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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Di 30.06.2015
Autor: lol13

Ich muss für eine Teilaufgabe eine Spiegelung derart finden, dass ein bestimmter Vektor v auf -v abgebildet wird. Ich weiß aber nicht, wie ich auf diese Matrix kommen soll. Es wäre toll, wenn mir jmd das Verfahren am Beispiel (1,0) erklären könnte. Habe irgendwo etwas mit [mm] w^{s_v}= [/mm] w- 2<w,v> / (<v,v>) * v gelesen. Weiß aber nicht, wie ich das anweden kann bzw. was w und v ist.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Di 30.06.2015
Autor: fred97


> Ich muss für eine Teilaufgabe eine Spiegelung derart
> finden, dass ein bestimmter Vektor v auf -v abgebildet
> wird. Ich weiß aber nicht, wie ich auf diese Matrix kommen
> soll. Es wäre toll, wenn mir jmd das Verfahren am Beispiel
> (1,0) erklären könnte. Habe irgendwo etwas mit [mm]w^{s_v}=[/mm]
> w- 2<w,v> / (<v,v>) * v gelesen. Weiß aber nicht, wie ich
> das anweden kann bzw. was w und v ist.

Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt <*,*>.


Ist v [mm] \in [/mm] V  fest, v [mm] \ne [/mm] 0, und die Abbildung f:V [mm] \to [/mm] V gegeben durch

    [mm] $f(w):=w-2*\bruch{}{}*v$, [/mm]

so rechne nach: f(v)=-v.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Di 30.06.2015
Autor: lol13

v ist dann ja (1,0), aber was ist w?

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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Di 30.06.2015
Autor: chrisno

Lies nach bei Fred: auch v.

Ich frage Dich, ob Du nicht etwas mehr an Information preisgeben willst. Gibt es Vorgaben für v?
Könnte die Lösung auch mit [mm] $\vec{-v} [/mm] = A [mm] $\vec{v}^T$ [/mm] erreicht werden?

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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Di 30.06.2015
Autor: lol13

Es geht eigentlich um Wurzelsysteme. Eine Bedingung ist, dass ich mithilfe dieser Spiegelungsabbildungen gewisse Dinge zeigen muss. In einem Beispiel der Vorlesung ist die Matrix der Spiegelung zu (1,0)=v folgende:
(-1, 0, 0, -1). Verstehe das mit dem Einsetzen nicht.

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Bezug
Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Di 30.06.2015
Autor: chrisno

Ich verstehe Dein Problem nicht. Das liegt zum einen an meinen mangelnden Kenntnissen. Den Begriff Wurzelsystem kenne ich nicht. Unter dem Vorbehalt dieses Nichtwissens steht der weitere Teil meiner Antwort.
> In einem Beispiel der Vorlesung ist die
> Matrix der Spiegelung zu (1,0)=v folgende:
>  (-1, 0, 0, -1). Verstehe das mit dem Einsetzen nicht.  

Eine wahrscheinlich falsche Annahme: mit (-1, 0, 0, -1) ist [mm] $\pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}$ [/mm] gemeint.
Dann aber ist doch [mm] $\pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1} \vektor{x \\ y} [/mm] = (-x/ y)$.


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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Di 30.06.2015
Autor: lol13

Es war ein Tippfehler drin und ja, ich meinte die Matrix:
[mm]\pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
  
Wie komme ich denn auf diese MAtrix, die die Spiegelung von v=(1,0) darstellen soll?


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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Di 30.06.2015
Autor: chrisno


> Es war ein Tippfehler drin und ja, ich meinte die Matrix:
>   [mm]\pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]

Wieder ein Tippfehler, eine -1 unten rechts. Bei meinem letzten Post fehlt auch eines.

>
> Wie komme ich denn auf diese MAtrix, die die Spiegelung von
> v=(1,0) darstellen soll?
>  

Indem Du bei $ (-x, -y)= [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} \vektor{x \\ y}$ [/mm] die Rechnungen (Zeile mal Spalte) hinschreibst und dann nachsiehst, welche Werte die [mm] $a_{ik}$ [/mm] annehmen müssen, damit es klappt. Der Fall v=(1,0) ist dabei mit enthalten.

