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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz über implizite Funktionen
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Satz über implizite Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:40 Mo 11.12.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Dieser "Satz über implizite Funktionen" ist in Analysis 1 vom Forster sehr lang (3 Seiten). Bevor ich dessen Beweis verstehe, möchte ich erst einmal die Bemerkungen verstehen, welche geschrieben stehen.

Zunächst einmal der Satz:

Seien [mm] U_{1} \subset \IR^{k} [/mm] und [mm] U_{2} \subset \IR^{m} [/mm] offene Teilmengen und

F: [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR^{m}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] F(x,y),

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei (a,b) [mm] \in U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} [/mm] ein Punkt mit

F(a,b) = 0.

Die m x m Matrix

[mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] := [mm] \frac{\partial(F_{1}, ..., F_{m})}{\partial (y_{1}, ..., y_{m})} [/mm] := [mm] \pmat {\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}} [/mm]

sei im Punkt (a,b) invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung [mm] V_{1} \subset U_{1} [/mm] von a, eine Umgebung [mm] V_{2} \subset U_{2} [/mm] von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] mit g(a) = b, so dass

F(x, g(x)) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in V_{1}. [/mm]

Ist (x,y) [mm] \in V_{1} [/mm] x [mm] V_{2} [/mm] ein Punkt mit F(x,y) = 0, so folgt y = g(x).

------

Bemerkungen:

1) Man sagt, die Abbildung g entstehe durch Auflösen der Gleichung

F(x,y) = 0 nach y.

Für die Gültigkeit des Satzes ist es wesentlich, dass [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] verkleinert werden; in ganz [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} [/mm] könnte es zu einem gegebenen x mehrere y-Werte (oder auch gar keinen) geben, die der Gleichung F(x,y) = 0 genügen.

Frage: Was mir einleuchtet, dass bei Nicht-Verkleinerung von [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} [/mm] mehrere y-Werte mit der Eigenschaft existieren können.
Aber wieso könnte es bei Nicht-Verkleinerung auch gar keinen y-Wert geben, bei Verkleinerung jedoch schon? Oder ist dies anders gemeint?



2) Ist [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] invertierbar im Punkt (a,b), so ist es auch invertierbar in einer gewissen Umgebung von (a,b). Dies sieht man so: Die Funktion

[mm] \delta: U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR, \delta(x,y) [/mm] := det [mm] \left( \frac{\partial F}{\partial y} (x,y)\right) [/mm]

ist stetig in [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2}, [/mm] da sie ein Polynom in den stetigen Funktionen [mm] \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} [/mm] ist. Da [mm] \delta(a,b) \not= [/mm] 0, gilt auch [mm] \delta [/mm] (x,y) [mm] \not=0 [/mm] für alle (x,y), die nahe genug bei (a,b) liegen.

Frage: Wieso muss in diesem Zusammenhang auch [mm] \delta(x,y) \not= [/mm] 0 für alle (x,y) gelten, welce nahe genug bei (a,b) liegen?


3) Differenziert man die i-te Komponente der Gleichung F(x,g(x)) = 0 partiell nach [mm] x_{j}, [/mm] so erhält man mit der Kettenregel (§ 6, Corollar zu Satz 3):
(*) [mm] \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(x,g(x)) [/mm] + [mm] \summe_{\mu = 1}^{m} \frac{\partial F_{i}}{\partial y_{\mu}} [/mm] (x,g(x)) [mm] \frac{\partial g_{\mu}}{\partial x_{j}}(x) [/mm] = 0,  [mm] \pmat{ i = 1,...,m \\ j = 1,...,k } [/mm]

Frage: Wieso ergibt sich diese Darstellung nach der Kettenregel?

Das Corollar lautet im Forster wie folgt: Sind U [mm] \subset \IR^{n}, [/mm] V [mm] \subset \IR^{m} [/mm] offene Mengen, f: V [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x), eine differenzierbare Funktion sowie

[mm] \phi [/mm] = [mm] \vektor{\phi_{1} \\ ... \\ \phi_{m}} [/mm] : U [mm] \to \IR^{m}, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] x = [mm] \phi(t) [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit [mm] \phi(U) \subset [/mm] V. Dann ist die Funktion

F := f [mm] \circ \phi [/mm] : U [mm] \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto f(\phi(t)) [/mm]

partiell differenzierbar und es gilt für i = 1, ..., n

[mm] \frac{\partial F}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t), [/mm] ..., [mm] \phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}) [/mm]


Aber hier ist ja kein t oder ähnliches gegeben, und vor der Summe steht hier ja noch der Term [mm] \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(x,g(x)). [/mm]
Ich verstehe leider gar nicht, wie man auf die Darstellung (*) kommt.



Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könnt, das zu verstehen!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:35 Mo 11.12.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Dieser "Satz über implizite Funktionen" ist in Analysis 1
> vom Forster sehr lang (3 Seiten). Bevor ich dessen Beweis
> verstehe, möchte ich erst einmal die Bemerkungen
> verstehen, welche geschrieben stehen.
>  
> Zunächst einmal der Satz:
>  
> Seien [mm]U_{1} \subset \IR^{k}[/mm] und [mm]U_{2} \subset \IR^{m}[/mm]
> offene Teilmengen und
>  
> F: [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2} \to \IR^{m},[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] F(x,y),
>  
> eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei (a,b) [mm]\in U_{1}[/mm]
> x [mm]U_{2}[/mm] ein Punkt mit
>
> F(a,b) = 0.
>  
> Die m x m Matrix
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial y}[/mm] := [mm]\frac{\partial(F_{1}, ..., F_{m})}{\partial (y_{1}, ..., y_{m})}[/mm]
> := [mm]\pmat {\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}}[/mm]
>  
> sei im Punkt (a,b) invertierbar. Dann gibt es eine offene
> Umgebung [mm]V_{1} \subset U_{1}[/mm] von a, eine Umgebung [mm]V_{2} \subset U_{2}[/mm]
> von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g: [mm]V_{1} \to V_{2} \subset \IR^{m}[/mm]
> mit g(a) = b, so dass
>  
> F(x, g(x)) = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in V_{1}.[/mm]
>  
> Ist (x,y) [mm]\in V_{1}[/mm] x [mm]V_{2}[/mm] ein Punkt mit F(x,y) = 0, so
> folgt y = g(x).
>  
> ------
>  
> Bemerkungen:
>  
> 1) Man sagt, die Abbildung g entstehe durch Auflösen der
> Gleichung
>  
> F(x,y) = 0 nach y.
>  
> Für die Gültigkeit des Satzes ist es wesentlich, dass
> [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] verkleinert werden; in ganz [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2}[/mm]
> könnte es zu einem gegebenen x mehrere y-Werte (oder auch
> gar keinen) geben, die der Gleichung F(x,y) = 0 genügen.
>  
> Frage: Was mir einleuchtet, dass bei Nicht-Verkleinerung
> von [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2}[/mm] mehrere y-Werte mit der Eigenschaft
> existieren können.
> Aber wieso könnte es bei Nicht-Verkleinerung auch gar
> keinen y-Wert geben, bei Verkleinerung jedoch schon? Oder
> ist dies anders gemeint?

Dann nehmen wir mal [mm] F(x,y)=x^2+y^2-1 [/mm] , [mm] U_1=U_2= \IR [/mm] und y mit |y|>1.

Aus F(x,y)=0 folgt [mm] x^2=1-y^2<0. [/mm] Geht das gut ???


>
>
> 2) Ist [mm]\frac{\partial F}{\partial y}[/mm] invertierbar im Punkt
> (a,b), so ist es auch invertierbar in einer gewissen
> Umgebung von (a,b). Dies sieht man so: Die Funktion
>  
> [mm]\delta: U_{1}[/mm] x [mm]U_{2} \to \IR, \delta(x,y)[/mm] := det [mm]\left( \frac{\partial F}{\partial y} (x,y)\right)[/mm]
>
> ist stetig in [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2},[/mm] da sie ein Polynom in den
> stetigen Funktionen [mm]\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}[/mm]
> ist. Da [mm]\delta(a,b) \not=[/mm] 0, gilt auch [mm]\delta[/mm] (x,y) [mm]\not=0[/mm]
> für alle (x,y), die nahe genug bei (a,b) liegen.
>  
> Frage: Wieso muss in diesem Zusammenhang auch [mm]\delta(x,y) \not=[/mm]
> 0 für alle (x,y) gelten, welce nahe genug bei (a,b)
> liegen?

