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Forum "Statistik/Hypothesentests" - Schätzwert
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Schätzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Sa 01.07.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei [mm] \theta [/mm] >0 und seien [mm] X_1, X_2,.... [/mm] unabh. und identisch verteilte Zufallsvariablen, jeweils gleichverteilt auf dem Intervall [mm] [-\theta,0]. [/mm]

a) Zeige: [mm] P(|2X_1+\theta|\ge \theta)\le [/mm] 1/3

Bestimmen Sie zu gegebenen Daten [mm] \underline{x}=(x_1,...,x_2) [/mm]

b) einen Schätzwert [mm] T(\underline{x}) [/mm] für [mm] \theta [/mm] nach der Maximum-Likelihood-Methode.

c) einen Schätzwert [mm] S(\underline{x}) [/mm] für [mm] \theta [/mm] nach der Momentenmethode. Ist der zugehörige Schätzer [mm] U_n:=S(X_1,...,X_n) [/mm] erwartungstreu? Ist die Folge [mm] (U_n)_{n\in\IN} [/mm] konsistent?

Hallo,

ich sitze wieder an eine Schätzer-Aufgaben udn brauche dabei eure Hilfe:

a) mit Tschebyscheff-Ungleichung, die folgende def ist [mm] P(|X_n-E(X)|\ge \epsilon)\le \bruch{1}{\epsilon^2}Var(X_n) [/mm] erhalten wir

[mm] P(|2X_1-(-\theta)|\ge \theta)=P(|X_1-\underbrace{(-\bruch{\theta}{2})}_{E(X)}|\ge \theta)\le \bruch{1}{\theta^2}Var(X_1) [/mm]

mit der dichtefkt [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{\theta}, & \mbox{für } -\theta\le x\le 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} n \mbox{ } \end{cases} [/mm] können wir nun [mm] E(X^2) [/mm] berechnen. Also

[mm] E(X^2)=\integral_{-\theta}^{0}{x^2f(x) dx}=\integral_{-\theta}^{0}{x^2\bruch{1}{\theta} dx}=\bruch{1}{\theta} \bigg[\bruch{1}{3}x^3\bigg]_{-\theta}^0=\bruch{1}{3}\theta^2 [/mm]

also ergibt sich für [mm] \bruch{1}{\theta^2}Var(X_1)=\bruch{1}{\theta^2}(E(X^2)-(E(X))^2)=\bruch{1}{\theta^2}(\bruch{1}{3}\theta^2-(-\bruch{\theta}{2})^2)=1/12 [/mm]

Wo liegt mein Fehler?

zu b) [mm] L(x_1,...,X_n|\theta)=\bruch{1}{\theta^n} [/mm]

dann log angewendet [mm] log(L)=log(\bruch{1}{\theta^n})=log(1)-log(\theta^n)=-nlog(\theta) [/mm]
log [mm] L'=-\bruch{n}{\theta}\overset{!}{=}0 [/mm]


aber leider bekomme ich kein Ergebnis. Kann mir da jemand weiterhelfen bzw. einen Tipp geben?

Vielen Dank!

        
Bezug
Schätzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Sa 01.07.2017
Autor: luis52


