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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Spezielle orthogonale Gruppe
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Spezielle orthogonale Gruppe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 So 19.03.2017
Autor: mariella22


Die spezielle orthogonale Gruppe ist SO3(R) = {A ∈ Mat3(R) : [mm] AA^t [/mm] = E3 und detA = 1}.

a) Beweisen Sie, dass SO3(R) eine Untergruppe von GL3(R) ist.

b) Zeigen Sie, det(E3 −A) = 0 f¨ur jede Matrix A ∈ SO3(R), d.h. 1 ist ein Eigenwert von A. [Hinweis: (E3 − A)At = (A − [mm] E3)^t.] [/mm]


Hallo!

Aufgabenteil a) habe ich gelöst,
ich weiss, dass A^(-1) = [mm] A^t [/mm] gilt.
bei b) komme ich leider nicht weiter. Und leider hilft der Hinweis nicht viel.
Ich wäre froh, wenn jemand noch einen kleinen Tipp zusätzlich hätte, wie ich da anfangen soll. Vielen Dank!


        
Bezug
Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 So 19.03.2017
Autor: Chris84

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

>
> Die spezielle orthogonale Gruppe ist SO3(R) = {A ∈
> Mat3(R) : [mm]AA^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= E3 und detA = 1}.

>
> a) Beweisen Sie, dass SO3(R) eine Untergruppe von GL3(R)
> ist.
>
> b) Zeigen Sie, det(E3 −A) = 0 f¨ur jede Matrix A ∈
> SO3(R), d.h. 1 ist ein Eigenwert von A. [Hinweis: (E3 −
> A)At = (A − [mm]E3)^t.][/mm]
>  
>
> Hallo!
>  
> Aufgabenteil a) habe ich gelöst,
> ich weiss, dass A^(-1) = [mm]A^t[/mm] gilt.
>  bei b) komme ich leider nicht weiter. Und leider hilft der
> Hinweis nicht viel.
>  Ich wäre froh, wenn jemand noch einen kleinen Tipp
> zusätzlich hätte, wie ich da anfangen soll. Vielen Dank!
>  

Huhu,
fange doch einfach mal an, in der Hinweisgleichung die Determinante zu bilden (unter Verwendung der Determinantengesetze), also

[mm] $\det [/mm] ( [mm] (E_3 [/mm] - [mm] A)A^{T})=...$ [/mm]

Dann ergibt sich der Rest von ganz alleine :)

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Spezielle orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 So 19.03.2017
Autor: mariella22

Hallo! :)
ich hatte schon versucht weiter umzuformen, aber ich komme ab einem bestimmten Punkt nicht weiter. Das was ich hinbekomme sind die Schritte bis zum Ergebnis des Hinweises.

[mm] det((E-A)A^t) [/mm] = [mm] det(EA^t [/mm] - [mm] AA^t) [/mm] = [mm] det(A^t [/mm] - E) = [mm] det(A^t [/mm] - [mm] E^t) [/mm] = [mm] det(A-E)^t [/mm]

Also wie der Hinweis zustande kommt, verstehe ich. Ich weiss nur ab hier nicht mehr weiter.. :(

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Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 So 19.03.2017
Autor: Chris84


> Hallo! :)
>  ich hatte schon versucht weiter umzuformen, aber ich komme
> ab einem bestimmten Punkt nicht weiter. Das was ich
> hinbekomme sind die Schritte bis zum Ergebnis des
> Hinweises.
>
> [mm]det((E-A)A^t)[/mm] = [mm]det(EA^t[/mm] - [mm]AA^t)[/mm] = [mm]det(A^t[/mm] - E) = [mm]det(A^t[/mm] -
> [mm]E^t)[/mm] = [mm]det(A-E)^t[/mm]
>  
> Also wie der Hinweis zustande kommt, verstehe ich. Ich
> weiss nur ab hier nicht mehr weiter.. :(

Naja, es ist also

[mm] $\det((E-A)A^t) [/mm] = [mm] \det(A-E)^t$ [/mm]

Links kannst du das auseinander ziehen zu

[mm] $\det((E-A)A^t)=\det (E-A)\cdot\det (A^t)$ [/mm] (was weisst du ueber [mm] $\det(A^t)$?) [/mm]

