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Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Mo 16.06.2014
Autor: fuoor

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Abbildung

[mm] \left\langle *,* \right\rangle_{b} [/mm] : [mm] \IR_{\le 2} \left[ x \right] \to \IR [/mm]
[mm] \left\langle p,q \right\rangle_{b} [/mm] = [mm] p_{2}q_{2}-p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}+p_{1}q_{1}+p_{0}q_{0} [/mm]

kein Skalarprodukt des [mm] \IR_{\le 2} \left[ x \right] [/mm] ist.

kein Skalarprodukt des R2[x] ist.
Hinweis: Welche Eigenschaft eines Skalarprodukts ist verletzt? Finden Sie ein Gegenbeispiel.


Ich soll hier auf die Eigenschaften des Skalarprodukts eingehen und ein Gegenbeispiel dazu finden. Soweit so gut. Die Eigenschaften des Skalarprodukts sind:

1. [mm] \left\langle \vec{u}+\vec{v}, \vec{w} \right\rangle=\left\langle \vec{u}, \vec{w} \right\rangle+\left\langle \vec{v}, \vec{w} \right\rangle [/mm]

2. [mm] \left\langle \alpha \vec{u}, \vec{v} \right\rangle=\alpha \left\langle \vec{u}, \vec{v} \right\rangle [/mm]

3. [mm] \left\langle \alpha \vec{v}, \vec{v} \right\rangle \ge [/mm] 0 mit [mm] \left\langle \alpha \vec{v}, \vec{v} \right\rangle [/mm] = 0 [mm] \gdw \vec{v}0\vec{0} [/mm] (positiv definit)

4. [mm] \left\langle \alpha \vec{u}, \vec{v} \right\rangle [/mm] = [mm] \left\langle \alpha \vec{v}, \vec{uv} \right\rangle [/mm] (symmetrisch)


Die Bedingungen sind mir also bekannt. Auch weiß ich, dass [mm] p_{2, 1, 0} [/mm] und [mm] q_{2, 1, 0} [/mm] auf das Polynom [mm] p=p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0} [/mm] und [mm] q=q_{2}x^{2}+q_{1}x+q_{0} [/mm] bezogen sind....mir ist nur absolut schleierhaft wie ich nun damit arbeiten soll.....

        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mo 16.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was ist denn <p,p>?

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 16.06.2014
Autor: fuoor

<p,p> wäre [mm] p_{2}p_{2}+p_{1}p_{1}+p_{0}p_{0} [/mm] für ein allgemeines Polynom. Ich komme hier nur nicht mit dem gegebenen Polynom klar. Die Inidzes kommen mir so durcheinander vor. Dann hab ich darüber hinaus noch Schwierigkeiten mit den Vorzeichen...

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mo 16.06.2014
Autor: fred97


> <p,p> wäre [mm]p_{2}p_{2}+p_{1}p_{1}+p_{0}p_{0}[/mm] für ein
> allgemeines Polynom.

Das stimmt nicht. Ist [mm] p(x)=p_0+p_1x+p_2x^2, [/mm] so ist

   $<p,p>= [mm] (p_2-p_1)^2+p_0^2$ [/mm]

Berechne das mal für [mm] p(x)=x+x^2 [/mm]

FRED

> Ich komme hier nur nicht mit dem
> gegebenen Polynom klar. Die Inidzes kommen mir so
> durcheinander vor. Dann hab ich darüber hinaus noch
> Schwierigkeiten mit den Vorzeichen...


Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 16.06.2014
Autor: fuoor

Alles auf neu....ich glaube ich habe es jetzt. Das Skalarprodukt ist nicht positiv definit. Wenn ich mit [mm] <\alpha [/mm] p(x), p(x)> und für [mm] \alpha=-5 [/mm] wähle dann ergibt sich

[mm] <\alpha [/mm] p(x), [mm] p(x)>=<-5(p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}), p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}>=<-5p_{2}x^{2}+-5p_{1}x+-5p_{0}, p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}>=-5*1-(-5)*1-(-5)*1+(-5)*1+(-5)*1=-5+5+5-5-5=-5 [/mm]

Da das Ergebnis negativ ist, ist die Abbildung kein Skalarprodukt...

Stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mo 16.06.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Alles auf neu....

Alles auf neue Antwort ...


