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Schräg liegender Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:25 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich habe bitte einmal eine Frage zu einem kleinen Verständnisproblem.

Gegeben ist ein teilweise mit Wasser gefüllter schräg liegender Zylinder mit einer Länge von 10 m und einem Durchmesser von 2 m.
An dem einen Ende beträgt der Füllstand 50 cm. Nach 3 m Länge ist der Füllstand bei 0 cm Höhe angelangt.

Meine Frage ist jetzt, welches Wasservolumen befindet sich in dem schräg liegenden Zylinder?

Ich habe leider keine Idee wie ich mit meiner Rechnung anfangen soll.

Kann mir evtl. bitte jemand einen tipp geben?

Vielen Dank schon einmal



        
Bezug
Schräg liegender Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Fr 19.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

>

> ich habe bitte einmal eine Frage zu einem kleinen
> Verständnisproblem.

>

> Gegeben ist ein teilweise mit Wasser gefüllter schräg
> liegender Zylinder mit einer Länge von 10 m und einem
> Durchmesser von 2 m.
> An dem einen Ende beträgt der Füllstand 50 cm. Nach 3 m
> Länge ist der Füllstand bei 0 cm Höhe angelangt.

>

> Meine Frage ist jetzt, welches Wasservolumen befindet sich
> in dem schräg liegenden Zylinder?

>

> Ich habe leider keine Idee wie ich mit meiner Rechnung
> anfangen soll.

Stelle in Gedanken den Zylinder aufrecht hin (nachdem du das Wasser darin eingefroren hast ;-) ).

Jetzt führe Zylinderkoordinaten ein (so dass die z-Achse die Rotationsachse des Zylinders ist und die [mm] \rho-\varphi-Ebene [/mm] der Boden) und mache folgendes:

- stelle eine Funktionsgleichung der Form [mm] z=f(\varphi) [/mm] für die gekrümmte Berandungskurve der Wasseroberfläche auf. Diese beschreibt einen Ellipsenbogen.
- nun benötigst du noch Anfangs- und Endwinkel des Ellipsenbogens als Integrationsgrenzen.

Damit ausgestattet kannst du jetzt das Volumen durch ein eindimensionales Integral darstellen, bei dem nach [mm] \varphi [/mm] integriert wird um senkrechte Volumenelemente aufzusummieren, die alle in Richting der z-Achse zeigen.


Gruß, Diophant

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Bezug
Schräg liegender Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:17 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Ok, vielen Dank schon einmal.

Ich kann zwar absolut nachvollziehen was du meinst. Und ich kann es mir bildlich auch vorstellen.
Aber ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll die Funktionsgleichung zu bestimmen.

Bzw. was meinst du mit Zylinderkoordinaten?

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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:21 Fr 19.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ok, vielen Dank schon einmal.

>

> Ich kann zwar absolut nachvollziehen was du meinst. Und ich
> kann es mir bildlich auch vorstellen.
> Aber ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll die
> Funktionsgleichung zu bestimmen.

>

> Bzw. was meinst du mit Zylinderkoordinaten?

Link: []Zylinderkoordinaten

Nun, in diesem Fall wäre es das beste, wenn du uns auflisten könntest, welche mathematischen Mittel dir bereits zur Verfügung stehen.

Es gibt bei solchen räumlichen Integrationsproblemen oft mehrere Ansätze und es besteht die Gefahr, dass man aneinander vorbeiredet, wenn Antwortgeber Dinge verwenden, die der Fragesteller (noch) nicht kennt.


Gruß, Diophant

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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:31 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Also die Zylinderkoordinaten kannte ich jetzt so direkt noch nicht.

Ich hatte halt gedacht das es vielleicht irgenwie möglich ist die Gleichung für einen liegenden Zylinder etwas zu modifizieren um damit dann das Volumen im einen schräg liegenden Zylinder zu bestimmen.

Oder ist das nicht möglich?

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Bezug
Schräg liegender Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Fr 19.01.2018
Autor: Fulla

Hallo Ice-Man,

wirklich ausgerechnet hab ich das Volumen zwar nicht, aber das 3D-Programm meines Vertrauens sagt, dass noch ca. 745 Liter in deinem Tank sind.
Wie exakt das ist, weiß ich nicht, aber ich vermute mal, dass es auf ein paar Milliliter hin oder her sowieso nicht ankommt.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Lieben Gruß,
Fulla

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Schräg liegender Zylinder: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:40 Sa 20.01.2018
Autor: Ice-Man

Vielen Dank noch einmal.

