Stabilität Lyapunovsche Method < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes [mm] $(0,0)^T$ [/mm] folgender Systeme auf:
a) [mm] $\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 [/mm] = [mm] 3x_1-5x_2^3$
[/mm]
b) [mm] $\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3$
[/mm]
HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm] $L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2$ [/mm] für geeignete $A$ und $B$. |
Guten Abend,
ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse über die Stabilität zu ziehen.
Dies klappt jedoch nicht, da für die Egenwerte [mm] $\lambda$ [/mm] gilt: [mm] $Re(\lambda)=0$.
[/mm]
Soll ich hier ein [mm] $L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}$ [/mm] finden?
Soll$ L(x)$ hier eine Lyapunov-Funktion sein?
Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
vielen Dank
DerBaum
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Hallo DerBaum,
> Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
> b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
>
> HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
>
>
>
> Guten Abend,
>
> ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
>
> Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> über die Stabilität zu ziehen.
> Dies klappt jedoch nicht, da für die Egenwerte [mm]\lambda[/mm]
> gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
>
> Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
Siehe oben.
> Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
>
Ja.
Weiteres Vorgehen: siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
>
> vielen Dank
> DerBaum
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:23 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo DerBaum,
>
> > Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> > Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> > [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> > a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
> >
> > b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
> >
> > HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> > geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> >
> >
> >
> > Guten Abend,
> >
> > ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
> >
> > Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> > linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> > über die Stabilität zu ziehen.
> > Dies klappt jedoch nicht, da für die Egenwerte [mm]\lambda[/mm]
> > gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
> >
> > Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
>
>
> Siehe oben.
>
>
> > Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
> >
>
>
> Ja.
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe im Internet eine Beispielaufgabe zur Lyapunov-Funktion gefunden und mich an dieser orientiert.
Ich habe folgendes Ergebnis:
Wir nehmen den im Hinweis gegebenen Ansatz [mm] $L(x_1,x_2)=Ax_1^2+B_x_2^2\qquad [/mm] A,B>0$.
Offensichtlich ist $L(0,0)=0$ und [mm] $L(x_1,x_2)>0\quad \mbox{ für } (x_1,x_2)\neq [/mm] (0,0)$
Wir berechnen das Skalarprodukt:
[mm] $<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-x_1^3-3x_2\\3x_1-5x_2^3}>$
[/mm]
[mm] $=-2Ax_1^4-6Ax_1x_2+6Bx_1x_2-10bx_2^4$
[/mm]
Setzt man nun $A=B>0$, so erhalten wir:
[mm] $L(x_1,x_2)=-2Ax_1^4-10Ax_2^4$
[/mm]
Somit ist L eine Strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt [mm] $(0,0)^T$ [/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
Stimmt das?
Es gibt hier jedoch ein paar Dinge, die mir unklar sind.
Warum gilt: [mm] $L(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>$?
[/mm]
Was hat das hier mit dem Skalarpodukt zu tun, bzw. inwiefern hat das noch etwas zu tun mit unserem DGL-System?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
>
> Weiteres Vorgehen: siehe
> hier.
>
>
> > Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
> >
> > vielen Dank
> > DerBaum
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DerBaum,
> > Hallo DerBaum,
> >
> > > Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> > > Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> > > [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> > > a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
> > >
>
> > > HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> > > geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > >
> > >
> > >
> > > Guten Abend,
> > >
> > > ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
> > >
> > > Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> > > linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> > > über die Stabilität zu ziehen.
> > > Dies klappt jedoch nicht, da für die Egenwerte
> [mm]\lambda[/mm]
> > > gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
> > >
> > > Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
> >
> >
> > Siehe oben.
> >
> >
> > > Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
> > >
> >
> >
> > Ja.
>
> Hallo,
> vielen Dank für deine Antwort.
> Ich habe im Internet eine Beispielaufgabe zur
> Lyapunov-Funktion gefunden und mich an dieser orientiert.
> Ich habe folgendes Ergebnis:
>
> Wir nehmen den im Hinweis gegebenen Ansatz
> [mm]L(x_1,x_2)=Ax_1^2+B_x_2^2\qquad A,B>0[/mm].
