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Satz von Roche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Di 19.09.2017
Autor: Paivren

Guten Abend,

brauche Tipps zu folgendem Vorgehen:

Gesucht sind die Nullstellen in der Einheitskugel der komplexen Ebene von p(z)= [mm] z^{7}+(z(z-3))^{3}+1 [/mm]

Mit dem Satz von Roche gilt: Gilt für eine holom. Funktion g(Z), dass |p-g|< |p|+|g| für alle z auf dem Rand des Gebiets, dann hat p genau so viele Nullstellen in dem Gebiet wie g.

In der Hausaufgabe wurde g immer als höchste Potenz von p gewählt, also [mm] z^{7}. [/mm] Aber das führt auf den ersten Blick nicht zum Ziel.
Mit der Dreiecksungleichung kann ich zeigen, dass [mm] |p-g|\le [/mm] 45 ist, aber das ist größer als |g|.

Muss ich nun den Betrag von f nach unten abschätzen und dann hoffen, dass 45 < |f| oder |f|+|g| ist?

Das ist eine Klausuraufgabe, aber in der Klausur hat man doch keine Zeit, um verschiedene g auszuprobieren.
Woher weiß ich, womit ich am besten anfange??

Verzweifelte Grüße

Paivren

        
Bezug
Satz von Roche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:04 Mi 20.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Guten Abend,
>  
> brauche Tipps zu folgendem Vorgehen:
>  
> Gesucht sind die Nullstellen in der Einheitskugel der
> komplexen Ebene von p(z)= [mm]z^{7}+(z(z-3))^{3}+1[/mm]
>  
> Mit dem Satz von Roche gilt: Gilt für eine holom. Funktion
> g(Z), dass |p-g|< |p|+|g| für alle z auf dem Rand des
> Gebiets, dann hat p genau so viele Nullstellen in dem
> Gebiet wie g.

Ich halte diese Version des Satzes für recht schwierig, weil du dabei den Betrag der gesamten (und damit relativ "weitläufigen") Funktion bestimmen musst. In einer m.E. einfacheren Fassung heißt der Satz:

Gilt für die holom. Fkt. f und g die Beziehung |f|>|g| für alle z auf dem Rand, so haben f und f+g gleich viele Nullstellen.

Dabei ist nun f+g die Gesamtfunktion, von der du aber nicht den Betrag bestimmen musst, sondern nur von den Teilen f und g.



>  
> In der Hausaufgabe wurde g immer als höchste Potenz von p
> gewählt, also [mm]z^{7}.[/mm] Aber das führt auf den ersten Blick
> nicht zum Ziel.
>  Mit der Dreiecksungleichung kann ich zeigen, dass [mm]|p-g|\le[/mm]
> 45 ist, aber das ist größer als |g|.
>
> Muss ich nun den Betrag von f nach unten abschätzen und
> dann hoffen, dass 45 < |f| oder |f|+|g| ist?
>  
> Das ist eine Klausuraufgabe, aber in der Klausur hat man
> doch keine Zeit, um verschiedene g auszuprobieren.
>  Woher weiß ich, womit ich am besten anfange??
>  
> Verzweifelte Grüße



Sei nun [mm] f(z)=(z(z-3))^3 [/mm] und [mm] g(z)=z^7+1. [/mm]

Dann gilt für g: [mm] |g(z)|=|z^7+1|\le |z^7|+|1|=|z|^7+1=1^7+1=2. [/mm]

Für f [mm] gilt:|z(z-3)|=|z||3-z|=1*|3-z|\ge [/mm] |3|-|z|=3-1=2 und damit
[mm] |f(z)|=|(z(z-3))^3|=|z(z-3)|^3\ge 2^3=8. [/mm]
Insgesamt also [mm] |f(z)|\ge8>2\ge [/mm] |g(z)|.


Damit ist die obige Bedingung erfüllt.

f hat die 3-fache Nullstelle z=0 im Einheitskreis und die dreifache Nullstelle z=3 außerhalb, also 3 Nullstellen im Einheitskreis, und damit gilt das auch für die Ausgangsfunktion.

  



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Satz von Roche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:34 Mi 20.09.2017
Autor: Paivren

Hey, danke dir für die Ausführung.

Ich kannte diese Version gar nicht! Ja, das Abschätzen meiner ursprünglichen Gesamtfunktion war immer ziemlich unschön.

So werde ich es morgen machen :))

Bezug
                        
Bezug
Satz von Roche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:06 Mi 20.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Hey, danke dir für die Ausführung.
>  
> Ich kannte diese Version gar nicht! Ja, das Abschätzen
> meiner ursprünglichen Gesamtfunktion war immer ziemlich
> unschön.

Deine Version ist viel leichter zu beweisen:

[mm] |p-g|=|p+(-g)|\le [/mm] |p|+|-g|= |p|+|g| gemäß Dreiecksungleichung.

Du musst nur noch beweisen, dass das Gleichheitszeichen nicht gilt.

Merkst du was?...

>  
> So werde ich es morgen machen :))


Bezug
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