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Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:22 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe
Das Skalarprodukt zweier Vektoren [m]\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}[/m] und [m]\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix}[/m] ist bekanntlich definiert als [m]\vec x \vec y := \summe_{i=1}^{n} x_i y_i[/m].
In MATLAB wird dies berechnet durch den Funktionsaufruf [m]dot(x,y)[/m].
Geben Sie Definitionsbereich [m]D[/m] und Wertebereich [m]W[/m] der Funktion [m]dot[/m] an.

Hallo zusammen,

mein Vorschlag:

[m]D := \IR^n[/m] und [m]W := \IR[/m]

Zur Funktion: Es gehen zwei Vektoren rein, es kommt dabei eine Zahl raus.
Ist die Schreibweise korrekt oder muss noch was ergänzt werden?
Wie sähe die Mengenschreibweise aus?

Freue mich auf Eure Vorschläge.

        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Mo 28.04.2014
Autor: fred97


> Das Skalarprodukt zweier Vektoren [m]\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}[/m]
> und [m]\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix}[/m]
> ist bekanntlich definiert als [m]\vec x \vec y := \summe_{i=1}^{n} x_i y_i[/m].
>  
> In MATLAB wird dies berechnet durch den Funktionsaufruf
> [m]dot(x,y)[/m].
>  Geben Sie Definitionsbereich [m]D[/m] und Wertebereich [m]W[/m] der
> Funktion [m]dot[/m] an.
>  Hallo zusammen,
>  
> mein Vorschlag:
>  
> [m]D := \IR^n[/m]


Nein.

>  und [m]W := \IR[/m]

Ja


>  
> Zur Funktion: Es gehen zwei Vektoren rein, es kommt dabei
> eine Zahl raus.

Eben deswegwn ist [mm] $D=\IR^n \times \IR^n.$ [/mm]

FRED

>  Ist die Schreibweise korrekt oder muss noch was ergänzt
> werden?
>  Wie sähe die Mengenschreibweise aus?
>  
> Freue mich auf Eure Vorschläge.


Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Ok verstanden, also gilt für das Skalarprodukt bzw. die Funktion dot:

[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]W := \IR^n[/m]

Wie sähe denn dazu die genaue Mengenschreibweise aus?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo gummibaum,


> [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]W := \IR^n[/m]

Ja. [ok]

> Wie sähe denn dazu die genaue Mengenschreibweise aus?

Was meinst du mit Mengenschreibweise? Eine Abbildung von
$X$ nach $Y$ ist eine Vorschrift. Wir bezeichnen mal die Ab-
bildung hier als $f$, dann gilt hier:

      [mm] f\colon\IR^n\times\IR^n\to\IR^n. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Ok, danke Dir!!!

Also könnte man sagen..., speziell auf MATLAB gesehen und Bezug auf die obige Aufgabe zu nehmen...

[m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Das Kreuzprodukt heißt als Funktion bei MATLAB cross.
Hier wäre dann:

[m]D := \IR^3 \times \IR^3 \, , W := \IR^3[/m] und somit [m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]

Sehe ich das richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Also könnte man sagen..., speziell auf MATLAB gesehen und
> Bezug auf die obige Aufgabe zu nehmen...
>  
> [m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Ja. [ok]

> Das Kreuzprodukt heißt als Funktion bei MATLAB cross.
>  Hier wäre dann:
>  
> [m]D := \IR^3 \times \IR^3 \, , W := \IR^3[/m] und somit [m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]
>  
> Sehe ich das richtig?

Ja, wobei das nicht allgemein gehalten ist, denn Matlab
kann mit Sicherheit auch folgendes berechnen:

      [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}\times\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}. [/mm]

Als Übung kannst du dir mal die Addition bzw. die Multi-
plikation als Abbildungen überlegen. Dazu gib du nun die
Vorschriften an.

Bezug
                                                
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Ich meinte damit Kreuzprodukt zweier Vektoren [m]\vec x, \vec y[/m] [mm] \in \IR^3 [/mm] :)
Dann wäre es doch richtig oder?

Bei der Vektor-Addition und -subtraktion würde ich sagen.

Es geht mind. zwei Vektoren rein, es kommt wieder ein Vektor raus.

[m]D := \IR^n, W:= \IR^n[/m] ???

Bezug
                                                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Ich meinte damit Kreuzprodukt zweier Vektoren [m]\vec x, \vec y[/m]
> [mm]\in \IR^3[/mm] :)
>  Dann wäre es doch richtig oder?

Ja. [ok]

> Bei der Vektor-Addition und -subtraktion würde ich sagen.
>  
> Es geht mind. zwei Vektoren rein, es kommt wieder ein
> Vektor raus.
>  
> D := [mm] \IR^n, [/mm]

Nein. [notok]

Du hast doch von zwei Vektoren geredet.

> W:= [mm] \IR^n [/mm] ???

Ja. [ok]

Nächste Übung:

- Addition und Multiplikation in [mm] \IR. [/mm]
- Addition und Multiplikation von Matrizen (sofern möglich).

Bezug
                                                                
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Vektoraddition und -subtraktion wieder...
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] ?

Sorry, ich weiß nicht, worauf es wirklich ankommt!

Ich weiß meistens, was reingeht und wieder rauskommt, aber das formale Aufschreiben bereitet mir Probleme!

Bei der Vektor-Multiplikation würde ich sagen, ein Vektor wird mit einer Zahl (sagen wir [mm] \lambda) [/mm] multipliziert, geometrisch bedeutet dies dann eine Verlängerung oder Verkürzung eines Vektors.