[mm] \delta [/mm] ist stetig und [mm] \delta(a,b) \ne [/mm] 0. Dann gibt es eine Umgebung U von (a,b) mit [mm] \delta [/mm] (x,y) [mm] \ne [/mm] 0 für all (x,y) [mm] \in [/mm] U. Nimm an . das wäre nicht so. Dann findet man eine Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit [mm] (x_n,y_n) \to [/mm] (a,b) und [mm] (x_n,y_n) \ne [/mm] (a,b) für alle n und   [mm] \delta(x_n,y_n) [/mm] =0 für alle n.

Dann wäre aber [mm] \delta(a,b) [/mm] =0.


>  
>
> 3) Differenziert man die i-te Komponente der Gleichung
> F(x,g(x)) = 0 partiell nach [mm]x_{j},[/mm] so erhält man mit der
> Kettenregel (§ 6, Corollar zu Satz 3):
>  (*) [mm]\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(x,g(x))[/mm] +
> [mm]\summe_{\mu = 1}^{m} \frac{\partial F_{i}}{\partial y_{\mu}}[/mm]
> (x,g(x)) [mm]\frac{\partial g_{\mu}}{\partial x_{j}}(x)[/mm] = 0,  
> [mm]\pmat{ i = 1,...,m \\ j = 1,...,k }[/mm]
>  
> Frage: Wieso ergibt sich diese Darstellung nach der
> Kettenregel?


Diese frage verstehe ich nicht. Das folgt doch aus

F(x, g(x)) = 0 $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in V_{1}$ [/mm]

eben mit der Kettenregel.


>  
> Das Corollar lautet im Forster wie folgt: Sind U [mm]\subset \IR^{n},[/mm]
> V [mm]\subset \IR^{m}[/mm] offene Mengen, f: V [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm]
> f(x), eine differenzierbare Funktion sowie
>  
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\vektor{\phi_{1} \\ ... \\ \phi_{m}}[/mm] : U [mm]\to \IR^{m},[/mm]
> t [mm]\mapsto[/mm] x = [mm]\phi(t)[/mm] eine differenzierbare Abbildung mit
> [mm]\phi(U) \subset[/mm] V. Dann ist die Funktion
>  
> F := f [mm]\circ \phi[/mm] : U [mm]\to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto f(\phi(t))[/mm]
>  
> partiell differenzierbar und es gilt für i = 1, ..., n
>  
> [mm]\frac{\partial F}{\partial t_{i}}(t_{1},[/mm] ..., [mm]t_{n})[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t),[/mm]
> ..., [mm]\phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{i}}(t_{1},[/mm]
> ..., [mm]t_{n})[/mm]
>  
>
> Aber hier ist ja kein t oder ähnliches gegeben, und vor
> der Summe steht hier ja noch der Term [mm]\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(x,g(x)).[/mm]
> Ich verstehe leider gar nicht, wie man auf die Darstellung
> (*) kommt.

Na ja, bennen doch die Variable t anders !

>  
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könnt,
> das zu verstehen!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mo 11.12.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred, ich bedanke mich für deine Antwort!

Kurz zu deiner Mitteilung:

> Eine Anmerkung, die vielleicht viele als pingelig empfinden werden: in vielen > Büchern , Skripten, etc findet man

> "Satz über implizite Funktionen".

> Mal ehrlich, das ist doch sprachlich fürchterlich. Eine Funktion kann stetig
> sein, oder beschränkt , aber implizit ? Implizit ist doch keine Eigenschaft
> einer Funktion !

> In meinen Vorlesungen sage ich "Satz über implizit definierte Funktionen".

Ich selbst nehme Dinge sehr genau, von dem her teile ich deine Meinung, dass die Funktion als implizit definiert ist!


Zu 1) Dein Beispiel hat gezeigt, dass es sonst zu Widersprüchen kommen kann. Jetzt verstehe ich den Punkt, weshalb eine Verkleinerung von [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} [/mm] für die Allgemeingültigkeit notwendig sein kann!