> Sei [mm]\theta[/mm] >0 und seien [mm]X_1, X_2,....[/mm] unabh. und identisch
> verteilte Zufallsvariablen, jeweils gleichverteilt auf dem
> Intervall [mm][-\theta,0].[/mm]
>  
> a) Zeige: [mm]P(|2X_1+\theta|\ge \theta)\le[/mm] 1/3
>  
> Bestimmen Sie zu gegebenen Daten
> [mm]\underline{x}=(x_1,...,x_2)[/mm]
>  
> b) einen Schätzwert [mm]T(\underline{x})[/mm] für [mm]\theta[/mm] nach der
> Maximum-Likelihood-Methode.
>  
> c) einen Schätzwert [mm]S(\underline{x})[/mm] für [mm]\theta[/mm] nach der
> Momentenmethode. Ist der zugehörige Schätzer
> [mm]U_n:=S(X_1,...,X_n)[/mm] erwartungstreu? Ist die Folge
> [mm](U_n)_{n\in\IN}[/mm] konsistent?
>  Hallo,
>  
> ich sitze wieder an eine Schätzer-Aufgaben udn brauche
> dabei eure Hilfe:
>  
> a) mit Tschebyscheff-Ungleichung, die folgende def ist
> [mm]P(|X_n-E(X)|\ge \epsilon)\le \bruch{1}{\epsilon^2}Var(X_n)[/mm]
> erhalten wir
>  
> [mm]P(|2X_1-(-\theta)|\ge \theta)=P(|X_1-\underbrace{(-\bruch{\theta}{2})}_{E(X)}|\ge \theta)\le \bruch{1}{\theta^2}Var(X_1)[/mm]
>  
> mit der dichtefkt [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{\theta}, & \mbox{für } -\theta\le x\le 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} n \mbox{ } \end{cases}[/mm]
> können wir nun [mm]E(X^2)[/mm] berechnen. Also
>  
> [mm]E(X^2)=\integral_{-\theta}^{0}{x^2f(x) dx}=\integral_{-\theta}^{0}{x^2\bruch{1}{\theta} dx}=\bruch{1}{\theta} \bigg[\bruch{1}{3}x^3\bigg]_{-\theta}^0=\bruch{1}{3}\theta^2[/mm]
>  
> also ergibt sich für
> [mm]\bruch{1}{\theta^2}Var(X_1)=\bruch{1}{\theta^2}(E(X^2)-(E(X))^2)=\bruch{1}{\theta^2}(\bruch{1}{3}\theta^2-(-\bruch{\theta}{2})^2)=1/12[/mm]
>  
> Wo liegt mein Fehler?


*Ich* erhalte fuer die TU

[mm]P(|X_1+\theta/2|\ge \varepsilon)\le\frac{\theta^2}{12\varepsilon^2}[/mm]

Setze [mm] $\varepsilon=\theta/2$ [/mm] ...


>  
> zu b) [mm]L(x_1,...,X_n|\theta)=\bruch{1}{\theta^n}[/mm]
>  
> dann log angewendet
> [mm]log(L)=log(\bruch{1}{\theta^n})=log(1)-log(\theta^n)=-nlog(\theta)[/mm]
>  log [mm]L'=-\bruch{n}{\theta}\overset{!}{=}0[/mm]
>  
>
> aber leider bekomme ich kein Ergebnis. Kann mir da jemand
> weiterhelfen bzw. einen Tipp geben?


Deine Likelihhoodfunktion stimmt nicht. Schreibe sie dir mal (in Abhaengigkeit von [mm] $\theta>0$) [/mm] akribisch auf fuer [mm] $x_1=-3.4$, $x_2=-5.3$ [/mm] und  [mm] $x_3=-1.7$ [/mm] ...

Bezug
                
Bezug
Schätzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Sa 01.07.2017
Autor: mimo1

zu a)vielen dank, ich habe mein Fehler entdeckt:)

zu b) habe ich jetzt folgendes gemacht:

[mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=f(x_1,...,x_n|\theta)=f(X=x_1|\theta)*....*f(X=x_n|\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(X=x_i|\theta) [/mm] ( wir können es so schreiben da die [mm] X_i [/mm] iid sind)

also weiter ist dann

[mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\produkt_{i=1}^n\bruch{x_i}{\theta}=\bruch{1}{\theta^n}\produkt_{i=1}^nx_i [/mm]

log angewendet: log [mm] L=\summe_{i=1}^nlog(x_i)-nlog(\theta) [/mm]

dann die 1. Ableitung von log L: log L'= [mm] \summe_{i=1}^n\bruch{1}{x_i}-\bruch{n}{\theta}\overset{!}{=}0 [/mm]

[mm] \Rightarrow \hat{\theta}= n\summe_{i=1}^{n}x_i [/mm]

Ist das richtig soweit?

und ich habe eine Frage bzgl die [mm] x_1,x_2,x_3, [/mm] die du als Tipp angegeben hast. Wie kommen diese Werte zustande bzw sind das irgendwelche werte?