>
> Offensichtlich ist [mm]L(0,0)=0[/mm] und [mm]L(x_1,x_2)>0\quad \mbox{ für } (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
>
> Wir berechnen das Skalarprodukt:
> [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-x_1^3-3x_2\\3x_1-5x_2^3}>[/mm]
>
> [mm]=-2Ax_1^4-6Ax_1x_2+6Bx_1x_2-10bx_2^4[/mm]
>
> Setzt man nun [mm]A=B>0[/mm], so erhalten wir:
> [mm]L(x_1,x_2)=-2Ax_1^4-10Ax_2^4[/mm]
>
> Somit ist L eine Strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
>
Das gilt aber nur, wenn A >0.
> Stimmt das?
>
> Es gibt hier jedoch ein paar Dinge, die mir unklar sind.
> Warum gilt: [mm]L(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]?
>
Muss das nicht so lauten:
[mm]\dot{L}(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]
> Was hat das hier mit dem Skalarpodukt zu tun, bzw.
> inwiefern hat das noch etwas zu tun mit unserem
> DGL-System?
>
Da bin ich überfragt.
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> DerBaum
> >
> > Weiteres Vorgehen: siehe
> >
> hier.
> >
> >
> > > Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
> > >
> > > vielen Dank
> > > DerBaum
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo DerBaum,
>
> > > Hallo DerBaum,
> > >
> > > > Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> > > > Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> > > > [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> > > > a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> > > > geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Guten Abend,
> > > >
> > > > ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
> > > >
> > > > Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> > > > linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> > > > über die Stabilität zu ziehen.
> > > > Dies klappt jedoch nicht, da für die Egenwerte
> > [mm]\lambda[/mm]
> > > > gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
> > > >
> > > > Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
> > >
> > >
> > > Siehe oben.
> > >
> > >
> > > > Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
> > > >
> > >
> > >
> > > Ja.
> >
> > Hallo,
> > vielen Dank für deine Antwort.
> > Ich habe im Internet eine Beispielaufgabe zur
> > Lyapunov-Funktion gefunden und mich an dieser orientiert.
> > Ich habe folgendes Ergebnis:
> >
> > Wir nehmen den im Hinweis gegebenen Ansatz
> > [mm]L(x_1,x_2)=Ax_1^2+B_x_2^2\qquad A,B>0[/mm].
> >
> > Offensichtlich ist [mm]L(0,0)=0[/mm] und [mm]L(x_1,x_2)>0\quad \mbox{ für } (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
>
> >
> > Wir berechnen das Skalarprodukt:
> > [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-x_1^3-3x_2\\3x_1-5x_2^3}>[/mm]
>
> >
> > [mm]=-2Ax_1^4-6Ax_1x_2+6Bx_1x_2-10bx_2^4[/mm]
> >
> > Setzt man nun [mm]A=B>0[/mm], so erhalten wir:
> > [mm]L(x_1,x_2)=-2Ax_1^4-10Ax_2^4[/mm]
> >
> > Somit ist L eine Strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> > [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
> >
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>
> Das gilt aber nur, wenn A >0.
heißt das, dass ich hier noch nicht fertig bin?
Muss ich für A<0 auch noch etwas bestimmen?
>
>
> > Stimmt das?
> >
> > Es gibt hier jedoch ein paar Dinge, die mir unklar sind.
> > Warum gilt: [mm]L(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]?
>
> >
>
> Muss das nicht so lauten:
>
> [mm]\dot{L}(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]
Oh, ja, da hast du natürlich recht!
>
>
> > Was hat das hier mit dem Skalarpodukt zu tun, bzw.
> > inwiefern hat das noch etwas zu tun mit unserem
> > DGL-System?
> >
>
>
> Da bin ich überfragt.
>
>
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > DerBaum
> > >
> > > Weiteres Vorgehen: siehe
> > >
> >
> hier.
> > >
> > >
> > > > Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
> > > >
> > > > vielen Dank
> > > > DerBaum
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Gruß
Der Baum
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Hallo DerBaum,
> > Hallo DerBaum,
> >
> > > > Hallo DerBaum,
> > > >
> > > > > Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> > > > > Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> > > > > [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> > > > > a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
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> > > > >
> > > > > b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
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> > > >
> > >
> > > > > HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> > > > > geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > > > >
> > > > >
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> > > > > Guten Abend,
> > > > >
> > > > > ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
> > > > >
> > > > > Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> > > > > linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> > > > > über die Stabilität zu ziehen.
