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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt und determinante
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Skalarprodukt und determinante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Di 04.11.2014
Autor: Johanna-Laura

Aufgabe
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist sind sie orthogonal zueinander.

Wenn die Determinante [mm] \pm [/mm] 1 ist, sind die Vektoren der Matrix ebenfalls senkrecht zu einander.

Hallo zusammen, bin etwas über diese beiden Aussagen verwirrt:
Betrachtet man z.b die Matrix  [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 0 & 4 } [/mm] ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren
1 [mm] \* [/mm] 0 + 0 [mm] \* [/mm] 4 = 0 d.h. das die beiden Vektoren eigentlich orthogonal sein müssten, da die Determinante der Matrix aber 4  ist, wird die Aussage gleichzeitig verneint.
Gleiches Problem hab ich bei anderen Matrizen auch.

Wo mache ich den Fehler?

Vielen Dank für eure Hilfe :)


        
Bezug
Skalarprodukt und determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 04.11.2014
Autor: MacMath

Zunächst mal bedeutet die zweite Aussage nur, dass eine Determinante +-1 hinreichend für Orthogonalität ist.

Vor allem aber ist die zweite Aussage falsch:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] hat Determinante 1, aber die beiden Spalten sind nicht orthogonal.

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt und determinante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Di 04.11.2014
Autor: Johanna-Laura

Aber das Skalarprodukt der oben genannten Matrix ist 0. Doch mein Dozent sagt das die nicht orthogonal ist wegen der Determinante 4 [mm] \not= \pm [/mm] 1.
  Ich dachte wenn das Skalarprodukt 0 ist brauch ich nichts mehr weiter prüfen um eine Aussage über die orthoginalorthogonal machen zu können?!
Ich raff das leider immer noch nicht :/

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Bezug
Skalarprodukt und determinante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Di 04.11.2014
Autor: MacMath

Meinst du OrthoNORMAL?

Bezug
                        
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Skalarprodukt und determinante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Di 04.11.2014
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Anschaulich gibt der Betrag der Determinante den Inhalt des von den Spaltenvektoren umspannten Bereichs wieder. In 2D bekommst du also die Fläche des Parallelograms, das die zwei Vektoren bilden. Aus drei 3D-Vektoren kannst du ein Parallelepiped bilden (sowas wie ein Quader, aber ohne Forderung nach rechten Winkeln), und die Determinante liefert dir das Volumen.


Wenn du Vektoren der Länge 1 hast, kannst du eine Fläche / ein Volumen von 1 nur erreichen, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Das ist das Argument, es gilt aber nur, wenn die Vektoren die Länge 1 haben.

Oder anders: Du hast zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, und die Länge 1 haben. Dann hat auch die Determinante den Wert [mm] $\pm [/mm] 1$. Aber nun kannst du jeden Vektor mit einem beliebigen Wert multiplizieren. Das ändert an der Orthogonalität nichts, aber diese Werte beeinflussen die Determinante. (Sie werden mit ihr multipliziert)

Eine Determinante von 0 dagegen bedeutet, daß du linear abhängige Vektoren hast, in 2D also zwei parallele.


Von daher: Ohne weitere Informationen kannst du mit Determinanten nichts über Orthogonalität sagen. Aber das weißt du ja bereits von den Beispielen hier.

Bezug
                                
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Skalarprodukt und determinante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Di 04.11.2014
Autor: Johanna-Laura

Jetzt hab ichs kapiert, vielen Dank!

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