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Forum "Graphentheorie" - Selbstkomplementäre Graphen
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Selbstkomplementäre Graphen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 So 29.12.2013
Autor: MeineKekse

Aufgabe 1
A)Zeige, dass ein schlichter bipartiter Graph mit n Knoten höchsten [mm] \bruch{n^2}{4} [/mm] Kanten haben kann.



Aufgabe 2
B)Zeige, dass ein selbstkomplementärer Graph mit n Knoten höchsten [mm] \bruch{n(n-1)}{4} [/mm] Kanten haben kann.

Def 1.So Als Komplementgraph, komplementären Graph oder Komplement bezeichnet man in der Graphentheorie einen speziellen Graphen, den man aus einem gegebenen Graphen erhält.
Dabei besitzt der komplementäre Graph die gleichen Knoten wie Ursprungsgraph, unterscheidet sich aber in seinen Kanten: Der Komplementgraph besitzt genau die Kanten, die der Ursprungsgraph nicht hat. Der Komplementgraph eines gegebenen Graphen G wird häufig auch mit $ [mm] \overline{G} [/mm] $ bezeichnet.


Def 2.Als selbstkomplementär bezeichnet man Graphen, die isomorph zu ihrem komplementären Graphen sind.

C)Begründen Sie, dass ein Graph mit 6 Ecken auf keine Fall selbskomplementär ist.



Ich hänge bei A) fest:

Zu A) Also die maximale Anzahl an Kanten: Der bipartite Graph sei in die beiden disjunkten Mengen A und B partitioniert. O.B.d.A. soll gelten |B|>=|A|

Die Anzahl an Kanten in einem bipartiten Graph beträgt |A|*|B|, denn alle Knoten aus |A|=a können maximal mit |B|=b verschiedenen knoten verbunden sein(und umgekehrt).  Es gilt auch |B| = |A [mm] \cup [/mm] B| - |A|, wobei |A [mm] \cup [/mm] B|=n, also die Gesamtzahl der Knoten in einem Graphen ist.

Also gilt a*b= a(n-a) <= [mm] \bruch{n}{2}(n [/mm] - [mm] \bruch{n}{2}), [/mm] denn es gilt ha b>=a also a kleiner gleich als n/2

= [mm] \bruch{n^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{n^2}{4} [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{4} \Box [/mm]

Bei B und C habe ich leider keinen Ansatz könnte mir jemand vielleicht einen Tipp geben?

        
Bezug
Selbstkomplementäre Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Di 31.12.2013
Autor: felixf

Moin!

> A)Zeige, dass ein schlichter bipartiter Graph mit n Knoten
> höchsten [mm]\bruch{n^2}{4}[/mm] Kanten haben kann.
>  
>
> B)Zeige, dass ein selbstkomplementärer Graph mit n Knoten
> höchsten [mm]\bruch{n(n-1)}{4}[/mm] Kanten haben kann.
>  
> Def 1.So Als Komplementgraph, komplementären Graph oder
> Komplement bezeichnet man in der Graphentheorie einen
> speziellen Graphen, den man aus einem gegebenen Graphen
> erhält.
> Dabei besitzt der komplementäre Graph die gleichen Knoten
> wie Ursprungsgraph, unterscheidet sich aber in seinen
> Kanten: Der Komplementgraph besitzt genau die Kanten, die
> der Ursprungsgraph nicht hat. Der Komplementgraph eines
> gegebenen Graphen G wird häufig auch mit [mm]\overline{G}[/mm]
> bezeichnet.
>
>
> Def 2.Als selbstkomplementär bezeichnet man Graphen, die
> isomorph zu ihrem komplementären Graphen sind.
>  
> C)Begründen Sie, dass ein Graph mit 6 Ecken auf keine Fall
> selbskomplementär ist.
>  
>
> Ich hänge bei A) fest:
>  
> Zu A) Also die maximale Anzahl an Kanten: Der bipartite
> Graph sei in die beiden disjunkten Mengen A und B
> partitioniert. O.B.d.A. soll gelten |B|>=|A|
>  
> Die Anzahl an Kanten in einem bipartiten Graph beträgt
> |A|*|B|, denn alle Knoten aus |A|=a können maximal mit
> |B|=b verschiedenen knoten verbunden sein(und umgekehrt).

Genau.
  

> Es gilt auch |B| = |A [mm]\cup[/mm] B| - |A|, wobei |A [mm]\cup[/mm] B|=n,
> also die Gesamtzahl der Knoten in einem Graphen ist.
>
> Also gilt a*b= a(n-a) <= [mm]\bruch{n}{2}(n[/mm] - [mm]\bruch{n}{2}),[/mm]
> denn es gilt ha b>=a also a kleiner gleich als n/2

Damit bekommst du aber nicht $n - a [mm] \le [/mm] n - [mm] \frac{n}{2}$ [/mm] hin! Wenn $a [mm] \le \frac{n}{2}$ [/mm] ist, dann ist im Allgemeinen $n - a [mm] \ge [/mm] n - [mm] \frac{n}{2}$! [/mm]

> = [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] - [mm]\bruch{n^2}{4}[/mm] = [mm]\bruch{n^2}{4} \Box[/mm]

Mach mal eine Kurvendiskussion von $f(x) = x * (n - x)$. Du wirst sehen: das Minimum wird bei $x = n/2$ angenommen, und damit bekommst du die gesuchte Schranke von $n/4$.