> > > > > Dies klappt jedoch nicht, da für die
> Egenwerte
> > > [mm]\lambda[/mm]
> > > > > gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
> > > > >
> > > > > Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
> > > >
> > > >
> > > > Siehe oben.
> > > >
> > > >
> > > > > Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Ja.
> > >
> > > Hallo,
> > > vielen Dank für deine Antwort.
> > > Ich habe im Internet eine Beispielaufgabe zur
> > > Lyapunov-Funktion gefunden und mich an dieser orientiert.
> > > Ich habe folgendes Ergebnis:
> > >
> > > Wir nehmen den im Hinweis gegebenen Ansatz
> > > [mm]L(x_1,x_2)=Ax_1^2+B_x_2^2\qquad A,B>0[/mm].
> > >
> > > Offensichtlich ist [mm]L(0,0)=0[/mm] und [mm]L(x_1,x_2)>0\quad \mbox{ für } (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wir berechnen das Skalarprodukt:
> > > [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-x_1^3-3x_2\\3x_1-5x_2^3}>[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]=-2Ax_1^4-6Ax_1x_2+6Bx_1x_2-10bx_2^4[/mm]
> > >
> > > Setzt man nun [mm]A=B>0[/mm], so erhalten wir:
> > > [mm]L(x_1,x_2)=-2Ax_1^4-10Ax_2^4[/mm]
> > >
> > > Somit ist L eine Strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> > > [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
> > >
> >
> >
> > Das gilt aber nur, wenn A >0.
>
> heißt das, dass ich hier noch nicht fertig bin?
Die Konstanten A, B sind laut Aufgabe geeignet zu wählen.
Hier heisst "geeignet", A,B > 0.
> Muss ich für A<0 auch noch etwas bestimmen?
Nein.
> >
> >
> > > Stimmt das?
> > >
> > > Es gibt hier jedoch ein paar Dinge, die mir unklar sind.
> > > Warum gilt: [mm]L(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]?
>
> >
> > >
> >
> > Muss das nicht so lauten:
> >
> > [mm]\dot{L}(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]
>
> Oh, ja, da hast du natürlich recht!
>
> >
> >
> > > Was hat das hier mit dem Skalarpodukt zu tun, bzw.
> > > inwiefern hat das noch etwas zu tun mit unserem
> > > DGL-System?
> > >
> >
> >
> > Da bin ich überfragt.
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > DerBaum
> > > >
> > > > Weiteres Vorgehen: siehe
> > > >
> > >
> >
> hier.
> > > >
> > > >
> > > > > Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
> > > > >
> > > > > vielen Dank
> > > > > DerBaum
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Gruß
> Der Baum
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo DerBaum,
>
> > > Hallo DerBaum,
> > >
> > > > > Hallo DerBaum,
> > > > >
> > > > > > Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> > > > > > Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> > > > > > [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> > > > > > a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
>
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> > > >
> > > > >
> > > >
> > > > > > HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> > > > > > geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Guten Abend,
> > > > > >
> > > > > > ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
> > > > > >
> > > > > > Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> > > > > > linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> > > > > > über die Stabilität zu ziehen.
> > > > > > Dies klappt jedoch nicht, da für die
> > Egenwerte
> > > > [mm]\lambda[/mm]
> > > > > > gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
> > > > > >
> > > > > > Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Siehe oben.
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Ja.
> > > >
> > > > Hallo,
> > > > vielen Dank für deine Antwort.
> > > > Ich habe im Internet eine Beispielaufgabe zur
> > > > Lyapunov-Funktion gefunden und mich an dieser orientiert.
> > > > Ich habe folgendes Ergebnis:
> > > >
> > > > Wir nehmen den im Hinweis gegebenen Ansatz
> > > > [mm]L(x_1,x_2)=Ax_1^2+B_x_2^2\qquad A,B>0[/mm].
