matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteSelbstadjungiertheit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Selbstadjungiertheit
Selbstadjungiertheit < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Selbstadjungiertheit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Mi 19.04.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei A ∈ Matm(R) mit <Au, v> = <u, Av> für alle u, v ∈ [mm] R_m. [/mm] Zeigen Sie, dass A symmetrisch ist.


Hallo,
Es wäre ja nicht möglich so umzuformen, wenn A ungleich [mm] A^T [/mm] wäre.
<Av,v> = [mm] (Au)^T*v [/mm] = [mm] (u^T*A^T [/mm] )v = [mm] u^T*(A^Tv) [/mm] = [mm] u^T(Av) [/mm] = <u, Av>
Aber als Beweis reicht es nicht das zu sehen oder?
Wäre sehr froh, um einen Tipp, wie ich da rangehen soll. Danke!!

        
Bezug
Selbstadjungiertheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 Mi 19.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie habt ihr denn Matm(R) definiert?
Und verwende doch bitte durchgehend den Formeleditor, das macht es einfacher zu lesen.
Bspw. vermute ich mal, dass du mit R eigentlich [mm] $\IR$ [/mm] meinst? Und mit [mm] $R_m$ [/mm] den [mm] $\IR^m$ [/mm] ?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Selbstadjungiertheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Mi 19.04.2017
Autor: mariella22

Hallo,
tut mir leid, ja genau das meinte ich damit :)
[mm] Mat_m(\IR) [/mm] -> quadratische Matrix mit reellen Koeffizienten, Symmetrie sollen wir erst beweisen.
also sei A =
[mm] \begin{pmatrix} a_1,1 & ... & a_1,m \\ ... & ... & ... \\ a_m,1 & ... & ... a_m,m \end{pmatrix} [/mm]

Bezug
        
Bezug
Selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mi 19.04.2017
Autor: Ladon

Hallo mariella,

wenn [mm] $\langle [/mm] Au, [mm] v\rangle=\langle [/mm] u, [mm] Av\rangle$ [/mm] für alle [mm] $u,v\in \IR^m$ [/mm] gilt, dann doch erst recht für die Einheitsvektoren [mm] $e_i,e_j\in \IR^m$. [/mm] Dann ist aber mit [mm] $(A)_k=(\mbox{k-te Spalte von }A)$ [/mm] auch
[mm] $$a_{ij}=(A)_i^T\cdot e_j=\langle (A)_i, e_j\rangle=\langle Ae_i, e_j\rangle=\langle e_j, Ae_i\rangle=\langle e_i, (A)_j\rangle=(e_i)^T\cdot (A)_j=a_{ji}.$$ [/mm]

LG
Ladon

Bezug
                
Bezug
Selbstadjungiertheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mi 19.04.2017
Autor: mariella22

Hallo,
ich stehe noch ein wenig auf dem Schlauch.
mit [mm] a_i,j [/mm] meinst du einen Eintrag der k-ten Spalte?
Danke!

Bezug
                        
Bezug
Selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Do 20.04.2017
Autor: Ladon

Es ist [mm] $A=(a_{i,j})_{1\le i,j\le m}$. [/mm]
Bitte nutze geschweifte Klammern {i,j}, um i und j tiefzustellen.

Ladon

Bezug
        
Bezug
Selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Do 20.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wegen der Selbstadjungiertheit und nach den Rechenregeln fürs Skalarprodukt gilt:

$0 = <Au, v> - <u, Av> = <Au, v> - <A^Tu, v>  = [mm] <(A-A^T)u,v>$ [/mm] für beliebige $v$ und $u$.

Daraus folgt sofort [mm] $(A-A^T) [/mm] = 0$ also [mm] $A=A^T$ [/mm]

Das "sofort" kannst du dir einfach selbst überlegen: obige Aussage gilt für alle $v$ und $u$, insbesondere für $v = [mm] (A-A^T)u$ [/mm] daraus folgt aus obiger Gleichung sofort $ [mm] (A-A^T)u [/mm] = 0$ für beliebige u und damit [mm] $(A-A^T) [/mm] = 0$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Selbstadjungiertheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Do 20.04.2017
Autor: mariella22

Vielen Dank für euere Hilfe!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]