> ich glaube ich habe es jetzt. Das
> Skalarprodukt ist nicht positiv definit. Wenn ich mit
> [mm]<\alpha[/mm] p(x), p(x)> und für [mm]\alpha=-5[/mm] wähle dann ergibt
> sich

>

> [mm]<\alpha[/mm] p(x), [mm]p(x)>=<-5(p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}), p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}>=<-5p_{2}x^{2}+-5p_{1}x+-5p_{0}, p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}>=-5*1-(-5)*1-(-5)*1+(-5)*1+(-5)*1=-5+5+5-5-5=-5[/mm]


Wieso schreibst du nicht, welches Polynom $p$ du genommen hast?

So ist das "=", nach dem die Zahlenwerte kommen Quatsch.

Gib also das Polynom p konkret an, ein konkretes Gegenbsp. tut's ja ...

Wenn du das allg. mit deinem [mm] $\alpha=-5$ [/mm] und [mm] $p(x)=P_2x^2+p_1x+p_0$ [/mm] rechnest, kommt [mm] $-5(p_0^2+p_1^2+p_2^2)$ [/mm] heraus ...


> Da das Ergebnis negativ ist, ist die Abbildung kein
> Skalarprodukt...

>

> Stimmt das?

So ist es ...

Gruß

schachuzipus
>

Bezug
                                                
Bezug
Skalarprodukt: Häh?
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 17:54 Mo 16.06.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> > Alles auf neu....
>  
> Alles auf neue Antwort ...
>  
>
> > ich glaube ich habe es jetzt. Das
>  > Skalarprodukt ist nicht positiv definit. Wenn ich mit

>  > [mm]<\alpha[/mm] p(x), p(x)> und für [mm]\alpha=-5[/mm] wähle dann

> ergibt
>  > sich

>  >
>  > [mm]<\alpha[/mm] p(x), [mm]p(x)>=<-5(p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}), p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}>=<-5p_{2}x^{2}+-5p_{1}x+-5p_{0}, p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}>=-5*1-(-5)*1-(-5)*1+(-5)*1+(-5)*1=-5+5+5-5-5=-5[/mm]

>  
>
> Wieso schreibst du nicht, welches Polynom [mm]p[/mm] du genommen
> hast?
>  
> So ist das "=", nach dem die Zahlenwerte kommen Quatsch.
>  
> Gib also das Polynom p konkret an, ein konkretes Gegenbsp.
> tut's ja ...
>  
> Wenn du das allg. mit deinem [mm]\alpha=-5[/mm] und
> [mm]p(x)=P_2x^2+p_1x+p_0[/mm] rechnest, kommt [mm]-5(p_0^2+p_1^2+p_2^2)[/mm]
> heraus ...
>  
>
> > Da das Ergebnis negativ ist, ist die Abbildung kein
>  > Skalarprodukt...

>  >
>  > Stimmt das?

>  
> So ist es ...

ich sehe im Skalarprodukt zwar eine Forderung

    $<p,p> [mm] \;\ge\;0\,,$ [/mm]

aber dort steht doch nirgends, dass

    [mm] $<\alpha*p,p [/mm] > [mm] \;\ge\;0$ [/mm]

gelten muss. Nur:

     [mm] $<\alpha p,p>\;=\;\alpha \,,$ [/mm]

und damit ist das Vorzeichen von

    [mm] $<\alpha [/mm] p,p>$

doch nur von dem von [mm] $\alpha$ [/mm] abhängig... (sofern [mm] $\;\ge\;0$ [/mm] stets...)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mo 16.06.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Alles auf neu....ich glaube ich habe es jetzt. Das
> Skalarprodukt ist nicht positiv definit. Wenn ich mit
> [mm]<\alpha[/mm] p(x), p(x)> und für [mm]\alpha=-5[/mm] wähle dann ergibt
> sich
>  
> [mm]<\alpha[/mm] p(x), [mm]p(x)>

dieser Ansatz hat aber nichts mit der positiven Definitheit zu tun! (I.a. ist
[mm] $\alpha [/mm] p(x) [mm] \not\equiv [/mm] p(x)$!)