> > > >
> > > > Offensichtlich ist [mm]L(0,0)=0[/mm] und [mm]L(x_1,x_2)>0\quad \mbox{ für } (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
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> > > >
> > > > Wir berechnen das Skalarprodukt:
> > > > [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-x_1^3-3x_2\\3x_1-5x_2^3}>[/mm]
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> > > >
> > > > [mm]=-2Ax_1^4-6Ax_1x_2+6Bx_1x_2-10bx_2^4[/mm]
> > > >
> > > > Setzt man nun [mm]A=B>0[/mm], so erhalten wir:
> > > > [mm]L(x_1,x_2)=-2Ax_1^4-10Ax_2^4[/mm]
> > > >
> > > > Somit ist L eine Strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> > > > [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
> > > >
> > >
> > >
> > > Das gilt aber nur, wenn A >0.
> >
> > heißt das, dass ich hier noch nicht fertig bin?
>
>
> Die Konstanten A, B sind laut Aufgabe geeignet zu wählen.
> Hier heisst "geeignet", A,B > 0.
Okay, super, vielen Dank!
Ich hätte noch eine Frage, und zwar:
Muss ich A=B setzen, oder kann ich die Funktion auch mit A und B als Koeffizienten angeben?
Vielen Dank
Liebe Grüße
>
>
> > Muss ich für A<0 auch noch etwas bestimmen?
>
>
> Nein.
>
>
> > >
> > >
> > > > Stimmt das?
> > > >
> > > > Es gibt hier jedoch ein paar Dinge, die mir unklar sind.
> > > > Warum gilt: [mm]L(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]?
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > Muss das nicht so lauten:
> > >
> > > [mm]\dot{L}(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]
> >
> > Oh, ja, da hast du natürlich recht!
> >
> > >
> > >
> > > > Was hat das hier mit dem Skalarpodukt zu tun, bzw.
> > > > inwiefern hat das noch etwas zu tun mit unserem
> > > > DGL-System?
> > > >
> > >
> > >
> > > Da bin ich überfragt.
> > >
> > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > Liebe Grüße
> > > > DerBaum
> > > > >
> > > > > Weiteres Vorgehen: siehe
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> hier.
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
> > > > > >
> > > > > > vielen Dank
> > > > > > DerBaum
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Gruß
> > Der Baum
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DerBaum,
> > Hallo DerBaum,
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> > > > Hallo DerBaum,
> > > >
> > > > > > Hallo DerBaum,
> > > > > >
> > > > > > > Decken Sie mit Hilfe der Lyapunovschen Methode den
> > > > > > > Stabilitätscharakter des isolierten singulären Punktes
> > > > > > > [mm](0,0)^T[/mm] folgender Systeme auf:
> > > > > > > a) [mm]\dot x_1 =-3x_2-x_1^3 ,\qquad \dot x_2 = 3x_1-5x_2^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > b) [mm]\dot x_1=-2x_1x_2, \qquad \dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > > > > HINWEIS: Benutzen Sie den Ansatz [mm]L(x):=Ax_1^2+Bx_2^2[/mm] für
> > > > > > > geeignete [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Guten Abend,
> > > > > > >
> > > > > > > ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, bzw. den Hinweis.
> > > > > > >
> > > > > > > Ich habe schon versucht die DGL um den Punkt zu
> > > > > > > linearisieren und dann anhand der Eigenwerte Schlüsse
> > > > > > > über die Stabilität zu ziehen.
> > > > > > > Dies klappt jedoch nicht, da für die
> > > Egenwerte
> > > > > [mm]\lambda[/mm]
> > > > > > > gilt: [mm]Re(\lambda)=0[/mm].
> > > > > > >
> > > > > > > Soll ich hier ein [mm]L(x)=\pmat{\dot x_1\\\dot x_2}[/mm] finden?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Siehe oben.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Soll[mm] L(x)[/mm] hier eine Lyapunov-Funktion sein?
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Ja.
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > > vielen Dank für deine Antwort.
> > > > > Ich habe im Internet eine Beispielaufgabe zur
> > > > > Lyapunov-Funktion gefunden und mich an dieser orientiert.
> > > > > Ich habe folgendes Ergebnis:
> > > > >
> > > > > Wir nehmen den im Hinweis gegebenen Ansatz
> > > > > [mm]L(x_1,x_2)=Ax_1^2+B_x_2^2\qquad A,B>0[/mm].