Rechts steht die Determinante der negativ Transponierten der Matrix links? Wie kannst du das gewinnbringend anwenden? :)

Chris

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Spezielle orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Mo 20.03.2017
Autor: mariella22

Hallo!
Sorry, ich sehe es immer noch nicht.
[mm] Det(A^t) [/mm] = 1
[mm] A^t [/mm] = A^(-1)
Also A = A^(-t)

Also ist Det(E-A) * [mm] det(A^t) [/mm] = [mm] det(EA^t [/mm] - [mm] A^{-t}A^t) [/mm] = [mm] det(A^t [/mm] -E)

Aber das hilft mir ja nicht weiter oder? Tut Mir leid, ich glaub  ich steh irgendwo grad völlig auf dem schlauch..

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Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mo 20.03.2017
Autor: fred97

Wir haben also:

[mm] $det(E-A)=det((A-E)^t)$ [/mm]

Wegen [mm] $det((A-E)^t)=det(A-E)$ [/mm] folgt also:

$det(A-E)=det(E-A)=det (-(A-E))$.

Jetzt verwende, dass es sich um $3 [mm] \times [/mm] 3$ - Matrizen handelt.

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Spezielle orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Mo 20.03.2017
Autor: mariella22

wie ist das gemeint?
Soll ich für das für ein allgemeines A =
[mm] \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} [/mm]  
berechnen?
Danke!

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Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mo 20.03.2017
Autor: Chris84

Naja, es geht ja darum, was mit dem negativen einer 3x3 Matrix passiert, also wie sich

[mm] $\det [/mm] (-B), [mm] B\in \IR^{3\times 3}$ [/mm]

zu [mm] $\det [/mm] (B)$ verhaelt.

Du koenntest natuerlich das allgemein fuer 'ne beliebige Matrix ausrechnen, aber du weisst bestimmt, wie man [mm] $\det (\lambda\cdot [/mm] B), [mm] \lambda\in\IR$ [/mm] umformt. Da gibt es so ein kleines Gesetz....

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Spezielle orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mo 20.03.2017
Autor: mariella22

Hallo,
dass mit dem Skalar weiss ich:
det(λ∗A)=λ^n ∗det(A)  
wobei n die Spaltenanzahl ist.
Mein Verständnisproblem ist bei dem det(-A)?
Wie komme ich darauf?
Ich komme immer auf det(E-A)

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Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mo 20.03.2017
Autor: Chris84


> Hallo,
> dass mit dem Skalar weiss ich:
> det(λ∗A)=λ^n ∗det(A)  
> wobei n die Spaltenanzahl ist.

Ja... und hier (also auf der rechten Seite) ist doch [mm] $\lambda [/mm] = -1$.

>  Mein Verständnisproblem ist bei dem det(-A)?
> Wie komme ich darauf?
> Ich komme immer auf det(E-A)


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Spezielle orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mo 20.03.2017
Autor: mariella22

Es tut mir leid,
ich fühl mich langsam wirklich ziemlich dämlich.
det(E-A) ist doch eine Differenz, wie kann ich das so umformen dass ich auf ein Produkt mit Lambda = -1 komme?

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Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Mo 20.03.2017
Autor: Chris84

Na, du hast doch schon alles zusammen, was du brauchst:

FRED hat ja schon geschrieben, dass

det (E-A)=det(-(E-A))

Was passiert nun rechts mit dem Minuszeichen vor der Klammer in der Determinante?

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Spezielle orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mo 20.03.2017
Autor: mariella22

Das wird zu [mm] (-1)^3 [/mm] * det(E-A), also zu (-1) det(E-A)

Wenn det(E-A ) = -det(E-A)
Dann: 2det(E-A) =0
Also det(E-A) = 0

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Spezielle orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 20.03.2017
Autor: Chris84


> Das wird zu [mm](-1)^3[/mm] * det(E-A), also zu (-1) det(E-A)
>
> Wenn det(E-A ) = -det(E-A)
> Dann: 2det(E-A) =0
>  Also det(E-A) = 0


Ja,  nun hast du's ;)

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Spezielle orthogonale Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mo 20.03.2017
Autor: mariella22

Puh.. :) danke für die Hilfe bei der schweren Geburt...

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