P.S. Noch deutlicher:
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist durch

     [mm] $=u_1v_1+u_2v_2$ ($u=(u_1,u_2)^T$ [/mm] und für [mm] $v\,$ [/mm] analog)

ein Skalarprodukt gegeben. Dennoch gilt (für [mm] $(u_1,u_2) \not=(0,0)$) [/mm]

     [mm] $<(-5)*u,u>=-5({u_1}^2+{u_2}^2) [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm]

Wie rechnest Du hier also richtig nach, dass das Ding positiv definit ist?

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 16.06.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeigen Sie, dass die Abbildung
>  
> [mm]\left\langle *,* \right\rangle_{b}[/mm] : [mm]\IR_{\le 2} \left[ x \right] \to \IR[/mm]
>  
> [mm]\left\langle p,q \right\rangle_{b}[/mm] =
> [mm]p_{2}q_{2}-p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}+p_{1}q_{1}+p_{0}q_{0}[/mm]
>  
> kein Skalarprodukt des [mm]\IR_{\le 2} \left[ x \right][/mm] ist.
>  
> kein Skalarprodukt des R2[x] ist.
>  Hinweis: Welche Eigenschaft eines Skalarprodukts ist
> verletzt? Finden Sie ein Gegenbeispiel.
>  
> Ich soll hier auf die Eigenschaften des Skalarprodukts
> eingehen und ein Gegenbeispiel dazu finden. Soweit so gut.
> Die Eigenschaften des Skalarprodukts sind:
>  
> 1. [mm]\left\langle \vec{u}+\vec{v}, \vec{w} \right\rangle=\left\langle \vec{u}, \vec{w} \right\rangle+\left\langle \vec{v}, \vec{w} \right\rangle[/mm]
>  
> 2. [mm]\left\langle \alpha \vec{u}, \vec{v} \right\rangle=\alpha \left\langle \vec{u}, \vec{v} \right\rangle[/mm]
>  
> 3. [mm]\left\langle \alpha \vec{v}, \vec{v} \right\rangle \ge[/mm] 0
> mit [mm]\left\langle \alpha \vec{v}, \vec{v} \right\rangle[/mm] = 0
> [mm]\gdw \vec{v}0\vec{0}[/mm] (positiv definit)
>  
> 4. [mm]\left\langle \alpha \vec{u}, \vec{v} \right\rangle[/mm] =
> [mm]\left\langle \alpha \vec{v}, \vec{uv} \right\rangle[/mm]
> (symmetrisch)

da hast Du doch teilweise Käse stehen - wie sehen 3. und 4. richtig aus?
Bei 3. wirst Du evtl. positive Semidefinitheit nachweisen können (ich hab's
nicht nachgerechnet), aber die "Definitheit" wird schiefgehen. Fred hat's Dir
ja schon gesagt:

    [mm] $p(x)=x+x^2=p_0+p_1*x+p_2*x^2$ [/mm]

mit also [mm] $p_0=0\,,$ $p_1=p_2=1$ [/mm] liefert

    [mm] $_b=p_2p_2-p_2p_1-p_1p_2+p_1p_1+p_0p_0=1^2-1*1-1*1+1*1+0*0=0\,.$ [/mm]

Kann damit dann

    [mm] $_b\;=\;0$ $\Longrightarrow$ [/mm] $p(x) [mm] \equiv [/mm] 0$

noch wahr sein (das steckt ja in 3. in [mm] $\Rightarrow$ [/mm] in der Forderung [mm] $<\vec{v},\vec{v}>=0$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\vec{v}=\vec{0}$)? [/mm]

P.S. Bedenke, was der Nullvektor in [mm] $\IR_{\le 2}[x]$ [/mm] ist!

P.P.S. Überlege Dir, dass (die richtig formulierte) positive Definitheit auch
(in äquivalenter Form) geschrieben werden kann als:

Es gilt für alle Vektoren [mm] $\vec{v}$ [/mm]

    [mm] $<\vec{v}, \vec{v}>\;\;\ge\;\;0$ [/mm]

mit

    [mm] $<\vec{v}, \vec{v}> \;\; [/mm] > [mm] \;\;0$ [/mm] für alle [mm] $\vec{v} \not= \vec{0}\,.$ [/mm]
(Hinweis: Aus [mm] $<\alpha \vec{v},\vec{v}>=\alpha <\vec{v},\vec{v}>$ [/mm] folgt dabei insbesondere [mm] $<\vec{0},\vec{0}>=0\,.$) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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