Zu 2) Dies habe ich nun auch verstanden: nimmt man das Gegenteil an, so findet man in jeder Umgebung [mm] U_{k} [/mm] von (a,b) mindestens einen Punkt [mm] (x_{k}, y_{k}) [/mm] mit [mm] \delta(x_{k}, y_{k}) [/mm] = 0.
Definiert man nun sukzessive eine Folge mit dieser Eigenschaft und [mm] U_{k} \supset U_{k+1} \supset [/mm] ..., so gilt dann [mm] \lim_{k \to \infty} x_{k} [/mm] = a, [mm] \lim_{k \to \infty} y_{n} [/mm] = b und aufgrund der Stetigkeit [mm] \lim_{k \to \infty} \delta(x_{k}, y_{k}) [/mm] = [mm] \delta(a,b) [/mm] = 0.


Zu 3) Dies ist der einzige Punkt, den ich nicht verstanden habe.
Was ist denn hier die Verkettung? Was mich hier verwirrt ist, dass bei der Kettenregel F:= f [mm] \circ \phi: [/mm] U [mm] \to \IR [/mm] mit U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] und f: V [mm] \to \IR [/mm] mit V [mm] \subset \IR^{m}, [/mm] aber in diesem Fall F: [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR^{m} [/mm] mit [mm] U_{1} \subset \IR^{k} [/mm] und [mm] U_{2} \subset \IR^{m}. [/mm]
Was mir klar ist, dass bei Betrachtung von [mm] F_{i}, [/mm] i = 1, ..., m, die Funktion [mm] F_{i} [/mm] eine Abbildung von [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR [/mm] ist, aber wie lautet hier die Verkettung?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Mo 11.12.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred, ich bedanke mich für deine Antwort!
>  
> Kurz zu deiner Mitteilung:
>  
> > Eine Anmerkung, die vielleicht viele als pingelig empfinden
> werden: in vielen > Büchern , Skripten, etc findet man
>  
> > "Satz über implizite Funktionen".
>  
> > Mal ehrlich, das ist doch sprachlich fürchterlich. Eine
> Funktion kann stetig
> > sein, oder beschränkt , aber implizit ? Implizit ist doch
> keine Eigenschaft
> > einer Funktion !
>  
> > In meinen Vorlesungen sage ich "Satz über implizit
> definierte Funktionen".
>
> Ich selbst nehme Dinge sehr genau, von dem her teile ich
> deine Meinung, dass die Funktion als implizit definiert
> ist!
>  
>
> Zu 1) Dein Beispiel hat gezeigt, dass es sonst zu
> Widersprüchen kommen kann. Jetzt verstehe ich den Punkt,
> weshalb eine Verkleinerung von [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2}[/mm] für die
> Allgemeingültigkeit notwendig sein kann!
>  
> Zu 2) Dies habe ich nun auch verstanden: nimmt man das
> Gegenteil an, so findet man in jeder Umgebung [mm]U_{k}[/mm] von
> (a,b) mindestens einen Punkt [mm](x_{k}, y_{k})[/mm] mit
> [mm]\delta(x_{k}, y_{k})[/mm] = 0.
> Definiert man nun sukzessive eine Folge mit dieser
> Eigenschaft und [mm]U_{k} \supset U_{k+1} \supset[/mm] ..., so gilt
> dann [mm]\lim_{k \to \infty} x_{k}[/mm] = a, [mm]\lim_{k \to \infty} y_{n}[/mm]
> = b und aufgrund der Stetigkeit [mm]\lim_{k \to \infty} \delta(x_{k}, y_{k})[/mm]
> = [mm]\delta(a,b)[/mm] = 0.
>  
>
> Zu 3) Dies ist der einzige Punkt, den ich nicht verstanden
> habe.
>  Was ist denn hier die Verkettung? Was mich hier verwirrt
> ist, dass bei der Kettenregel F:= f [mm]\circ \phi:[/mm] U [mm]\to \IR[/mm]
> mit U [mm]\subset \IR^{n}[/mm] und f: V [mm]\to \IR[/mm] mit V [mm]\subset \IR^{m},[/mm]
> aber in diesem Fall F: [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2} \to \IR^{m}[/mm] mit [mm]U_{1} \subset \IR^{k}[/mm]
> und [mm]U_{2} \subset \IR^{m}.[/mm]
>  Was mir klar ist, dass bei
> Betrachtung von [mm]F_{i},[/mm] i = 1, ..., m, die Funktion [mm]F_{i}[/mm]
> eine Abbildung von [mm]U_{1}[/mm] x [mm]U_{2} \to \IR[/mm] ist, aber wie
> lautet hier die Verkettung?

