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Singularität Cot(1/z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Sa 16.09.2017
Autor: Paivren

Guten Abend Leute,

hier mal eine Frage zur Bestimmung und Charakterisierung von isolierten Singularitäten.

cot(1/z)= cos(1/z) / sin (1/z)

Der Nenner hat nur einfache Nullstellen für z= [mm] 1/(n\pi) [/mm] für jede ganze Zahl [mm] n\not=0. [/mm]
Der Zähler hat dort keine --> Pole erster Ordnung

Nun denke ich, dass es wegen 1/z bei 0 eine wesentliche Singularität geben muss.
Zumindest sin(1/z) und cos(1/z) haben dort wesentliche Singularitäten, wie man sieht, wenn man die entsprechenden Reihenentwicklungen hinschreibt und auf die Form der Laurentreihe bringt. Dann sieht man, dass es unendlich viele Laurentglieder mit negativem Index gibt --> wesentliche Singularität.

Aber ich habe keine Ahnung, was das für den Bruch beider Funktionen aussagt. Wir haben in der Vorlesung keine Reihe für den cot(z) hergeleitet und 'per Hand' ist das vermutlich sehr mühsehlig.
Gibt es Argumente dafür, dass der Quotient zweier Funktionen mit wesentlicher Singularität an der gleichen Stelle wieder eine wesentliche Singularität dort haben muss?

Viele Grüße
Paivren

        
Bezug
Singularität Cot(1/z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Sa 16.09.2017
Autor: fred97


> Guten Abend Leute,
>  
> hier mal eine Frage zur Bestimmung und Charakterisierung
> von isolierten Singularitäten.
>  
> cot(1/z)= cos(1/z) / sin (1/z)
>  
> Der Nenner hat nur einfache Nullstellen für z= [mm]1/(n\pi)[/mm]
> für jede ganze Zahl [mm]n\not=0.[/mm]
>  Der Zähler hat dort keine --> Pole erster Ordnung


Das stimmt.

>  
> Nun denke ich, dass es wegen 1/z bei 0 eine wesentliche
> Singularität geben muss.


Hmm mm. .... setzen wir [mm] z_n=\bruch{1}{n \pi} [/mm]

wie Du oben festgestellt hast,sind das alles Pole. Diese Pole häufen sich  in 0.

Damit ist 0 keine isolierte Singularität  ! 0 ist also Häufungspunkt von Polen.

Wie nennt  man  das?

Antwort: Warschau.

ha ha  ha .....


>  Zumindest sin(1/z) und cos(1/z) haben dort wesentliche
> Singularitäten, wie man sieht, wenn man die entsprechenden
> Reihenentwicklungen hinschreibt und auf die Form der
> Laurentreihe bringt. Dann sieht man, dass es unendlich
> viele Laurentglieder mit negativem Index gibt -->
> wesentliche Singularität.
>  
> Aber ich habe keine Ahnung, was das für den Bruch beider
> Funktionen aussagt. Wir haben in der Vorlesung keine Reihe
> für den cot(z) hergeleitet und 'per Hand' ist das
> vermutlich sehr mühsehlig.
> Gibt es Argumente dafür, dass der Quotient zweier
> Funktionen mit wesentlicher Singularität an der gleichen
> Stelle wieder eine wesentliche Singularität dort haben
> muss?
>
> Viele Grüße
>  Paivren


Bezug
                
Bezug
Singularität Cot(1/z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Sa 16.09.2017
Autor: Paivren

Hallo Fred,

das ist brillant!! Nicht nur der Witz, haha!

0 ist also keine isolierte Singularität. Aber was ist 0 dann?
Holomoprh ist die Funktion dort doch sicher nicht...



Bezug
                        
Bezug
Singularität Cot(1/z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 So 17.09.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> das ist brillant!! Nicht nur der Witz, haha!
>  
> 0 ist also keine isolierte Singularität. Aber was ist 0
> dann?
>  Holomoprh ist die Funktion dort doch sicher nicht...

Richtig,  0 ist eine Singularität,  aber keine isolierte



>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Singularität Cot(1/z): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 So 17.09.2017
Autor: Paivren

Danke dir :)

Bezug
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