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Forum "Integralrechnung" - Rotationskörper um y-Achse
Rotationskörper um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Rotationskörper um y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Mo 13.11.2017
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers.

a) Rotation um die x-Achse

f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm]   im Intervall [1;4]

b) Die Umkehrfunktion soll nun um die y-Achse rotieren.


zu a)  Rotationskörper um x-Achse...

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dx} [/mm]

V = [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{(\bruch{1}{2}x^2)^2 dx} [/mm]


V = [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4}x^4 dx} [/mm]

[mm] \pi*[\bruch{1}{20}*x^5] [/mm]

[mm] \pi*(\bruch{1}{2}*4^5 [/mm] - [mm] \bruch{1}{20}*1^5) [/mm] = [mm] \bruch{1023}{20}\pi [/mm]


richtig?


zu b)

Wenn ich die Umkehrfunktion um die y-Achse rotieren lasse, warum kommt dann (hier) nicht dasselbe Rotationsvolumen heraus???

Mache ich etwas falsch?

Danke für eure Hilfe!


f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm]

y = [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm]  | *2


2y = [mm] x^2 [/mm]  | [mm] \wurzel{} [/mm]

[mm] \wurzel{2y} [/mm] = x   <=>  [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \wurzel{2y} [/mm]


Ansatz

V = [mm] \pi*\integral_{f(1)}^{f(4)}{(f^{-1})^2 dy} [/mm]


V = [mm] \pi*\integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{2y})^2 dy} [/mm]

V = [mm] \pi*\integral_{0,5}^{8}{2y dy} [/mm]

[mm] \pi*[y^2] [/mm]   = [mm] \pi*[8^2 -0,5^2] [/mm] = [mm] \bruch{255}{4}*\pi [/mm]


???












        
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mo 13.11.2017
Autor: leduart

Hallo
erste Rechnung richtig.
1. Umkehrfunktion ist y= [mm] \sqrt(2x) [/mm]
Rotation um die [mm] y-Achse:\pi*\int x^2 [/mm] dy
nun dy=f'(x)*dx  mit [mm] f'(x)=2/\sqrt(2x) [/mm]
also [mm] \int x^2 dy=\int x^2 *2/\sqrt(2x) [/mm] nun sieh dir die Grenzen am besten auf der Zeichnung an, Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 Di 14.11.2017
Autor: hase-hh

Äh, welche Zeichnung?

Bezug
                        
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:46 Di 14.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Äh, welche Zeichnung?

leduart meint sicher die Skizze, welche Du selbstverständlich angefertigt hast.

LG Angela


Bezug
                
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:57 Di 14.11.2017
Autor: hase-hh


> Hallo
>  erste Rechnung richtig.
>  1. Umkehrfunktion ist y= [mm]\sqrt(2x)[/mm]
>  Rotation um die [mm]y-Achse:\pi*\int x^2[/mm] dy
>  nun dy=f'(x)*dx  mit [mm]f'(x)=2/\sqrt(2x)[/mm]

also f ' (x) = [mm] 2*\bruch{1}{\wurzel{2x}} [/mm]  ok...

>  also [mm]\int x^2 dy=\int x^2 *2/\sqrt(2x)[/mm]

Wie kommst du auf [mm] x^2 [/mm]  ???

nun sieh dir die

> Grenzen am besten auf der Zeichnung an, Gruß leduart




Bezug
                        
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Di 14.11.2017
Autor: angela.h.b.


> > Hallo
>  >  erste Rechnung richtig.
>  >  1. Umkehrfunktion ist y= [mm]\sqrt(2x)[/mm]

Diese Funktion, [mm] g(x)=\wurzel{2x} [/mm] soll nun um die y-Achse rotieren.

[mm] V=\integral_{...}^{...}(g^{-1}(y))^2 [/mm] dy

leduart substituiert nun [mm] x=g^{-1}(y) [/mm]


>  >  Rotation um die [mm]y-Achse:\pi*\int x^2[/mm] dy
>  >  nun dy=f'(x)*dx  mit [mm]f'(x)=2/\sqrt(2x)[/mm]
>  
> also f ' (x) = [mm]2*\bruch{1}{\wurzel{2x}}[/mm]  ok...
>  
> >  also [mm]\int x^2 dy=\int x^2 *2/\sqrt(2x)[/mm]

>
> Wie kommst du auf [mm]x^2[/mm]  ???

Durch die Substitution [mm] x=g^{-1}(y). [/mm]
[mm] y=g(x)=\wurzel{2x} [/mm]
dy= ...

LG Angela

>  
> nun sieh dir die
> > Grenzen am besten auf der Zeichnung an, Gruß leduart
>
>
>  


Bezug
        
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Di 14.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers.
>  
> a) Rotation um die x-Achse
>  
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]   im Intervall [1;4]
>  
> b) Die Umkehrfunktion soll nun um die y-Achse rotieren.
>  
> zu a)  Rotationskörper um x-Achse...
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dx}[/mm]
> [...
> [mm]\bruch{1023}{20}\pi[/mm]
>  
>
> richtig?
>  
>
> zu b)
>
> Wenn ich die Umkehrfunktion um die y-Achse rotieren lasse,
> warum kommt dann (hier) nicht dasselbe Rotationsvolumen
> heraus???