Wir machen das mal mit nur zwei Variablen, also [mm] $U_1 \subseteq \IR$ [/mm] und [mm] $U_2 \subset \IR. [/mm]

Dann haben wir die Gleichung [mm] F(x_1,x_2)=0 [/mm] nach [mm] x_2 [/mm] aufgelöst in der Form [mm] x_2=g(x_1). [/mm] Damit betrachten wir

[mm] h(x_1) [/mm] = [mm] F(x_1,g(x_1)) [/mm]  für [mm] x_1 \in V_1. [/mm]

Es gilt also [mm] h(x_1)=0 [/mm] für alle [mm] x_1 \in V_1. [/mm] Somit

[mm] 0=h'(x_1) =F_{x_1}(x_1,g(x_1))+F_{x_2}(x_1,g(x_1))g'(x_1) [/mm]  für alle [mm] x_1 \in V_1. [/mm]

Das zweite "=" ist die Kettenregel. Wenn Du willst, dann formuliere es so (mit t statt [mm] x_1): [/mm] sei [mm] \phi(t):=(t,g(t)), [/mm] also [mm] \phi_1(t)=t [/mm] und [mm] \phi_2(t)=g(t). [/mm] Damit ist

[mm] h(t)=F(\phi(t)). [/mm]

daher: [mm] h'(t)=F_{x_1}(\phi(t))\phi_1'(t)+F_{x_2}(\phi(t))\phi_2'(t)=F_{x_1}(\phi(t))+F_{x_2}(\phi(t))g'(t). [/mm]

Kommst Du nun klar mit dem allgemeinen Fall ?

>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:38 Mo 11.12.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und vielen Dank für's Vorführen!

Ich komme leider noch nicht ganz klar.

Sei in deinem Beispiel h:= [mm] f(\phi(t)) [/mm] mit [mm] \phi_{1}(t) [/mm] = t, [mm] \phi_{2}(t) [/mm] = g(t), t [mm] \in \IR. [/mm] Dann ist [mm] \phi [/mm] eine Abbildung in den [mm] \IR^{2} [/mm]

Gemäß Kettenregel gilt für i = 1, ..., n, t [mm] \in \IR^{n}: [/mm]

[mm] \frac{\partial h}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t), [/mm] ..., [mm] \phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{j}}(t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}). [/mm]

Da im Beispiel die Abbildung f von dem [mm] \IR^{2} [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbildet, ist m = 2, und wegen t [mm] \in \IR [/mm] folgt:

=> [mm] \frac{\partial h}{\partial t}(t) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{2} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t),\phi_{2}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t}(t) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{2} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} [/mm] (t, g(t)) [mm] \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t}(t) [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial x_{1}} [/mm] (t,g(t)) * 1 + [mm] \frac{\partial f}{\partial x_{2}} [/mm] (t,g(t)) * g'(t)


Im allgemeinen Fall müsste doch [mm] \phi(t) [/mm] eine Abbildung in den [mm] \IR^{k} [/mm] x [mm] \IR^{m} [/mm] sein, denn die Kettenregel verlangt, dass das Bild von [mm] \phi [/mm] eine Teilmenge der Definitionsmenge von f ist, und diese Definitionsmenge ist ja gerade eine Teilmenge von [mm] \IR^{k} [/mm] x [mm] \IR^{m}. [/mm]

Wie sieht dann die Funktion [mm] \phi [/mm] aus?
Das leuchtet mir noch nicht ein.


Viele Grüße,
X3nion

P.S. Ich habe die Frage auch auf einer anderen Plattform gestellt, Link lässt sich allerdings leider nicht einsehen.

Bezug
                                        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 13.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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Satz über implizite Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:38 Mo 11.12.2017
Autor: fred97

Eine Anmerkung, die vielleicht viele als pingelig empfinden werden: in vielen Büchern , Skripten, etc findet man

"Satz über implizite Funktionen".

Mal ehrlich, das ist doch sprachlich fürchterlich. Eine Funktion kann stetig sein, oder beschränkt , aber implizit ? Implizit ist doch keine Eigenschaft einer Funktion !

