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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Sigma-Algebra
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Sigma-Algebra: Sigma-Algebra angeben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Sa 14.10.2006
Autor: andi24

Aufgabe
Aufgabe:
Es sei Omega = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Man konstruiere die kleinste Sigma-Algebra, welche von den Ereignissen { 1 } und { 3, 5 } erzeugt wird.

Ich würde folgendermaßen vorgehen: Laut den Bedingungen für eine Sigma-Algebra müssen Omega selbst und die leere Menge in der Sigma-Algebra enthalten sein, sowie natürlich { 1 } und { 3, 5 }, also:

(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 })

Laut Bedingung 2 muss zu jedem Element aus das Komplement enthalten sein:

(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6})

Eine Musterlösung, von der ich aber nicht 100%ig weiß ob sie richtig ist, heißt es aber:

(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 4, 6})

Meine Frage: Habe ich etwas falsch verstanden, oder ist meine Musterlösung falsch? Das Komplement von { 1 } müsste ja {2, 3, 4, 5, 6} sein. Natürlich sind 2, 3, 4, 5 und 6 auch laut Musterlösung in meiner Sigmaalgebra, aber eben nicht als Menge {2, 3, 4, 5, 6}, sondern als
"{ 3, 5 }, {2, 4, 6}".

Außerdem müsste ja laut Bedingung 3 auch noch jede Vereinigung der Elemente
[also ausgehende von (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6}) ] enthalten sein, was dann eine Sigma-Algebra von:

(Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6})
+Vereinigungen: {1,3,5}, {1,2,3,4,5,6}
ergeben würde.

Danke, Andi

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: mathe-profis.de

        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Sa 14.10.2006
Autor: Marc

Hallo andi24,

[willkommenmr]

> Aufgabe:
>  Es sei Omega = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Man konstruiere die
> kleinste Sigma-Algebra, welche von den Ereignissen { 1 }
> und { 3, 5 } erzeugt wird.
>  Ich würde folgendermaßen vorgehen: Laut den Bedingungen
> für eine Sigma-Algebra müssen Omega selbst und die leere
> Menge in der Sigma-Algebra enthalten sein, sowie natürlich
> { 1 } und { 3, 5 }, also:
>  
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 })
>  
> Laut Bedingung 2 muss zu jedem Element aus das Komplement
> enthalten sein:
>  
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4,
> 6})

[ok]
  

> Eine Musterlösung, von der ich aber nicht 100%ig weiß ob
> sie richtig ist, heißt es aber:
>  
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 4, 6})

Das ist auch mMn falsch.
  

> Meine Frage: Habe ich etwas falsch verstanden, oder ist
> meine Musterlösung falsch? Das Komplement von { 1 } müsste
> ja {2, 3, 4, 5, 6} sein. Natürlich sind 2, 3, 4, 5 und 6
> auch laut Musterlösung in meiner Sigmaalgebra, aber eben
> nicht als Menge {2, 3, 4, 5, 6}, sondern als
>  "{ 3, 5 }, {2, 4, 6}".
>  
> Außerdem müsste ja laut Bedingung 3 auch noch jede
> Vereinigung der Elemente
>  [also ausgehende von (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3,
> 4, 5, 6}, {1, 2, 4, 6}) ] enthalten sein, was dann eine
> Sigma-Algebra von:
>  
> (Omega, {}, { 1 } , { 3, 5 }, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 4,
> 6})
>  +Vereinigungen: {1,3,5}, {1,2,3,4,5,6}
>  ergeben würde.

[mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] ist natürlich [mm] $=\Omega$. [/mm]

Dies sind aber noch nicht alle Mengen:
Von der Menge [mm] $\{1,3,5\}$ [/mm] müsstest Du auch wieder das Komplement dazu nehmen, also [mm] $\{2,4,6\}$. [/mm]
Nicht auszuschliessen, dass dadurch wieder weitere Vereinigungen/Komplemente beachtet werden müssen...

> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: mathe-profis.de

Danke für den Hinweis!

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 So 15.10.2006
Autor: andi24

Danke für Deine Antwort. Das heißt die endgültige Lösung der Aufgabe wäre dann:

{

Omega,{},  
{1}, {3,5},     // Voraussetzung
{2,3,4,5,6}, {1,2,3,6},    //Komplemente
{1,3,5}, {1,2,3,5,6}    //alle möglichen Vereinigungen

}

Bezug
                        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 So 15.10.2006
Autor: Marc

Hallo andi24,

> Danke für Deine Antwort. Das heißt die endgültige Lösung
> der Aufgabe wäre dann:
>  
> {
>  
> Omega,{},  
> {1}, {3,5},     // Voraussetzung
>  {2,3,4,5,6}, {1,2,3,6},    //Komplemente
>  {1,3,5}, {1,2,3,5,6}    //alle möglichen Vereinigungen
>  
> }

Wie gesagt, es fehlt die Menge [mm] $\Omega\setminus\{1,3,5\}$. [/mm]

Und auch das Komplement von [mm] $\{1,2,3,5,6\}$ [/mm] fehlt, womit viele weitere Teilmengen entstehen... :-)

Viele Grüße,
Mardc

Bezug
                        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 So 15.10.2006
Autor: Marc

Hallo andi24,

> {
>  
> Omega,{},  
> {1}, {3,5},     // Voraussetzung
>  {2,3,4,5,6}, {1,2,3,6},    //Komplemente
>  {1,3,5}, {1,2,3,5,6}    //alle möglichen Vereinigungen
>  
> }

Und die Menge {1,2,3,6} ist falsch, es gilt doch: [mm] $\Omega\setminus\{3,5\}=\{1,2,4,6\}$ [/mm]
Damit ist [mm] $\{1,2,3,5,6\}$ [/mm] auch keine mögliche Vereinigung mehr (und der zweite Teil meiner vorherigen Antwort hat sich auch erledigt.)

Viele Grüße,
Marc

Bezug
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