Bezug
                        
Bezug
Schätzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Sa 01.07.2017
Autor: luis52


> zu a)vielen dank, ich habe mein Fehler entdeckt:)
>  
> zu b) habe ich jetzt folgendes gemacht:
>  
> [mm]L(x_1,...,x_n|\theta)=f(x_1,...,x_n|\theta)=f(X=x_1|\theta)*....*f(X=x_n|\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(X=x_i|\theta)[/mm]
> ( wir können es so schreiben da die [mm]X_i[/mm] iid sind)
>  
> also weiter ist dann
>  
> [mm]L(x_1,...,x_n|\theta)=\produkt_{i=1}^n\bruch{x_i}{\theta}=\bruch{1}{\theta^n}\produkt_{i=1}^nx_i[/mm]
>  
> log angewendet: log [mm]L=\summe_{i=1}^nlog(x_i)-nlog(\theta)[/mm]
>  
> dann die 1. Ableitung von log L: log L'=
> [mm]\summe_{i=1}^n\bruch{1}{x_i}-\bruch{n}{\theta}\overset{!}{=}0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \hat{\theta}= n\summe_{i=1}^{n}x_i[/mm]
>  
> Ist das richtig soweit?

Leider nein, die Likelihoodfunkton hat ein ein Randmaximum, die Stelle kannst du   nicht mit Methoden der Differentialrechnuung bestimmen.

Die Dichte ist




$ [mm] f_\theta(x):=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & \mbox{falls } x\in (-\theta,0) \mbox{ }\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $


>  
> und ich habe eine Frage bzgl die [mm]x_1,x_2,x_3,[/mm] die du als
> Tipp angegeben hast. Wie kommen diese Werte zustande bzw
> sind das irgendwelche werte?
>  

Irgendwelche. Fuer sie ist die Likelihhoodfunktion gegeben durch [mm] $L(\theta)= f_\theta( x_1)\cdot f_\theta( x_2)\cdot f_\theta( x_3)=f_\theta( -3.4)\cdot f_\theta( -5.3)\cdot f_\theta( [/mm] -1.7) $. Ueberlege, fuer welche Werte von [mm] $\theta$ [/mm] das Produkt nicht verschwindet und zeichne die Funktion. Verallgemeinere dann das Beispiel.


Bezug
                                
Bezug
Schätzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 So 02.07.2017
Autor: mimo1

vielen Dank. Ich denke, langsam verstehe ich es.

Also für das Beispiel würde das Produkt für [mm] \theta \ge [/mm] 5,3 nicht Null werden.

Allgemein würde es dann heißen für [mm] \theta=max\{x_1,...,x_n\} [/mm] (müssten die [mm] x_i [/mm] in betrag stehen?)

stimmt das?

Wie bestimme ich den Schätzwert nach der Momentenmethode?

Laut Wikipedia (falls ich es richtig verstandenn habe):

haben wir eine Schätzfunktion [mm] q:\theta \rightarrow \IR [/mm] mit [mm] q(\theta)=E_{\theta}(Y) [/mm] und dann ist [mm] q(\theta)=m_1(\theta) [/mm] Darstellung durch Momente. Wir wissen aus a) dass [mm] E(X)=-\bruch{\theta}{2} [/mm] und [mm] E(X^2)=\bruch{1}{3}\theta^2. [/mm] Müsste ich das dann noch für [mm] E(X^3),...,E(X^n) [/mm] ausrechnen?

Bezug
                                        
Bezug
Schätzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Mo 03.07.2017
Autor: luis52

  > vielen Dank. Ich denke, langsam verstehe ich es.
>  
> Also für das Beispiel würde das Produkt für [mm]\theta \ge[/mm]
> 5,3 nicht Null werden.

[ok]

>  
> Allgemein würde es dann heißen für
> [mm]\theta=max\{x_1,...,x_n\}[/mm] (müssten die [mm]x_i[/mm] in betrag
> stehen?)

Ja.

>  
> stimmt das?

Ja.