In meinen Vorlesungen sage ich "Satz über implizit definierte Funktionen".


Bezug
                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:09 Mo 11.12.2017
Autor: UniversellesObjekt

Hast Recht! Ebenfalls liest man gerne den "Impliziten Funktionensatz", das ist fast noch schlimmer.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Do 14.12.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

ich habe leider immer noch nicht verstanden, wie sich in diesem Fall der Ausdruck zusammensetzt, der sich beim Differenzieren der Gleichung F(x,g(x)) = 0 in der i-ten Komponente und nach [mm] x_{j} [/mm] ergibt:

$ [mm] \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(x,g(x)) [/mm] $ + $ [mm] \summe_{\mu = 1}^{m} \frac{\partial F_{i}}{\partial y_{\mu}} [/mm] $ (x,g(x)) $ [mm] \frac{\partial g_{\mu}}{\partial x_{j}}(x) [/mm] $ = 0

In der Kettenregel ist ja [mm] \phi [/mm] eine Funktion in Abhängigkeit von einem Vektor t [mm] \in \IR^{n}, [/mm] also [mm] \phi(t) [/mm] = ..., in diesem Fall ja aber [mm] \phi [/mm] eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Variablen, also [mm] \phi(x,g(x)), [/mm] die ihrerseits wiederum k bzw. n Komponenten besitzen (x [mm] \in \IR^{k}, [/mm] g(x) = y [mm] \in \IR^{m}) [/mm]

Wie ist hier die Kettenregel anzuwenden?
Könnt ihr mir das vorführen?

Ich wäre euch sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

P.S. Ich habe diese Frage auch im Matheplaneten geposted, wobei ich dort auch noch keine Antwort bekommen habe, welche mich zum Ziel des Verständnisses gebracht hat.

Bezug
                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Sa 16.12.2017
Autor: donquijote


> Hallo zusammen,
>  
> ich habe leider immer noch nicht verstanden, wie sich in
> diesem Fall der Ausdruck zusammensetzt, der sich beim
> Differenzieren der Gleichung F(x,g(x)) = 0 in der i-ten
> Komponente und nach [mm]x_{j}[/mm] ergibt:
>  
> [mm]\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(x,g(x))[/mm] + [mm]\summe_{\mu = 1}^{m} \frac{\partial F_{i}}{\partial y_{\mu}}[/mm]
> (x,g(x)) [mm]\frac{\partial g_{\mu}}{\partial x_{j}}(x)[/mm] = 0
>  
> In der Kettenregel ist ja [mm]\phi[/mm] eine Funktion in
> Abhängigkeit von einem Vektor t [mm]\in \IR^{n},[/mm] also [mm]\phi(t)[/mm]
> = ..., in diesem Fall ja aber [mm]\phi[/mm] eine Funktion in
> Abhängigkeit von zwei Variablen, also [mm]\phi(x,g(x)),[/mm] die
> ihrerseits wiederum k bzw. n Komponenten besitzen (x [mm]\in \IR^{k},[/mm]
> g(x) = y [mm]\in \IR^{m})[/mm]
>  
> Wie ist hier die Kettenregel anzuwenden?
>  Könnt ihr mir das vorführen?

Der Vektor hat die Form [mm]t=(x_1,...,,x_k,g_1(x),...,g_m(x))[/mm].
Mit der Kettenregel folgt
[mm]\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\sum_{\nu=1}^k\frac{\partial F_i}{\partial t_{\nu}}*\frac{\partial x_{\nu}}{\partial x_j}+\sum_{\mu=1}^m\frac{\partial F_i}{\partial t_{k+\mu}}*\frac{\partial g_{\mu}}{\partial x_j}[/mm] mit [mm]\frac{\partial x_{\nu}}{\partial x_j}=\delta_{j\nu}[/mm].


>  
> Ich wäre euch sehr dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  
> P.S. Ich habe diese Frage auch im Matheplaneten geposted,
> wobei ich dort auch noch keine Antwort bekommen habe,
> welche mich zum Ziel des Verständnisses gebracht hat.