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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:24 Mi 01.07.2015
Autor: fred97

Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Householdertransformation

FRED

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Spiegelungsmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:19 Mi 01.07.2015
Autor: chrisno

Danke für den Link. Da habe ich wieder etwas dazugelernt.

Nun mache ich nicht eine Frage daraus, aber es wäre an der Zeit zu klären, um was für eine Spiegelung es sich handeln soll: Punktspiegelung oder Spiegelung an einer Ebene? Gegen die Punktspiegelung spricht die Formulierung "ein bestimmter Vektor". Dann sind meine Hinweise nicht zielführend.
Ist nur das Beispiel aus dem [mm] $\IR^2$, [/mm] oder soll die Aufgabe nur im [mm] $\IR^2$ [/mm] gelöst werden?

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Spiegelungsmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Mi 01.07.2015
Autor: lol13

[mm] V=\IR^2 [/mm]
Gesucht ist eine Spiegelung [mm] s_{w}\in [/mm] GL(V), die v auf -v abbildet.

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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Mi 01.07.2015
Autor: lol13

Das ähnelt ja der Formel, die ich anfang geschrieben hatte. So wirklich komme ich damit aber nicht weiter. Ich setze mal in die obige Formel die bekannten Größen ein:

f(v) = -v =  [mm] w-\bruch{2*}{}*w [/mm]

D.h. [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] = [mm] w-\bruch{2<\vektor{1 \\ 0},w>}{}*w [/mm]

D.h.  [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{w_{1} \\ w_{2}}-\bruch{2*(-w_{1})}{(w_{1})^2+(w_{2})^2}*\vektor{w_{1} \\ w_{2}} [/mm]

Stimmt das bis hier hin? Und wie geht es weiter?



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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:14 Mi 01.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Das ähnelt ja der Formel, die ich anfang geschrieben
> hatte. So wirklich komme ich damit aber nicht weiter. Ich
> setze mal in die obige Formel die bekannten Größen ein:

>

> f(v) = -v = [mm]w-\bruch{2*}{}*w[/mm]

>

> D.h. [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] = [mm]w-\bruch{2<\vektor{1 \\ 0},w>}{}*w[/mm]

>

> D.h. [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{w_{1} \\ w_{2}}-\bruch{2*(-w_{1})}{(w_{1})^2+(w_{2})^2}*\vektor{w_{1} \\ w_{2}}[/mm]

>

> Stimmt das bis hier hin? Und wie geht es weiter?


Das ist soweit ok. Fasse rechts mal zusammen, dann ergeben die beiden Komponenten dann zwei Gleichungen, aus denen du dann [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] bestimmen kannst

Bedenke, dass

[mm] {w_{1}\choose w_{2}}-\frac{2\cdot(-w_{1})}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\cdot{w_{1}\choose w_{2}} [/mm]
[mm] =1\cdot{w_{1}\choose w_{2}}+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\cdot{w_{1}\choose w_{2}} [/mm]
[mm] =\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot{w_{1}\choose w_{2}} [/mm]


Da das ganze gleich [mm] {-1\choose0} [/mm] sein soll, muss gelten

[mm] {-1\choose0}=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot{w_{1}\choose w_{2}} [/mm]
Und das führt, komponentenweise gelesen zu dem Gleichungssystem
[mm] \begin{vmatrix}-1=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot w_{1}\\0=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot w_{2}\end{vmatrix} [/mm]

Löse dieses nun.

