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Selbstadjungiertheit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Mi 19.04.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei A ∈ Matm(R) mit <Au, v> = <u, Av> für alle u, v ∈ [mm] R_m. [/mm] Zeigen Sie, dass A symmetrisch ist.


Hallo,
Es wäre ja nicht möglich so umzuformen, wenn A ungleich [mm] A^T [/mm] wäre.
<Av,v> = [mm] (Au)^T*v [/mm] = [mm] (u^T*A^T [/mm] )v = [mm] u^T*(A^Tv) [/mm] = [mm] u^T(Av) [/mm] = <u, Av>
Aber als Beweis reicht es nicht das zu sehen oder?
Wäre sehr froh, um einen Tipp, wie ich da rangehen soll. Danke!!

        
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Selbstadjungiertheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 Mi 19.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie habt ihr denn Matm(R) definiert?
Und verwende doch bitte durchgehend den Formeleditor, das macht es einfacher zu lesen.
Bspw. vermute ich mal, dass du mit R eigentlich [mm] $\IR$ [/mm] meinst? Und mit [mm] $R_m$ [/mm] den [mm] $\IR^m$ [/mm] ?

Gruß,
Gono

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Selbstadjungiertheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Mi 19.04.2017
Autor: mariella22

Hallo,
tut mir leid, ja genau das meinte ich damit :)
[mm] Mat_m(\IR) [/mm] -> quadratische Matrix mit reellen Koeffizienten, Symmetrie sollen wir erst beweisen.
also sei A =
[mm] \begin{pmatrix} a_1,1 & ... & a_1,m \\ ... & ... & ... \\ a_m,1 & ... & ... a_m,m \end{pmatrix} [/mm]

Bezug
        
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Selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mi 19.04.2017
Autor: Ladon

Hallo mariella,

wenn [mm] $\langle [/mm] Au, [mm] v\rangle=\langle [/mm] u, [mm] Av\rangle$ [/mm] für alle [mm] $u,v\in \IR^m$ [/mm] gilt, dann doch erst recht für die Einheitsvektoren [mm] $e_i,e_j\in \IR^m$. [/mm] Dann ist aber mit [mm] $(A)_k=(\mbox{k-te Spalte von }A)$ [/mm] auch
[mm] $$a_{ij}=(A)_i^T\cdot e_j=\langle (A)_i, e_j\rangle=\langle Ae_i, e_j\rangle=\langle e_j, Ae_i\rangle=\langle e_i, (A)_j\rangle=(e_i)^T\cdot (A)_j=a_{ji}.$$ [/mm]

LG
Ladon

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Selbstadjungiertheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mi 19.04.2017
Autor: mariella22

Hallo,
ich stehe noch ein wenig auf dem Schlauch.
mit [mm] a_i,j [/mm] meinst du einen Eintrag der k-ten Spalte?
Danke!

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Selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Do 20.04.2017
Autor: Ladon

Es ist [mm] $A=(a_{i,j})_{1\le i,j\le m}$. [/mm]
Bitte nutze geschweifte Klammern {i,j}, um i und j tiefzustellen.

Ladon

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Selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Do 20.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wegen der Selbstadjungiertheit und nach den Rechenregeln fürs Skalarprodukt gilt:

$0 = <Au, v> - <u, Av> = <Au, v> - <A^Tu, v>  = [mm] <(A-A^T)u,v>$ [/mm] für beliebige $v$ und $u$.

Daraus folgt sofort [mm] $(A-A^T) [/mm] = 0$ also [mm] $A=A^T$ [/mm]

Das "sofort" kannst du dir einfach selbst überlegen: obige Aussage gilt für alle $v$ und $u$, insbesondere für $v = [mm] (A-A^T)u$ [/mm] daraus folgt aus obiger Gleichung sofort $ [mm] (A-A^T)u [/mm] = 0$ für beliebige u und damit [mm] $(A-A^T) [/mm] = 0$

Gruß,
Gono

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Selbstadjungiertheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Do 20.04.2017
Autor: mariella22

Vielen Dank für euere Hilfe!

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