Aber ich versuche leider immer noch das Problem irgendwie rechnerisch zu lösen.
Aber ich habe leider immer noch keine Idee wie ich das anstellen sollte.

Und dann habe ich mich ja auch einmal an der zeichnerischen Lösung versucht.
Aber wie kann ich das zeichnerisch mit der Zylinderlänge (Höhe) lösen?
Die Grundfläche sollte ja kein Problem darstellen, aber die Länge (Höhe) bereitet mir Probleme.

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Schräg liegender Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 So 21.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Aber ich versuche leider immer noch das Problem irgendwie
> rechnerisch zu lösen.
> Aber ich habe leider immer noch keine Idee wie ich das
> anstellen sollte.

Eine Idee: der Rand des Wassers auf dem Boden ist eine Strecke (also gerade). Von dort aus könnte man inifinitesimale Scheiben aufaddieren, die parallel zu diesem Rand sind und auf der Grundfläches des Zylinders senkrecht stehen. Diese Scheiben sind rechtwinklig und ihren Flächeninhalt kann man mit einer Funktion der Form

[mm]f(x)=a*(bx+c)*\sqrt{d^2-x^2}[/mm]

beschreiben.

Mein CAS spuckt dafür für konkrete Zahlenwerte für a,b,c und d Stammfunktionen mit geschlossener Darstellung aus, ganz einfach dürfte das aber nicht sein (wenn du es selbst probieren möchtest, gibt es ja auch noch wolframalpha).

Ich komme jetzt gerade nicht weiter, das konkret durchzurechnen (vielleicht heute Nachmitag oder morgen). Wenn dir der Tipp weiterhilft, kannst du es ja auch selbst versuchen.

> Und dann habe ich mich ja auch einmal an der zeichnerischen
> Lösung versucht.
> Aber wie kann ich das zeichnerisch mit der Zylinderlänge
> (Höhe) lösen?
> Die Grundfläche sollte ja kein Problem darstellen, aber
> die Länge (Höhe) bereitet mir Probleme.

Ich wüsste nicht, wie man ein solches Problem zeichnerisch lösen könnte. Der dahingehende Tipp ist m.E. nach völlig unbrauchbar.


Gruß, Diophant

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Schräg liegender Zylinder: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mo 22.01.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Schräg liegender Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:49 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Meinst du das mit der Ellipsengleichung,

[mm] b^{2}*x^{2}+a^{2}*y^{2}=a^{2}*b^{2} [/mm]

?

Mein Problem ist nur das ich die Große Halbachse "a" ja gegeben habe.
Nur die Kleine Halbachse habe ich ja nicht als Zahlenwert.

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Schräg liegender Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Fr 19.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Meinst du das mit der Ellipsengleichung,

>

> [mm]b^{2}*x^{2}+a^{2}*y^{2}=a^{2}*b^{2}[/mm]

>

> ?

>

nein. Denn das ist eine Ellipsengleichung in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Wie auch immer du dein Problem angehen möchtest: es ist und bleibt räumlich.

BTW: ich hatte dich weiter oben darum gebeten, uns aufzulisten, was du in Sachen Integration, auch in Sachen Mehrfachintegrale, bisher zur Verfügung hast. Es ist nämlich ganz schön aufwändig, einen solchen Ansatz aufzustellen und durchzurechnen, da möchte ich persönlich vorher schon wissen, dass das nacher nicht daran scheitert, dass du eventuell die verwendete Methode nicht benutzen kannst bzw. darfst.


Gruß, Diophant

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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:07 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Mit Mehrfachintegralen habe ich mich noch nicht weiter beschäftigt.

Und mit normaler Integration komme ich ganz gut klar.

Und ich darf und kann alles benutzen was mir zur Verfügung steht.
Denn ich habe halt einen schräg liegenden Tank (real) wo ich gern wissen möchte wieviel Wasser noch vorhanden ist.

Weil ich leider keine Möglichkeit habe diesen einfach zu entleeren.
Also kurz gesagt, das ist kein "schulisches Problem" sondern ein reales ;).

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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Fr 19.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Mit Mehrfachintegralen habe ich mich noch nicht weiter
> beschäftigt.

>

> Und mit normaler Integration komme ich ganz gut klar.

>

> Und ich darf und kann alles benutzen was mir zur Verfügung
> steht.
> Denn ich habe halt einen schräg liegenden Tank (real) wo
> ich gern wissen möchte wieviel Wasser noch vorhanden ist.