Marius

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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Mi 01.07.2015
Autor: lol13


> Bedenke, dass
>  
> [mm]{w_{1}\choose w_{2}}-\frac{2\cdot(-w_{1})}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> [mm]=1\cdot{w_{1}\choose w_{2}}+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> [mm]=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
>
> Da das ganze gleich [mm]{-1\choose0}[/mm] sein soll, muss gelten
>  
> [mm]{-1\choose0}=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> Und das führt, komponentenweise gelesen zu dem
> Gleichungssystem
>  
> [mm]\begin{vmatrix}-1=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot w_{1}\\0=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot w_{2}\end{vmatrix}[/mm]
>  
> Löse dieses nun.
>  

Danke, Marius, für den tollen Tipp. Das ist ja kein schönes LGS :D
Wenn ich mir mal die zweite Zeile hernehme, dann kann ich ja daraus shcließen, dass entweder [mm] w_{2} [/mm] = 0 ist, oder der Faktor davor. Angenommen, [mm] w_{2}=0, [/mm] dann erhalte ich durch einsetzen in die erste Gleichung [mm] w_{1}=1. [/mm]

Wie komme ich aber nun von diesem Schritt, also nachdem ich das w berechnet habe, hin zu der Spiegelmatrix: [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ??


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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Mi 01.07.2015
Autor: fred97


>
> > Bedenke, dass
>  >  
> > [mm]{w_{1}\choose w_{2}}-\frac{2\cdot(-w_{1})}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]=1\cdot{w_{1}\choose w_{2}}+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> >  

> >
> [mm]=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> >  

> >
> > Da das ganze gleich [mm]{-1\choose0}[/mm] sein soll, muss gelten
>  >  
> >
> [mm]{-1\choose0}=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot{w_{1}\choose w_{2}}[/mm]
>  
> >  

> > Und das führt, komponentenweise gelesen zu dem
> > Gleichungssystem
>  >  
> >
> [mm]\begin{vmatrix}-1=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot w_{1}\\0=\left(1+\frac{2w_{1}}{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}\right)\cdot w_{2}\end{vmatrix}[/mm]
>  
> >  

> > Löse dieses nun.
>  >  
> Danke, Marius, für den tollen Tipp. Das ist ja kein
> schönes LGS :D

Das liegt daran, das es völlig sinnlos ist !





>  Wenn ich mir mal die zweite Zeile hernehme, dann kann ich
> ja daraus shcließen, dass entweder [mm]w_{2}[/mm] = 0 ist, oder der
> Faktor davor. Angenommen, [mm]w_{2}=0,[/mm] dann erhalte ich durch
> einsetzen in die erste Gleichung [mm]w_{1}=1.[/mm]
>
> Wie komme ich aber nun von diesem Schritt, also nachdem ich
> das w berechnet habe, hin zu der Spiegelmatrix: [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> ??
>    


Lies Dir das

http://matheraum.de/read?i=1061324

in Ruhe durch !

FRED

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Bezug
Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Mi 01.07.2015
Autor: fred97


> Das ähnelt ja der Formel, die ich anfang geschrieben
> hatte. So wirklich komme ich damit aber nicht weiter. Ich
> setze mal in die obige Formel die bekannten Größen ein:
>  
> f(v) = -v =  [mm]w-\bruch{2*}{}*w[/mm]
>  
> D.h. [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] = [mm]w-\bruch{2<\vektor{1 \\ 0},w>}{}*w[/mm]
>  
> D.h.  [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{w_{1} \\ w_{2}}-\bruch{2*(-w_{1})}{(w_{1})^2+(w_{2})^2}*\vektor{w_{1} \\ w_{2}}[/mm]
>  
> Stimmt das bis hier hin? Und wie geht es weiter?


Ich verstehe nicht, warum Du nichts von dem, was ich Dir gesagt habe, beherzigst.
Du wirfst v und w durcheinander !!!!  Oben schrieb ich:

Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt <*,*>.


Ist v $ [mm] \in [/mm] $ V  fest, v $ [mm] \ne [/mm] $ 0, und die Abbildung f:V $ [mm] \to [/mm] $ V gegeben durch

  (*)  $ [mm] f(w):=w-2\cdot{}\bruch{}{}\cdot{}v [/mm] $,

so rechne nach: f(v)=-v.


