matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieSchnitt von Dynkinsystemen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Maßtheorie" - Schnitt von Dynkinsystemen
Schnitt von Dynkinsystemen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Schnitt von Dynkinsystemen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Mi 18.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Seien [mm] (D_i)_{i \in I} [/mm] Dynkinsysteme auf [mm] \Omega [/mm] für eine Indexmenge [mm] I\subset \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass  [mm] \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm] ein Dynkinsystem ist

Hallo,
ich habe Probleme, die Aufgabe zu lösen.
Also zu zeigen sind 3 Dinge
1) [mm] \Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm]
Also wir wissen nach Vor. , dass [mm] \Omega \in (D_i)_{i \in I}. [/mm] Da ja in alle Mengen [mm] \Omega [/mm] liegt, liegt [mm] \Omega [/mm] dementsprechend auch im Schnitt => [mm] \Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm]
2) A,B [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm] und B [mm] \subset [/mm] A => A\ B [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm]
Ich muss zeigen, dass A\ B [mm] \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i. [/mm] A \ B= A [mm] \cap B^c. [/mm] A liegt im Schnitt nach Vor. und [mm] B^c=\Omega [/mm] \ B und das auch im Schnitt. Reicht das als Begründung? Wobei mir das noch nicht so gefällt. Oder wäre es besser, mit A [mm] \B [/mm] = A \ (A [mm] \cap [/mm] B) zu arbeiten.
3) [mm] A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} A_i [/mm] mit [mm] A_i \cap A_j= \emptyset [/mm]  mit i [mm] \not= [/mm] j => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i [/mm]
Aus der Vor. folgt, dass [mm] A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall [/mm] i [mm] \forall [/mm] j => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall [/mm] j => [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{j \in I}^{} D_j. [/mm]

Bin da unsicher, wie man es richtig aufschreibt.

Danke für jeden Kommentar schonmal

Mit freundlichem Gruß

TheBozz-mismo

        
Bezug
Schnitt von Dynkinsystemen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mi 18.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Also zu zeigen sind 3 Dinge

[ok]

>  1) [mm]\Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
>   Also wir wissen
> nach Vor. , dass [mm]\Omega \in (D_i)_{i \in I}.[/mm] Da ja in alle
> Mengen [mm]\Omega[/mm] liegt, liegt [mm]\Omega[/mm] dementsprechend auch im
> Schnitt => [mm]\Omega \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]

[ok]

>  2) A,B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
> und B [mm]\subset[/mm] A => A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
>  Ich
> muss zeigen, dass A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i.[/mm] A \
> B= A [mm]\cap B^c.[/mm] A liegt im Schnitt nach Vor. und [mm]B^c=\Omega[/mm]
> \ B und das auch im Schnitt.

[ok]

> Reicht das als Begründung?

[notok]
Wieso sollte nun [mm] $A\cap B^c$ [/mm] auch im Schnitt liegen?
Du hast das Problem also nur darauf verschoben, das zu zeigen.
Dein Ansatz ist auch nicht zielführend.
Mach dir mal klar, was es bedeutet "Im Schnitt zu liegen" und verwende, dass alle [mm] $D_i$ [/mm] selbst Dynkin-Systeme sind.

>  3) [mm]A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} A_i[/mm] mit [mm]A_i \cap A_j= \emptyset[/mm]
>  mit i [mm]\not=[/mm] j => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]

>  
>  Aus der Vor. folgt, dass [mm]A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall[/mm] i
> [mm]\forall[/mm] j => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in (D_j)_{j \in I} \forall[/mm]
> j => [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \bigcap_{j \in I}^{} D_j.[/mm]

[ok]

> Bin da unsicher, wie man es richtig aufschreibt.

Genau so!
Wieso hast du das nicht auch bei 2.) gemacht?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Schnitt von Dynkinsystemen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Do 19.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich tu mir mit der Anschauung da ein wenig schwer.
Also zu 2) die Eigenschaft, die mir noch fehlt.

> >  2) A,B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]

> > und B [mm]\subset[/mm] A => A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i[/mm]
>  >  
> Ich
> > muss zeigen, dass A\ B [mm]\in \bigcap_{i \in I}^{} D_i.[/mm] A \
> > B= A [mm]\cap B^c.[/mm] A liegt im Schnitt nach Vor. und [mm]B^c=\Omega[/mm]
> > \ B und das auch im Schnitt.
> [ok]
>  > Reicht das als Begründung?

> [notok]
>  Wieso sollte nun [mm]A\cap B^c[/mm] auch im Schnitt liegen?
>  Du hast das Problem also nur darauf verschoben, das zu
> zeigen.
>  Dein Ansatz ist auch nicht zielführend.
>  Mach dir mal klar, was es bedeutet "Im Schnitt zu liegen"
> und verwende, dass alle [mm]D_i[/mm] selbst Dynkin-Systeme sind.