>  
> Wie bestimme ich den Schätzwert nach der Momentenmethode?
>  
> Laut Wikipedia (falls ich es richtig verstandenn habe):
>  
> haben wir eine Schätzfunktion [mm]q:\theta \rightarrow \IR[/mm] mit
> [mm]q(\theta)=E_{\theta}(Y)[/mm] und dann ist [mm]q(\theta)=m_1(\theta)[/mm]
> Darstellung durch Momente. Wir wissen aus a) dass
> [mm]E(X)=-\bruch{\theta}{2}[/mm] und [mm]E(X^2)=\bruch{1}{3}\theta^2.[/mm]
> Müsste ich das dann noch für [mm]E(X^3),...,E(X^n)[/mm]
> ausrechnen?

Setze [mm] $\frac{\hat\theta}{2}=\bar [/mm] X$ und loese nach [mm] $\hat\theta$ [/mm] auf.


Bezug
                                                
Bezug
Schätzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Mo 03.07.2017
Autor: mimo1

Vielen vielen Dank nochmal. Das hat aufjedenfall zum Verständnis zu diesem Thema beigetragen.

Dann erhalte ich für den Momentenschätzer

[mm] \overline{X}=-\hat{\theta}/2 \gdw \hat{\theta}=-2\overline{X} [/mm]

jetzt habe ich noch eine Frage zu erwartungtreu und konsistent und dann würde ich endlich die Aufgabe auch abhaken (falls keine neuen Fragen wieder auftauchen:)).

zu erwartungstreu zeige ich [mm] E(\hat{\theta})=\theta [/mm]

[mm] \Rightarrow E(2\overline{X})=E(2*\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i)=\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}E(X_i)=\bruch{2}{n}*n*\theta =-2\theta \not=\theta [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] nicht erwartungstreu

Und jetzt zu konsistent:

Der Schätzer ist konsistent, wenn für ein bel. [mm] \epsilon [/mm] >0 gilt:

[mm] P_\theta(|\hat{\theta}_n-\theta| [/mm] > [mm] \epsilon) \rightarrow [/mm] 0 für [mm] n\rightarrow \infty [/mm]

Also bekomme ich

[mm] P_\theta(|2\overline{X}-\theta|>\epsilon) [/mm]

leider weiß ich nicht, wie ich weiter vorangehen soll.

Bezug
                                                        
Bezug
Schätzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Di 04.07.2017
Autor: luis52


> Vielen vielen Dank nochmal. Das hat aufjedenfall zum
> Verständnis zu diesem Thema beigetragen.
>  
> Dann erhalte ich für den Momentenschätzer
>  
> [mm]\overline{X}=-\hat{\theta}/2 \gdw \hat{\theta}=-2\overline{X}[/mm]

[ok]

>  
> jetzt habe ich noch eine Frage zu erwartungtreu und
> konsistent und dann würde ich endlich die Aufgabe auch
> abhaken (falls keine neuen Fragen wieder auftauchen:)).
>  
> zu erwartungstreu zeige ich [mm]E(\hat{\theta})=\theta[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow E(2\overline{X})=E(2*\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i)=\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}E(X_i)=\bruch{2}{n}*n*\theta =-2\theta \not=\theta[/mm]


[notok]
[mm] $E(-2\overline{X})=E(-2*\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i)=-\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}E(X_i)=-\bruch{2}{n}*n*\frac{-\theta}{2} =\theta$ [/mm]

  
[mm]\Rightarrow[/mm]  erwartungstreu
  

> Und jetzt zu konsistent:
>  
> Der Schätzer ist konsistent, wenn für ein bel. [mm]\epsilon[/mm]
> >0 gilt:
>  
> [mm]P_\theta(|\hat{\theta}_n-\theta|[/mm] > [mm]\epsilon) \rightarrow[/mm] 0
> für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
>
> Also bekomme ich
>
> [mm]P_\theta(|2\overline{X}-\theta|>\epsilon)[/mm]

[notok]

[mm]P_\theta(|-2\overline{X}-\theta|>\epsilon)[/mm]


>  
> leider weiß ich nicht, wie ich weiter vorangehen soll.

Nutze die Tschebyschewsche Ungleichung.


Bezug
                                                                
Bezug
Schätzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:14 Di 04.07.2017
Autor: mimo1

super,  vielen dank:)

Bezug
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