> > > > >
> > > > > Offensichtlich ist [mm]L(0,0)=0[/mm] und [mm]L(x_1,x_2)>0\quad \mbox{ für } (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Wir berechnen das Skalarprodukt:
> > > > > [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-x_1^3-3x_2\\3x_1-5x_2^3}>[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]=-2Ax_1^4-6Ax_1x_2+6Bx_1x_2-10bx_2^4[/mm]
> > > > >
> > > > > Setzt man nun [mm]A=B>0[/mm], so erhalten wir:
> > > > > [mm]L(x_1,x_2)=-2Ax_1^4-10Ax_2^4[/mm]
> > > > >
> > > > > Somit ist L eine Strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> > > > > [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Das gilt aber nur, wenn A >0.
> > >
> > > heißt das, dass ich hier noch nicht fertig bin?
> >
> >
> > Die Konstanten A, B sind laut Aufgabe geeignet zu wählen.
> > Hier heisst "geeignet", A,B > 0.
>
> Okay, super, vielen Dank!
> Ich hätte noch eine Frage, und zwar:
> Muss ich A=B setzen, oder kann ich die Funktion auch mit A
> und B als Koeffizienten angeben?
>
A muss gleich B gesetzt werden.
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> >
> >
> > > Muss ich für A<0 auch noch etwas bestimmen?
> >
> >
> > Nein.
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > > Stimmt das?
> > > > >
> > > > > Es gibt hier jedoch ein paar Dinge, die mir unklar sind.
> > > > > Warum gilt: [mm]L(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]?
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > >
> > > > Muss das nicht so lauten:
> > > >
> > > > [mm]\dot{L}(x_1,x_2)=<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>[/mm]
> > >
> > > Oh, ja, da hast du natürlich recht!
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > Was hat das hier mit dem Skalarpodukt zu tun, bzw.
> > > > > inwiefern hat das noch etwas zu tun mit unserem
> > > > > DGL-System?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Da bin ich überfragt.
> > > >
> > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > >
> > > > > Liebe Grüße
> > > > > DerBaum
> > > > > >
> > > > > > Weiteres Vorgehen: siehe
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> hier.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
> > > > > > >
> > > > > > > vielen Dank
> > > > > > > DerBaum
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Gruß
> > > Der Baum
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 03.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Die Teilaufgabe b) habe ich nun analog zur Teilaufgabe a) gelöst:
[mm] $\dot x_1=-2x_1x_2$
[/mm]
[mm] $\dot x_2=x_1^2-x_2^3$
[/mm]
[mm] $f(x_1,x_2):= \pmat{-2x_1x_2\\ x_1^2-x_2^3}$
[/mm]
Mit Ansatz: [mm] $L(x_1,x_2):=Ax_1^2+Bx_2^2\qquad [/mm] A,B>0$:
$L(0,0)=0$
[mm] $L(x_1,x_2)>0, \qquad (x_1,x_2)\neq [/mm] (0,0)$
[mm] $<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-2x_1x_2\\x_1^2-x_2^3}>$
[/mm]
[mm] $=2Ax_1(-2x_1x_2)*2Bx_2(x_1^2-x_2^3)$
[/mm]
[mm] $=-2*(x_1^2(2Ax_2-Bx_2)+Bx_2^4)$
[/mm]
Setzten wir nun $A=B>0$ erhalten wir:
[mm] $L(x_1,x_2)=-2(Ax_1^2x_2+Ax_2^4)$
[/mm]
Somit ist L eine strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt [mm] $(0,0)^T$ [/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
Stimmt das?
Ich finde es etwas seltsam, dass es absolut analog zur a) funktionieren soll.
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
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Hallo DerBaum,
> Die Teilaufgabe b) habe ich nun analog zur Teilaufgabe a)
> gelöst:
>
> [mm]\dot x_1=-2x_1x_2[/mm]
> [mm]\dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
> [mm]f(x_1,x_2):= \pmat{-2x_1x_2\\ x_1^2-x_2^3}[/mm]
>
> Mit Ansatz: [mm]L(x_1,x_2):=Ax_1^2+Bx_2^2\qquad A,B>0[/mm]:
>
> [mm]L(0,0)=0[/mm]
> [mm]L(x_1,x_2)>0, \qquad (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
> [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-2x_1x_2\\x_1^2-x_2^3}>[/mm]
>
> [mm]=2Ax_1(-2x_1x_2)*2Bx_2(x_1^2-x_2^3)[/mm]
> [mm]=-2*(x_1^2(2Ax_2-Bx_2)+Bx_2^4)[/mm]
> Setzten wir nun [mm]A=B>0[/mm] erhalten wir:
> [mm]L(x_1,x_2)=-2(Ax_1^2x_2+Ax_2^4)[/mm]
Besser ist [mm]B=2A >0[/mm] zu wählen.