[m]D := \lambda * \IR^n \, | \, \lambda \in \IR[/m] und [m]W := \IR^n[/m]
Schreibweise so okay?

Matrizen haben wir noch nicht behandelt.

Bezug
                                                                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mo 28.04.2014
Autor: fred97


> Vektoraddition und -subtraktion wieder...
>  [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] ?

Ja


>  
> Sorry, ich weiß nicht, worauf es wirklich ankommt!
>  
> Ich weiß meistens, was reingeht und wieder rauskommt, aber
> das formale Aufschreiben bereitet mir Probleme!
>  
> Bei der Vektor-Multiplikation würde ich sagen, ein Vektor
> wird mit einer Zahl (sagen wir [mm]\lambda)[/mm] multipliziert,
> geometrisch bedeutet dies dann eine Verlängerung oder
> Verkürzung eines Vektors.
>  
> [m]D := \lambda * \IR^n \, | \, \lambda \in \IR[/m] und [m]W := \IR^n[/m]
> Schreibweise so okay?

Nein, sondern [mm] \IR \times \IR^n [/mm]

FRED

>  
> Matrizen haben wir noch nicht behandelt.


Bezug
                                                                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht

Fred hat dir eigentlich alles gesagt, aber ich habe durch
deine Frage noch eine Übung gefunden. :-)

> Bei der Vektor-Multiplikation würde ich sagen, ein Vektor
> wird mit einer Zahl (sagen wir [mm]\lambda)[/mm] multipliziert

Das stimmt zwar im Allgemeinen nicht, aber beschreibe die
Multiplikation zwischen einem Vektor und einer reellen Zahl
als eine Abbildung.

Bezug
                                                                                
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Okay, zusammenfassend:

Skalarprodukt (dot)
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
[m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Kreuzprodukt (cross) im [mm] \IR^3 [/mm]
[m]D := \IR^3 \times \IR^3[/m] und [m]\ W := \IR^3[/m]
[m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]

Vektoraddition/-subtraktion
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
[m]\IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Vektormultiplikation
[m]D := \IR \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
[m]\IR \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Wie könnte man jetzt die Kreuzprodukte als Mengen schreiben?
siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt

Hoffe jetzt ist alles korrekt...

Bezug
                                                                                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Okay, zusammenfassend:
>  
> Skalarprodukt (dot)
>  [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
>  [m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Nein. [notok]

Auf der ersten Antwort von Fred steht es doch schon. Es gilt:

      [mm] W:=\IR. [/mm]

> Kreuzprodukt (cross) im [mm]\IR^3[/mm]
>  [m]D := \IR^3 \times \IR^3[/m] und [m]\ W := \IR^3[/m]
>  [m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]

Ja. [ok]

> Vektoraddition/-subtraktion
>  [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
>  [m]\IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Ja, wobei die Subtraktion eigentlich eine Addition ist und
wir aus diesem Grund die Subtraktion nur als Konvention
definieren. Es gilt:

      [mm] $a+(-b)=:a-b\$ [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR. [/mm]

Das kannst du dir dann auch für Vektoren überlegen.

> Vektormultiplikation
>  [m]D := \IR \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
>  [m]\IR \times \IR^n \to \IR^n[/m]

Ja, wobei du mit Vektormultiplikation meinst, dass du eine
reelle Zahl mit einem Vektor multiplizierst. [ok]

> Wie könnte man jetzt die Kreuzprodukte als Mengen
> schreiben?
> siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt

Ich sehe dein Problem nicht wirklich. Beispiel:

Die Abbildung

      [mm] f:\IR^3\to\IR^2 [/mm]

kannst du äquivalent umschreiben als

      [mm] f:\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\IR\}\to\{(x,y)\mid x,y\in\IR\}. [/mm]

Du kannst von mir aus auch die anderen Abbildungen umschrei-
ben, aber das wird auf Dauer langweilig.
  

> Hoffe jetzt ist alles korrekt...

Ja. [daumenhoch]

Ich hatte dir übrigens noch weitere Aufgaben gestellt. ;-)

Bezug
                                                                                                
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Mo 28.04.2014
Autor: gummibaum

Das wollte ich wissen, vielen Dank! ;)

Eine Frage noch zum Skalarprodukt. Es werden 2 Vektoren hinein gegeben und raus kommt eine Zahl, wieso ist dann der Wertebereich wieder [mm] \IR^n [/mm] ?

Und: wie würde man die Mengen für [mm] \IR^n [/mm] aufschreiben?

Matrizen hatten wir noch nicht behandelt... Addition und Multiplikation hatte ich doch unten hingeschrieben...?



Bezug
                                                                                                        
Bezug
Skalarprodukt,Def-Wertebereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Mo 28.04.2014
Autor: DieAcht


> Das wollte ich wissen, vielen Dank! ;)
>  
> Eine Frage noch zum Skalarprodukt. Es werden 2 Vektoren
> hinein gegeben und raus kommt eine Zahl, wieso ist dann der
> Wertebereich wieder [mm]\IR^n[/mm] ?

Sorry, da kommt [mm] \IR [/mm] raus. Den Fehler habe ich überlesen.

> Und: wie würde man die Mengen für [mm]\IR^n[/mm] aufschreiben?

      [mm] \IR^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_1,\ldots,x_n\in\IR\}. [/mm]

> Matrizen hatten wir noch nicht behandelt... Addition und
> Multiplikation hatte ich doch unten hingeschrieben...?

Ich meine die Addition und Multiplikation in [mm] \IR [/mm] und nicht [mm] \IR^n. [/mm]

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