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Sobolevraum Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:26 Mi 01/07/2015
Author: Orchis

Aufgabe
Sei [mm] \Omaga [/mm] offene Punktmenge des [mm] \IR^n [/mm] und  f [mm] \in L^2(\Omega). [/mm] Zeige, dass [mm] \phi:H^{1,2} \to \IR [/mm] mit [mm] \phi(v) [/mm] = (v, [mm] f)_{H^{1,2}} [/mm] ein stetiges, lineares Funktional ist.

Hi zusammen,

das ist eine sehr kurze Sache, aber es fällt mir nichts zur Beschränktheit ein:

(1) Die Linearität ist klar, da das Skalarprod. bilinear ist.

(2) Stetigkeit zeige ich über Beschränktheit.
[mm] |\phi(v)| [/mm] = |(v, [mm] f)_{H^{1,2}}| [/mm]
[mm] \leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}} [/mm]  nach Cauchy-Schwarz
= [mm] (\|f\|_{L^2} [/mm] + [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}} [/mm]
[mm] \leq [/mm] (C + [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}. [/mm]

Wie komme ich auf sowas wie [mm] |\phi(v)| \leq \tilde{C}\|v\|_{H^{1,2}}, [/mm] das [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) [/mm] stört da noch...

Viele Dank schonmal fürs Helfen und viele Grüße!


        
Bezug
Sobolevraum Abschätzung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:40 Do 02/07/2015
Author: fred97


> Sei [mm]\Omaga[/mm] offene Punktmenge des [mm]\IR^n[/mm] und  f [mm]\in L^2(\Omega).[/mm]
> Zeige, dass [mm]\phi:H^{1,2} \to \IR[/mm] mit [mm]\phi(v)[/mm] = (v,
> [mm]f)_{H^{1,2}}[/mm] ein stetiges, lineares Funktional ist.
>  Hi zusammen,
>  
> das ist eine sehr kurze Sache, aber es fällt mir nichts
> zur Beschränktheit ein:
>  
> (1) Die Linearität ist klar, da das Skalarprod. bilinear
> ist.
>  
> (2) Stetigkeit zeige ich über Beschränktheit.
>  [mm]|\phi(v)|[/mm] = |(v, [mm]f)_{H^{1,2}}|[/mm]
> [mm]\leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}}[/mm]  nach
> Cauchy-Schwarz
>  = [mm](\|f\|_{L^2}[/mm] + [mm]\|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}[/mm]
>  [mm]\leq[/mm]
> (C + [mm]\|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}.[/mm]
>  
> Wie komme ich auf sowas wie [mm]|\phi(v)| \leq \tilde{C}\|v\|_{H^{1,2}},[/mm]


Das hast Du doch !!!!


Oben hast Du geschrieben:

[mm] |\phi(v)| [/mm] = [mm] |(v,f)_{H^{1,2}}|\leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}} [/mm]



[mm] \tilde{C}:=\|f\|_{H^{1,2}} [/mm] leistet das Gewünschte !

FRED


> das [mm]\|\nabla f\|_{L^2})[/mm] stört da noch...
>  
> Viele Dank schonmal fürs Helfen und viele Grüße!
>  


Bezug
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