> Somit ist L eine strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
>
> Stimmt das?
Für die obengenannte Bedingung [mm]B=2A >0[/mm] stimmt das.
> Ich finde es etwas seltsam, dass es absolut analog zur a)
> funktionieren soll.
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> DerBaum
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 05.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo DerBaum,
>
> > Die Teilaufgabe b) habe ich nun analog zur Teilaufgabe a)
> > gelöst:
> >
> > [mm]\dot x_1=-2x_1x_2[/mm]
> > [mm]\dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
> >
> [mm]f(x_1,x_2):= \pmat{-2x_1x_2\\ x_1^2-x_2^3}[/mm]
> >
> > Mit Ansatz: [mm]L(x_1,x_2):=Ax_1^2+Bx_2^2\qquad A,B>0[/mm]:
> >
> > [mm]L(0,0)=0[/mm]
> > [mm]L(x_1,x_2)>0, \qquad (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
> > [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-2x_1x_2\\x_1^2-x_2^3}>[/mm]
>
> >
> > [mm]=2Ax_1(-2x_1x_2)*2Bx_2(x_1^2-x_2^3)[/mm]
> > [mm]=-2*(x_1^2(2Ax_2-Bx_2)+Bx_2^4)[/mm]
> > Setzten wir nun [mm]A=B>0[/mm] erhalten wir:
> > [mm]L(x_1,x_2)=-2(Ax_1^2x_2+Ax_2^4)[/mm]
>
>
> Besser ist [mm]B=2A >0[/mm] zu wählen.
Aber wenn ich B so wähle, dann erhalte ich ja:
[mm] $\dot L=-4Ax_2^4$
[/mm]
Und das ist ja zum Beispiel für [mm] $\pmat{x_1\\x_2}=\pmat{1\\0}$ [/mm] gleich Null.
Also nicht nur für x=0 und somit ist die Lyapunovsche-Funktion doch gar nicht streng, oder??
Vielen Dank
Liebe Grüße
>
>
> > Somit ist L eine strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> > [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
> >
> > Stimmt das?
>
>
> Für die obengenannte Bedingung [mm]B=2A >0[/mm] stimmt das.
>
>
> > Ich finde es etwas seltsam, dass es absolut analog zur a)
> > funktionieren soll.
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > DerBaum
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DerBaum,
> > Hallo DerBaum,
> >
> > > Die Teilaufgabe b) habe ich nun analog zur Teilaufgabe a)
> > > gelöst:
> > >
> > > [mm]\dot x_1=-2x_1x_2[/mm]
> > > [mm]\dot x_2=x_1^2-x_2^3[/mm]
> > >
> > [mm]f(x_1,x_2):= \pmat{-2x_1x_2\\ x_1^2-x_2^3}[/mm]
> > >
> > > Mit Ansatz: [mm]L(x_1,x_2):=Ax_1^2+Bx_2^2\qquad A,B>0[/mm]:
> >
> >
> > > [mm]L(0,0)=0[/mm]
> > > [mm]L(x_1,x_2)>0, \qquad (x_1,x_2)\neq (0,0)[/mm]
> > >
> [mm]<\Nabla L(x_1,x_2),f(x_1,x_2)>=<\pmat{2Ax_1\\2Bx_2},\pmat{-2x_1x_2\\x_1^2-x_2^3}>[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=2Ax_1(-2x_1x_2)*2Bx_2(x_1^2-x_2^3)[/mm]
> > > [mm]=-2*(x_1^2(2Ax_2-Bx_2)+Bx_2^4)[/mm]
> > > Setzten wir nun [mm]A=B>0[/mm] erhalten wir:
> > > [mm]L(x_1,x_2)=-2(Ax_1^2x_2+Ax_2^4)[/mm]
> >
> >
> > Besser ist [mm]B=2A >0[/mm] zu wählen.
>
> Aber wenn ich B so wähle, dann erhalte ich ja:
> [mm]\dot L=-4Ax_2^4[/mm]
> Und das ist ja zum Beispiel für
> [mm]\pmat{x_1\\x_2}=\pmat{1\\0}[/mm] gleich Null.
