_Residuensatz/t698168
zeigt ein sehr gutes beispiel kann ich da einfach die nullstellen ai und -ai für i und 2i insetzen oder geht das dann nicht mehr

vielen dank schon mal fürs antworten

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

        
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Mi 15.07.2015
Autor: fred97


> Berechnen Sie die folgenden reellen Integrale, indem Sie
> sie jeweils auf ein Integral entlang
>  eines geschlossenen Weges in der komplexen Ebene
> zuruckfuhren. Werten Sie anschlieend
>  dieses komplexe Integral mit Hilfe des Residuensatzes aus.
> [mm]1/(x^2+a^2)^3[/mm]
>  
> http://matheraum.de/forum/reelles_Integral_Residuensatz/t698168
>  zeigt ein sehr gutes beispiel kann ich da einfach die
> nullstellen ai und -ai für i und 2i insetzen oder geht das
> dann nicht mehr

Du benötigst hier nur die Singularität von  [mm]1/(z^2+a^2)^3[/mm] mit Imaginärteil >0.

Wir können (wg [mm] a^2) [/mm] von a>0 ausgehen. Um welche Sing. handelt es sich also ?

FRED

>  
> vielen dank schon mal fürs antworten
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:


Bezug
        
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mi 15.07.2015
Autor: Basti1987chiller

Ah d.h. es handelt sich um eine Polstelle?
Und ich muss dann deshalb nur den komplexen positiven teil betrachten oder?
und das heißt dass ich ich den residuumsatz nur auf ai anwenden muss und nicht mehr auf -ai
Aber wie geht es dann weiter ?

Bezug
                
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Mi 15.07.2015
Autor: fred97


> Ah d.h. es handelt sich um eine Polstelle?
>  Und ich muss dann deshalb nur den komplexen positiven teil
> betrachten oder?
>  und das heißt dass ich ich den residuumsatz nur auf ai
> anwenden muss und nicht mehr auf -ai
>  Aber wie geht es dann weiter ?


Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz#Praktische_Anwendung

FRED

Bezug
                        
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Mi 15.07.2015
Autor: Basti1987chiller

ich verstehe wikipedia nicht sonst hätt ich hier nicht gefragt
was soll überhaupt das "deg" in wiki heißen?

Bezug
                                
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mi 15.07.2015
Autor: Chris84


> ich verstehe wikipedia nicht sonst hätt ich hier nicht
> gefragt
> was soll überhaupt das "deg" in wiki heißen?

Was genau ist daran denn nicht verstaendlich? Du hast doch $f$ gegeben und kennst die Polstellen (der oberen Halbebene).

Deg heisst uebrigens degree, gemeint ist der Grad der Funktion (der hoechste Exponent einer Potenzfunktion)

Bezug
                                
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Mi 15.07.2015
Autor: fred97

Aus wiki:

"Ist [mm] f=\tfrac{p}{q} [/mm] Quotient zweier Polynome mit [mm] \operatorname{deg}\,p+2\leq\operatorname{deg}\,q [/mm] und [mm] q(z)\neq [/mm] 0 für alle [mm] z\in\mathbb{R}, [/mm] ist

   $ [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x [/mm] = [mm] 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in \mathbb{H}}\operatorname{Res}_a [/mm] f(z),$

wobei [mm] \mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im} z>0\} [/mm] die obere Halbebene ist"




[mm] $\operatorname{deg} [/mm] p$ = Grad des Polynoms $p$

Bei Dir ist $p=1$ und [mm] $q(z)=(z^2+a^2)^3$ [/mm]

f hat also die Singularitäten $ia$ und $-ia$. Wie oben schon gesagt: wir können von $a [mm] \ge [/mm] 0$ ausgehen.

Damit hat f nur eine Sing. in [mm] \mathbb{H}, [/mm] nämlich $ia$.

Damit ist

   [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2+a^2)^3}\mathrm{d}x =\operatorname{Res}_{ia} \frac{1}{(z^2+a^2)^3}. [/mm]

Edit: es lautet natürlich richtig so:


[mm] $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2+a^2)^3}\mathrm{d}x [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \operatorname{Res}_{ia} \frac{1}{(z^2+a^2)^3}.$ [/mm]

Das Residuum zu berechnen, überlasse ich Dir.

FRED

Bezug
                                        
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Mi 15.07.2015
Autor: Basti1987chiller

vielen dank für deine ausgezeichnete antwort eine anmerkung noch muss vor dem Residuum nicht noch 2 pi i stehen oder lieg ich falsch?


Bezug
                                                
Bezug
Residuumsatz Beispiel lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:32 Do 16.07.2015
Autor: fred97


> vielen dank für deine ausgezeichnete antwort eine
> anmerkung noch muss vor dem Residuum nicht noch 2 pi i
> stehen oder lieg ich falsch?

Du liegst richtig. Da hab ich was verschlampert. Werde es korrigieren.

FRED

>  


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