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Skalarprodukt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 So 19.12.2004
Autor: Tito

Hallo Matheraummitglieder und Gäste.

Ich habe Fragen zur folgenden Aufgabe:

Zeige, dass die Abbildung
              <.,.>: M(n [mm] \times n,\IC) \times [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) \to \IC [/mm]
                      ( [mm] A,B)\mapsto spur(A^T\overline{B}) [/mm]
ein Skalarprodukt auf der Menge der komplexen (n [mm] \times [/mm] n)- Matrizen ist.

Ich weiß nicht was ich zeige soll, damit die Aufgabe gelöst ist.
Muss ich zeigen das die Abbildung sesquilinear ist, oder liege ich völlig daneben?
Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß geben.

Was ich bis jetzt überlegt habe: Sei A,B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) [/mm] mit komplexen Einträgen [mm] A=(a_{jk}) [/mm] und [mm] B=(b_{jk}) [/mm] mit j=1,...,n und k=1,...,n, dann ist nach der Abbildungsvorschrift:
[mm] spur(A^T\overline{B})=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{b}_{jk}\in\IC [/mm]
Ist dies korrekt, und hilft es mir bei der Lösung?

Ein weiteres Problem wäre die Konvention [mm] \overline{B}\in\IC, [/mm] ich hoffe es bedeutet, dass die Einträge der Matrix [mm] \overline{B}\in\IC [/mm] sind die konjungierten komplexen Einträge der Matrix [mm] B\in\IC. [/mm]

Danke, Gruß
Tito

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Mo 20.12.2004
Autor: Julius

Hallo Tito!

Du hast alles richtig interpretiert. Alle deine Überlegungen sind korrekt. [daumenhoch]

Nachweisen musst du []diese Eigenschaften (2.7.2.1).

Das ist alles mehr oder weniger trivial. Beachte bitte, dass beim Nachweis der positiven Definitheit Betragsquadrate reinkommen wegen [mm] $z\bar{z}=|z|^2$. [/mm]

Versuche die drei Bedingungen bitte nachzuweisen und melde dich einfach mit Lösungsvorschlägen zur Kontrolle wieder, wenn du magst. :-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mo 20.12.2004
Autor: Tito

Erstmal mein Dank an Julius!!

Ok dann werde ich meine Lösung mal präsentieren:

1.) Seien A,B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) [/mm] mit Einträgen [mm] A=a_{jk} [/mm] und [mm] B=b_{jk} [/mm] für j,k=1,...,n ,zz.:  dann ist [mm] =\overline{} [/mm]
        
Beweis:    
    [mm] =spur(A^T,\overline{B})=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{b_{jk}}=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\overline{b_{jk}}a_{jk}=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\overline{b_{jk}\overline{a_{jk}}}=\overline{\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}b_{jk}\overline{a_{jk}}}=\overline{spur(B^T,\overline{A})}=\overline{} [/mm] .

2.) Seien A,B,D [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IC) [/mm] mit Einträgen [mm] A=a_{jk}, B=b_{jk}, D=d_{jk} [/mm] für j,k=1,...,n und [mm] \alpha,\beta \in \IC, [/mm] dann ist zz.: [mm] <\alpha A+\beta B,D>=\alpha+\beta [/mm]

Beweis:
[mm] <\alpha A+\beta B,D>=spur((\alpha A+\beta B)^T\overline{D}) [/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}(\alpha a_{jk}+\beta b_{jk})\overline{d_{jk}} [/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}(\alpha a_{jk}\overline{d_{jk}}+\beta b_{jk}\overline{d_{jk}}) [/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\alpha a_{jk}\overline{d_{jk}}+\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\beta b_{jk}\overline{d_{jk}} [/mm]
[mm] =\alpha\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{d_{jk}}+\beta\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}b_{jk}\overline{d_{jk}} [/mm]
[mm] =\alpha spur(A^T,\overline{D})+\beta spur(B^T,\overline{D})=\alpha +\beta [/mm] <B,D> .

3.) Sei [mm] A\in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) [/mm] mit Einträgen [mm] A=a_{jk} [/mm] für j,k=1,...,n
zz.: [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] <A,A>=0 [mm] \gdw [/mm] A=0 [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC). [/mm]

Beweis:
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{a_{jk}}=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|^2\ge [/mm] 0
Da [mm] |a_{jk}|^2=( \wurzel{((b+ic)(b-ic))} )^2 [/mm] (mit [mm] b,c\in\IR) [/mm]
[mm] =(b^2+c^2)\in\IR_+\ge [/mm] 0 [mm] \forall b,c\in\IR [/mm]
und
[mm] \summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|^2=0 [/mm] genau dann, wenn [mm] a_{jk}=0 [/mm] für alle j,k=1,...,n und A ist dann die Nullmatrix.                     [mm] \Box [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:42 Mi 22.12.2004
Autor: Julius

Hallo Tito!

Perfekt und extrem gut aufgeschrieben!!! [hut] [respekt2]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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