Für mich ist die Aussage logisch, da ja A im Schnitt liegt und wenn man nun [mm] A\B [/mm] betrachtet,dann wird die Menge ja kleiner, aber bleibt trotzdem im Schnitt, aber das formal aufzuschreiben klappt irgendwie nicht.
Oder vielleicht so: Nach Vor. gilt ja A\ B [mm] \in (D_i)_{i \in I} [/mm] und folgt daraus nicht, dass es auch im Schnitt der [mm] D_i [/mm] 's liegen muss, da ja beide auch im Schnitt liegen und dort liegen ja alle gemeinsamen Elemente.
Ich habe die Gleichung [mm] A\B= \Omega [/mm] \ (B [mm] \cup [/mm] ( [mm] \Omega [/mm] \ A) gefunden. B ist nach Vor. im Schnitt und [mm] \Omega [/mm] \ A auch und da beide disjunkt sind, liegt die gesamte Menge auch im Durchschnitt.

Hoffe, mir kann einer meine Verwirrung nehmen.

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

Bezug
                        
Bezug
Schnitt von Dynkinsystemen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Do 19.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Für mich ist die Aussage logisch, da ja A im Schnitt liegt
> und wenn man nun [mm]A\B[/mm] betrachtet,dann wird die Menge ja
> kleiner, aber bleibt trotzdem im Schnitt

Warum sollte sie das? Das hast du noch nicht gezeigt und ist im Allgemeinen für Mengensysteme ja auch falsch.
Du behauptest ja indirekt: Liegt A in einem Schnitt von Mengensystemen, so auch jede "kleinere" Menge [mm] $A\setminus [/mm] B$ und das stimmt wie gesagt, im allgemeinen nicht.

>  Oder vielleicht so: Nach Vor. gilt ja A\ B [mm]\in (D_i)_{i \in I}[/mm]

Hier mit der Notation aufpassen!
Was du meinst ist: [mm] $A\setminus [/mm] B [mm] \in D_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Das ist was anderes als: $ [mm] A\setminus [/mm] B [mm] \in (D_i)_{i \in I}$ [/mm]
Wenn dir das nicht klar ist, frag nochmal nach.

Nichtsdestotrotz stimmt deine (gemeinte) Aussage (warum?).

> und folgt daraus nicht, dass es auch im Schnitt der [mm]D_i[/mm] 's liegen muss

Ja! Denn wann liegt denn ein Element nach Definition des Schnitts im Schnitt von Elementen?

> , da ja beide auch im Schnitt liegen und dort liegen ja alle gemeinsamen Elemente.

Hier schreibst du wieder wirr.

>  Ich habe die Gleichung [mm]A\setminus B= \Omega[/mm] \ (B [mm]\cup[/mm] ( [mm]\Omega[/mm] \ A) gefunden. B ist nach Vor. im Schnitt und [mm]\Omega[/mm] \ A auch und da beide disjunkt sind, liegt die gesamte Menge auch im Durchschnitt.

Wenn du 3.) gezeigt hast, kannst du das so machen.
Aber das ist natürlich unnötig, weil du oben ja bereits fertig warst.

Sowohl 2.) als auch 3.) kannst du eigentlich auf die selbe Art beweisen:
Nach Voraussetzung liegen die Ausgangselemente im Schnitt, d.h. in jedem einzelnen Dynkin-System [mm] $D_i$. [/mm]
Nun nutzt man auf den [mm] $D_i$ [/mm] die Dynkineigenschaft, d.h. es gilt bei 2.) eben [mm] $A\setminus [/mm] B [mm] \in D_i$ [/mm] bzw bei drei [mm] $\bigcup_{i \in I} A_i \in D_i$ [/mm] weil jedes [mm] $D_i$ [/mm] ein Dynkin-System ist

Weil die Ausdrücke nun aber in jedem [mm] D_i [/mm] liegen, liegen sie auch im Schnitt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Schnitt von Dynkinsystemen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Fr 20.10.2017
Autor: TheBozz-mismo

Hallo!
Vielen Dank nochmal für die ausführliche Antwort. Ich hoff mal, dass ich es nun verstanden habe.

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 12m 3. Mandy_90
UStoc/Geordnete Stichproben mit Wdh.
Status vor 12m 59. zweidreivier
MSons/Kann man beim Roulette verlier
Status vor 2h 31m 3. matux MR Agent
Logik/Reduktion
Status vor 5h 16m 4. fred97
ULinAAb/Permutationsgr./ Transposition
Status vor 18h 30m 2. UniversellesObjekt
Algebra/Ideale/Lokalisierung
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]