Es sollte in der Tat dasselbe herauskommen.

>  
> Mache ich etwas falsch?
>  
> Danke für eure Hilfe!
>  
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]
>  
> y = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]  | *2
>  
>
> 2y = [mm]x^2[/mm]  | [mm]\wurzel{}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{2y}[/mm] = x   <=>  [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\wurzel{2y}[/mm]

Okay, die Umkehrfunktion g von f ist gefunden,
es [mm] g(x)=\wurzel{2x}, x\in [/mm] [f(1),f(4)]= [0.5,8]

Die Funktion g soll nun um die y-Achse rotieren, also ist zu berechnen

V = [mm]\pi*\integral_{g(0.5)}^{g(8)}{(g^{-1}(y)^2 dy}[/mm],

und so sollte es dann auch klappen.


Dein Fehler war, daß Du nicht die Umkehrfunktion von f um die y-Achse rotieren ließest, sondern die Funktion f selbst.

LG Angela

>  
>
> Ansatz
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{f(1)}^{f(4)}{(f^{-1})^2 dy}[/mm]
>  
>
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{2y})^2 dy}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{2y dy}[/mm]
>  
> [mm]\pi*[y^2][/mm]   = [mm]\pi*[8^2 -0,5^2][/mm] = [mm]\bruch{255}{4}*\pi[/mm]
>  
>
> ???
>  
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Di 14.11.2017
Autor: hase-hh

Moin,

d.h. ich bilde die Umkehrfunktion (Aufgabenstellung), und weil ich diese dann um die y-Achse rotiere, bilde ich dazu wiederum die Umkehrfunktion!?





Bezug
                        
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Di 14.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Moin,
>  
> d.h. ich bilde die Umkehrfunktion (Aufgabenstellung), und
> weil ich diese dann um die y-Achse rotiere, bilde ich dazu
> wiederum die Umkehrfunktion!?

Ja,genau!

LG Angela

>  
>
>
>  


Bezug
        
Bezug
Rotationskörper um y-Achse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 14.11.2017
Autor: HJKweseleit


> Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers.
>  
> a) Rotation um die x-Achse
>  
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]   im Intervall [1;4]
>  
> b) Die Umkehrfunktion soll nun um die y-Achse rotieren.
>  
> zu a)  Rotationskörper um x-Achse...
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dx}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{(\bruch{1}{2}x^2)^2 dx}[/mm]
>  
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4}x^4 dx}[/mm]
>  
> [mm]\pi*[\bruch{1}{20}*x^5][/mm]
>
> [mm]\pi*(\bruch{1}{2}*4^5[/mm] - [mm]\bruch{1}{20}*1^5)[/mm] =
> [mm]\bruch{1023}{20}\pi[/mm]
>  
>
> richtig?
>  
>
> zu b)
>
> Wenn ich die Umkehrfunktion um die y-Achse rotieren lasse,
> warum kommt dann (hier) nicht dasselbe Rotationsvolumen
> heraus???
>  
> Mache ich etwas falsch?
>  
> Danke für eure Hilfe!
>  
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]
>  
> y = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]  | *2
>  
>
> 2y = [mm]x^2[/mm]  | [mm]\wurzel{}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{2y}[/mm] = x   <=>  [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\wurzel{2y}[/mm]

>  
>



Wenn wir mal mit x und y (statt mit f) arbeiten, hattest du zu Beginn y = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] und nach deiner Umformung
[mm] x=\wurzel{2y}. [/mm]

Das ist aber noch keine Umkehrfunktion, sondern nur eine Umstellung der Ausgangsfunktion nach x!!!

Die Umkehrfunktion ergib sich nun daraus, dass du (vor oder nach der Umstellung) die Variablen x und y gegeneinander austauscht:
[mm] y=\wurzel{2x} [/mm]

Die lässt du nun um die y-Achse rotieren, und dazu musst du in der Formel für den Rotationskörper auch überall x und y vertauschen:


Statt V = [mm]\pi*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 dx}[/mm] nun  V = [mm]\pi*\integral_{y_1}^{y_2}{x^2 dy}[/mm] = ...(mit [mm] y=\wurzel{2x}, [/mm] NICHT [mm] x=\wurzel{2y}) [/mm] ...= [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4}y^4 dy}[/mm]

Und da steht nun das selbe Integral wie oben, nur mit dem Buchstaben y statt x, und deshalb kommt auch das selbe heraus. Und das ganz ohne Substitution...




> Ansatz
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{f(1)}^{f(4)}{(f^{-1})^2 dy}[/mm]
>  
>
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{2y})^2 dy}[/mm]
>  
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{2y dy}[/mm]
>  
> [mm]\pi*[y^2][/mm]   = [mm]\pi*[8^2 -0,5^2][/mm] = [mm]\bruch{255}{4}*\pi[/mm]
>  
>
> ???
>  
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>  


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