Bezug
                        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 So 17.12.2017
Autor: X3nion

Hallo donquijote und vielen vielen Dank dir für deine aufschlussreiche Antwort, die nun zu meinem Verständnis beigetragen hat!

Ich war mir nicht darüber im Bilde, wie man einen Vektor der Form [mm] \IR^{k} [/mm] x [mm] \IR^{m} [/mm] darstellt.
Jetzt macht es auch Sinn, wieso unter Verwendung des Kronecker-Deltas in der ersten Summe nur die nach [mm] x_{j} [/mm] partiell differenzierte Funktion übrig bleibt.

Eine kurze Frage noch:
Damit das Ganze in sich konsistent ist, müsste ja

mit t = [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{k}, g_{1}(x), [/mm] ..., [mm] g_{m}(x)) [/mm]

auch [mm] \phi_{1}(t) [/mm] = [mm] x_{1}, \phi_{2}(t) [/mm] = [mm] x_{2}, [/mm] ..., [mm] \phi_{k}(t) [/mm] = [mm] x_{k}, \phi_{k+1}(t) [/mm] = [mm] g_{1}(x), [/mm] ..., [mm] \phi_{m}(t) [/mm] = [mm] g_{m}(x) [/mm] sein


Ist dies der Fall?
Es würde für mich jedenfalls logisch erscheinen, denn in der Kettenregel steht ja

$ [mm] \frac{\partial F}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] $ ..., $ [mm] t_{n}) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t), [/mm] $ ..., $ [mm] \phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] $ ..., $ [mm] t_{n}) [/mm] $

Und in diesem Fall sind die Funktionen in der angewendeten Kettenregel in Abhängigkeit von x und g(x), also [mm] F_{i}(x,g(x)), [/mm] woraus ich eben auf die Komponenten von [mm] \phi [/mm] schließe.


Ich würde mich freuen, wenn ihr mir die letzte Frage bezüglich dieser Thematik beantworten könntet!


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Di 19.12.2017
Autor: donquijote


> Hallo donquijote und vielen vielen Dank dir für deine
> aufschlussreiche Antwort, die nun zu meinem Verständnis
> beigetragen hat!
>  
> Ich war mir nicht darüber im Bilde, wie man einen Vektor
> der Form [mm]\IR^{k}[/mm] x [mm]\IR^{m}[/mm] darstellt.
>  Jetzt macht es auch Sinn, wieso unter Verwendung des
> Kronecker-Deltas in der ersten Summe nur die nach [mm]x_{j}[/mm]
> partiell differenzierte Funktion übrig bleibt.
>  
> Eine kurze Frage noch:
>  Damit das Ganze in sich konsistent ist, müsste ja
>
> mit t = [mm](x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{k}, g_{1}(x),[/mm] ..., [mm]g_{m}(x))[/mm]
>  
> auch [mm]\phi_{1}(t)[/mm] = [mm]x_{1}, \phi_{2}(t)[/mm] = [mm]x_{2},[/mm] ...,
> [mm]\phi_{k}(t)[/mm] = [mm]x_{k}, \phi_{k+1}(t)[/mm] = [mm]g_{1}(x),[/mm] ...,
> [mm]\phi_{m}(t)[/mm] = [mm]g_{m}(x)[/mm] sein
>  
>
> Ist dies der Fall?
>  Es würde für mich jedenfalls logisch erscheinen, denn in
> der Kettenregel steht ja
>
> [mm]\frac{\partial F}{\partial t_{i}}(t_{1},[/mm] ..., [mm]t_{n})[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t),[/mm]
> ..., [mm]\phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{i}}(t_{1},[/mm]
> ..., [mm]t_{n})[/mm]
>  
> Und in diesem Fall sind die Funktionen in der angewendeten
> Kettenregel in Abhängigkeit von x und g(x), also
> [mm]F_{i}(x,g(x)),[/mm] woraus ich eben auf die Komponenten von [mm]\phi[/mm]
> schließe.

>

Hallo nochmal,
die Notation ist etwas durcheinander geraten.
Mit obiger Formulierung der Kettenregel entspricht x=t und [mm]\Phi(x)=(x_1,...,x_k,g_1(x),...,g_m(x))[/mm].

  

>
> Ich würde mich freuen, wenn ihr mir die letzte Frage
> bezüglich dieser Thematik beantworten könntet!
>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


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