>

> Weil ich leider keine Möglichkeit habe diesen einfach zu
> entleeren.
> Also kurz gesagt, das ist kein "schulisches Problem"
> sondern ein reales ;).

Ok, das ist gut zu wissen. Ich überlege mir mal etwas, allerdings wird es in meinem Fall eher eine Weile dauern.


Gruß, Diophant

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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Ok, dann sage ich schon einmal Vielen Dank

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Schräg liegender Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Man hat mir jetzt den Tipp gegeben das ich das auch zeichnerisch lösen könnte.

Ich bin mir nur nicht sicher wie.

Wenn ich auf einem Blatt Millimeterpapier einen Kreis zeichne.
Dann den Füllstand auftrage, dann kann ich ja die Fläche durch bilden des Integrals bestimmen.
Das sollte ich noch hinbekommen.

Aber wie komme ich dann zum Volumen, ich meine auf die Länge betrachtet habe ich ja ein Gefälle?



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Schräg liegender Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Fr 19.01.2018
Autor: abakus

Ich glaube, ihr denkt zu kompliziert.
Ein schräg angeschnittener Zylinder kann zu einem volumengleichen Zylinder gemacht werden, indem man in halber Höhe der Schnittfläche eine Parallelebene zur Grundfläche legt und das Überstehende nach innen klappt.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Fr 19.01.2018
Autor: Diophant

Die Fragestellung legt etwas anderes nahe: dass der Zylinder so schief liegt, dass (von der Seite aus betrachtet) der Wasserspiegel in einem Abstand von 50 cm die Grundfläche trifft und in einem Abstand von 3m zum Rand den Mantel, also etwa so:

[Dateianhang nicht öffentlich] 

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:49 Fr 19.01.2018
Autor: Ice-Man

Richtig, wenn wir davon ausgehen das es sich bei der "blauen Fläche" um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dann ist die Hypotenuse 3 m, und die kürzere Kathete 0,5 m.

Und ich suche jetzt das Volumen.

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Schräg liegender Zylinder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:41 Sa 20.01.2018
Autor: chrisno

Da es ja ein reales Problem ist:
- wie genau muss der Messwert sein?
- falls möglich: Mit einer Messung kalibrieren, also bekannte Volumina einfüllen und schauen, wo der Pegel dann steht. Dann eine schöne Kurve durch die Werte legen.
- hat Fulla ja den Weg gewiesen: Mit einer nummerischen Integration, die kannst Du bei so einem gutartigen Problem auch selbst durchführen/programmieren.

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Schräg liegender Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Sa 20.01.2018
Autor: Ice-Man

Also so genau muss es nicht sein.
Auf +/ - 5 Liter kommt es definitiv nicht an.

Das mit dem selbst programmieren klingt ja nicht schlecht.

Aber dafür brauch ich doch eine Gleichung mit der ich iterativ arbeiten kann, oder?

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Schräg liegender Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 So 21.01.2018
Autor: chrisno

Wie ich das nummerisch angehen würde:
Den Zylinder waagerecht legen und entsprechend schräg die Flüssigkeitsoberfläche.
Bei dem Punkt am Zylinderboden an dem der Pegelstand 50 cm (oder x cm) beträgt, beginnen.
In dem Schnitt entlang einer Ebene, die diesen Punkt und die Zylinderachse enthält und die senkrecht zum Boden steht, wird die Flüssigkeit von einem Dreieck dargestellt. Die Fläche der Dreiecks berechnen und das Volumen für ein Dreiecksprisma mit 1 cm Höhe.
Nun eine parallele Ebene mit 1 cm Abstand zu der vorangehenden betrachten. Wieder den Schnittpunkt zwischen Pegelstandsgerade und Zylinder berechnen, ... Volumen des Dreiecksprismas zu dem vorherigen Wert addieren. Dies fortsetzen, bis am Boden der Rand des Zylinders erreicht wird. Das Ganze mit 2 multiplizieren.

Nachdem das klappt, kannst Du Dich um die Genauigkeit kümmern. Reduziere die Höhen der Prismen und schaue nach, wie sich das Ergebnis für das Volumen ändert.

Falls mal der Pegel so steigt, dass der Deckel des Zylinders erreicht wird, musst Du noch eine Abfrage einbauen, da Du dann Viereckprismen bekommst. Entsprechend gilt das auch für den Fall, dass der Boden ganz bedeckt wird.

Bezug
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