> Also nicht nur für x=0 und somit ist die
> Lyapunovsche-Funktion doch gar nicht streng, oder??
>
Das Skalarprodukt ist doch:
[mm]2Ax_1(-2x_1x_2)*2Bx_2(x_1^2-x_2^3)[/mm]
[mm]=-4Ax_{1}^{2}x_{2}+2Bx_{2}\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{3}\right)[/mm]
[mm]=-4Ax_{1}^{2}x_{2}+2Bx_{2}x_{1}^{2}-2Bx_{2}x_{2}^{3}[/mm]
Hier erkennt man, daß für B=2A das Skalarprodukt reduziert wird auf
[mm]-2Bx_{2}^{4}[/mm]
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> >
> >
> > > Somit ist L eine strenge Lyapunov-Funktion und der Punkt
> > > [mm](0,0)^T[/mm] ist ein asymptotisch stabiler Gleichgewichtspunkt.
> > >
> > > Stimmt das?
> >
> >
> > Für die obengenannte Bedingung [mm]B=2A >0[/mm] stimmt das.
> >
> >
> > > Ich finde es etwas seltsam, dass es absolut analog zur a)
> > > funktionieren soll.
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > DerBaum
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine Antwort.
Ja, das habe ich für das skalarprodukt ja auch erhalten.
Jedoch ist [mm] $-2Ax_2^4 [/mm] $ nur kleiner GLEICH Null und nicht kleiner Null für $ [mm] x\neq [/mm] 0 $.
Damit L eine strenge Lypuanov-Funktion ist muss aber doch eben das kleiner gelten und nicht kleiner Gleich!
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
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Hallo DerBaum,
> Hallo MathePower,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Ja, das habe ich für das skalarprodukt ja auch erhalten.
> Jedoch ist [mm]-2Ax_2^4[/mm] nur kleiner GLEICH Null und nicht
> kleiner Null für [mm]x\neq 0 [/mm].
> Damit L eine strenge Lypuanov-Funktion ist muss aber doch
> eben das kleiner gelten und nicht kleiner Gleich!
>
Nach dem ersten Kriterium von Lypuanov muss doch gelten,
daß die Lypuanov-Funktion an der Ruhelage ein striktes lokales Minimum besitzt.
Dann ist die Ruhelage stabil.
Nach dem zweiten Kriterium muss die Lypuano.Funktion für alle x
verschieden von der Ruhelage kleiner null sein.
Dann ist die Ruhelage asymptotisch stabil.
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> DerBaum
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:10 Do 06.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
> Hallo DerBaum,
>
> > Hallo MathePower,
> >
> > Vielen Dank für deine Antwort.
> > Ja, das habe ich für das skalarprodukt ja auch
> erhalten.
> > Jedoch ist [mm]-2Ax_2^4[/mm] nur kleiner GLEICH Null und nicht
> > kleiner Null für [mm]x\neq 0 [/mm].
> > Damit L eine strenge Lypuanov-Funktion ist muss aber doch
> > eben das kleiner gelten und nicht kleiner Gleich!
> >
>
>
> Nach dem ersten Kriterium von Lypuanov muss doch gelten,
> daß die Lypuanov-Funktion an der Ruhelage ein striktes
> lokales Minimum besitzt.
> Dann ist die Ruhelage stabil.
Also ist hier das erste Kriterium erfüllt und somit ist der Punkt [mm] $(0,0)^T$ [/mm] stabil? Aber eben nicht asymptotisch stabil?
habe ich das richtig verstanden?
Ich habe nämlich durch unser Skript nur herausfinden könne, dass wenn das Zweite Kriterium erfüllt ist der Punkt asymptotisch sptabil ist, nicht aber zweiteres. Aber dann habe ich da wohl etwas überlesen ;)
Vielen Dank
Liebe Grüße
Der Baum
>
> Nach dem zweiten Kriterium muss die Lypuano.Funktion für
> alle x
> verschieden von der Ruhelage kleiner null sein.
> Dann ist die Ruhelage asymptotisch stabil.
>
>
> > Vielen Dank
> > Liebe Grüße
> > DerBaum
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Fr 07.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 05.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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