> Bei B und C habe ich leider keinen Ansatz könnte mir
> jemand vielleicht einen Tipp geben?

Ein Graph kann an genau [mm] $\frac{1}{2} [/mm] n [mm] \cdot [/mm] (n - 1)$ Stellen jeweils eine Kante haben oder nicht (warum?). Bei einem selbstkomplementaeren Graphen hat es an genauso vielen Stellen Kanten wie es keine Kanten hat. Damit ist die Anzahl der Kanten genau gleich... und jetzt du :)

Damit solltest du B haben, und mit genau dem gleichen Argument siehst du auch, warum $n = 6$ nicht geht (und damit hast du C).

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Selbstkomplementäre Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Do 02.01.2014
Autor: MeineKekse


> Mach mal eine Kurvendiskussion von [mm]f(x) = x * (n - x)[/mm]. Du
> wirst sehen: das Minimum wird bei [mm]x = n/2[/mm] angenommen, und
> damit bekommst du die gesuchte Schranke von [mm]n/4[/mm].

Top danke :)

> Ein Graph kann an genau [mm]\frac{1}{2} n \cdot (n - 1)[/mm] Stellen
> jeweils eine Kante haben oder nicht (warum?).

Zunächst kann ja jeder Knoten mit jedem anderen verbunden sein, außer mit sich selbst. Jeder Knoten hat also n-1 potenzielle Nachbarn. Bei n Knoten gibt es als n*(n-1) theoretische Verbindungen. Da aber die Kante von x,y zur Nachbarschaft von x und zur Nachbarschaft von y zählt, also insgesamt zweimal gezählt wird, es aber nur eine Kante gibt. Gilt (n/2)*(n-1)

Bei einem

> selbstkomplementaeren Graphen hat es an genauso vielen
> Stellen Kanten wie es keine Kanten hat. Damit ist die
> Anzahl der Kanten genau gleich... und jetzt du :)

(n/4)*(n-1)


>  
> Damit solltest du B haben, und mit genau dem gleichen
> Argument siehst du auch, warum [mm]n = 6[/mm] nicht geht (und damit
> hast du C).

15 ist nicht durch 2 teilbar, zu mindestens nicht ohne Rest und damit kann die Bedingung mit gleich vielen Kanten und Nichtkanten nicht erfüllt sein.

Stimmt das alles so?

LG MeineKekse

Bezug
                        
Bezug
Selbstkomplementäre Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 02.01.2014
Autor: felixf

Moin,

> > Mach mal eine Kurvendiskussion von [mm]f(x) = x * (n - x)[/mm]. Du
> > wirst sehen: das Minimum wird bei [mm]x = n/2[/mm] angenommen, und
> > damit bekommst du die gesuchte Schranke von [mm]n/4[/mm].
>  
> Top danke :)

bitte :)

> > Ein Graph kann an genau [mm]\frac{1}{2} n \cdot (n - 1)[/mm] Stellen
> > jeweils eine Kante haben oder nicht (warum?).
>
> Zunächst kann ja jeder Knoten mit jedem anderen verbunden
> sein, außer mit sich selbst. Jeder Knoten hat also n-1
> potenzielle Nachbarn. Bei n Knoten gibt es als n*(n-1)
> theoretische Verbindungen. Da aber die Kante von x,y zur
> Nachbarschaft von x und zur Nachbarschaft von y zählt,
> also insgesamt zweimal gezählt wird, es aber nur eine
> Kante gibt. Gilt (n/2)*(n-1)

[ok]

> Bei einem
> > selbstkomplementaeren Graphen hat es an genauso vielen
> > Stellen Kanten wie es keine Kanten hat. Damit ist die
> > Anzahl der Kanten genau gleich... und jetzt du :)
>
>  (n/4)*(n-1)

[ok]

> > Damit solltest du B haben, und mit genau dem gleichen
> > Argument siehst du auch, warum [mm]n = 6[/mm] nicht geht (und damit
> > hast du C).
>  
> 15 ist nicht durch 2 teilbar, zu mindestens nicht ohne Rest
> und damit kann die Bedingung mit gleich vielen Kanten und
> Nichtkanten nicht erfüllt sein.

Genau.

> Stimmt das alles so?

Ja. Jetzt musst du es nur noch etwas formaler aufschreiben und fertig bist du :)

LG Felix


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