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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Richtungsableitung bestimmen
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Richtungsableitung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Do 26.04.2012
Autor: Ciotic

Aufgabe
Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion  [mm] f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/mm] im Punkt a=(1,1) in Richtung von [mm] n=(\bruch{1}{\wurzel{2}},-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{T} [/mm]


Hallo zusammen, ich weiß, mal wieder, nicht weiter.

Ich würde jetzt zunächst den Richtungsvektor normieren, dabei komme ich aber auf 0.

Jetzt weiß ich nicht so recht, wie ich weiter Vorgehen soll.

Danke !

        
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 26.04.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich würde jetzt zunächst den Richtungsvektor normieren,
> dabei komme ich aber auf 0.

Prinzipiell ein guter Plan: nur wenn du genau hinsiehst, wirst du feststellen, dass dein Richtungsvektor bereits normiert ist.

Die restliche Vorgehensweise ist dir klar?


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Do 26.04.2012
Autor: Ciotic

Alles klar, ergibt Sinn. Den normierte Vektor erkennt man daran, dass der noch transformiert werden muss, richtig ?

Ich habe dann den Gradienten der Fkt. gebildet, daraus dann den Gradienten an dem Punkt. Letzteren mit dem Richtungsvektor multiplizieren.

Ich komme Schlussendlich auf [mm] 4\wurzel{2}. [/mm]

Bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist ?

Danke !

Bezug
                        
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Do 26.04.2012
Autor: fred97


> Alles klar, ergibt Sinn. Den normierte Vektor erkennt man
> daran, dass der noch transformiert werden muss, richtig ?
>  
> Ich habe dann den Gradienten der Fkt. gebildet, daraus dann
> den Gradienten an dem Punkt. Letzteren mit dem
> Richtungsvektor multiplizieren.
>
> Ich komme Schlussendlich auf [mm]4\wurzel{2}.[/mm]

Ich komme auf

[mm]2\wurzel{2}.[/mm]

FRED

>  
> Bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist ?
>
> Danke !


Bezug
                                
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Do 26.04.2012
Autor: Ciotic

Stimmt, ich habe mich vertan.  Dieses Verdahren wird immer so angewandt? Oder gibt es einfachere Verfahren?

Danke Euch beiden!



Bezug
                                        
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 26.04.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Stimmt, ich habe mich vertan. Dieses Verdahren wird immer
> so angewandt? Oder gibt es einfachere Verfahren?

Es ist die Definition Berechnungsvorschrift der Richtungsableitung (für den Fall. dass sie existiert):

[mm]\bruch{\partial}{\partial\overrightarrow{e}}f(\overrightarrow{x_0})=\bigtriangledown f(\overrightarrow{x_0})*\overrightarrow{e}[/mm]

wobei [mm] \overrightarrow{e} [/mm] der normierte Richtungsvektor ist. Von daher sollte man es auch so anwenden. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Do 26.04.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Stimmt, ich habe mich vertan. Dieses Verdahren wird immer
> > so angewandt? Oder gibt es einfachere Verfahren?
>  
> Es ist die Definition der Richtungsableitung:
>  
> [mm]\bruch{\partial}{\partial\overrightarrow{e}}f(\overrightarrow{x_0})=\bigtriangledown f(\overrightarrow{x_0})*\overrightarrow{e}[/mm]


Hallo Diophant,
ich muß Dich korrigieren: die Definition der Richtungsableitung ist

   [mm] $\bruch{\partial f}{\partial e}(x_0):=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}$ [/mm]

falls dieser GW existiert.

Ist f in [mm] x_0 [/mm] sogar differenzierbar, so ex. obiger GW und es gilt

              [mm] $\bruch{\partial f}{\partial e}(x_0)=gradf(x_0)*e$ [/mm]


Gruß FRED

>  
> wobei [mm]\overrightarrow{e}[/mm] der normierte Richtungsvektor ist.
> Von daher sollte man es auch so anwenden. :-)
>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                                                        
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Do 26.04.2012
Autor: Diophant

Hallo FRED,

> Hallo Diophant,
> ich muß Dich korrigieren: die Definition der
> Richtungsableitung ist
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial e}(x_0):=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}[/mm]
>
> falls dieser GW existiert.

danke fürs Aufpassen: ich habe Definition und Berechnungsvorschrift verwechselt. Ich werde oben noch einen Hinweis einauen.

Gruß&schönen Tag, Diophant

Bezug
        
Bezug
Richtungsableitung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Do 26.04.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Funktion  
> [mm]f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}[/mm] im Punkt a=(1,1) in
> Richtung von
> [mm]n=(\bruch{1}{\wurzel{2}},-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{T}[/mm]
>  
> Hallo zusammen, ich weiß, mal wieder, nicht weiter.
>
> Ich würde jetzt zunächst den Richtungsvektor normieren,
> dabei komme ich aber auf 0.


Das Du Dich dabei verrechnet hast hätte Dir auffallen müssen !!!  Denn es gilt

            $ n=0  [mm] \gdw [/mm] ||n||=0$

FRED

>
> Jetzt weiß ich nicht so recht, wie ich weiter Vorgehen
> soll.
>
> Danke !


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