Es ist also V= [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] v=\vektor{1 \\ 0}. [/mm] $w$ ist die Variable in der Abbildungsvorschrift in (*) !!

Mit [mm] w=\vektor{w_1 \\ w_2} [/mm] ist, nach (*):

  [mm] f(w)=f(\vektor{w_1 \\ w_2})=\vektor{w_1 \\ w_2} -2*w_1*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{-w_1 \\ w_2}. [/mm]

Bingo ! Die gesuchte Spiegelung  hat also die Abbildungsvorschrift:

       [mm] f(\vektor{w_1 \\ w_2})=\vektor{-w_1 \\ w_2}. [/mm]

man sieht sofort:

    [mm] f(\vektor{1 \\ 0})=\vektor{-1 \\ 0}=-\vektor{1 \\ 0} [/mm]

FRED

>  
>  


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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Mi 01.07.2015
Autor: lol13

Die Rechnung leuchtet mir ein, danke dafür! Trotzdem verstehe ich den Zusammenhang mit der Matrix bzgl. der Spiegelung nicht. Wie kommt man darauf?

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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mi 01.07.2015
Autor: fred97

Sei [mm] b_1:=\vektor{1 \\ 0} [/mm] , [mm] b_2:=\vektor{0 \\ 1} [/mm]  und [mm] B:=\{b_1,b_2\} [/mm]

Dann ist

[mm] f(b_1)=-b_1=(-1)*b_1+0*b_2 [/mm]

und

[mm] f(b_2)=b_2=0*b_1+1*b_2. [/mm]

Somit hat f bezüglich der Basis $B$ die Abbildungsmatrix

  [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]


FRED

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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Mi 01.07.2015
Autor: lol13

Für -v erhalte ich die gleiche Abbildung bezüglich der Standardbasis. Ist das immer so für das additiv Inverse?

Für den Vektor (-1,1) erhalte ich die folgende Abbildung bzgl. Standardbasis:
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] Stimmt das so?


Bezug
                                                        
Bezug
Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Mi 01.07.2015
Autor: fred97


> Für -v erhalte ich die gleiche Abbildung bezüglich der
> Standardbasis. Ist das immer so für das additiv Inverse?
>  
> Für den Vektor (-1,1) erhalte ich die folgende Abbildung
> bzgl. Standardbasis:
>  [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] Stimmt das so?

Ganz ehrlich: ich habe keine Ahnung, wovon Du sprichst.

FRED

>  


Bezug
                                                                
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Spiegelungsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mi 01.07.2015
Autor: lol13

hatte einen Vorzeichenfehler in meiner Rechnng und komme nun auf die folgende Matrix für die Spiegelung des Vektors (1,-1) auf sein additives Inverses:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]

Jetzt korrekt?

Bezug
                                                                        
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Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Do 02.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> hatte einen Vorzeichenfehler in meiner Rechnng und komme
> nun auf die folgende Matrix für die Spiegelung des Vektors
> (1,-1) auf sein additives Inverses:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]

>

> Jetzt korrekt?

Ja, denn es gilt:

[mm] $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot{1\choose-1}={-1\choose1}=-{1\choose-1}$ [/mm]

Marius

Bezug
                                                                        
Bezug
Spiegelungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Do 02.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo nochmal.

Die Matrix [mm] \pmat{0&1\\1&0} [/mm] ist aber nicht die allgemeine Matrix, die jeden Vektor [mm] \vektor{a\\b}\in\IR^{2} [/mm] auf sein additives Inverses [mm] -\vektor{a\\b} [/mm] abbildet, denn

[mm] \pmat{0&1\\1&0}\cdot\vektor{a\\b}=\vektor{b\\a}\ne-\vektor{a\\b} [/mm]

In deinem Fall funktioniert sie aber, denn für deinen speziellen Vektor [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] gilt a=-b, und für Vektoren dieser Form klappt das.

Marius

Bezug
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