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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Stammfunktion bilden
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Stammfunktion bilden: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Do 10.05.2007
Autor: torben99

Aufgabe
d²s/dt² = a + b * (ds/dt)²

Hab leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich hier die Stammfunktion bilden soll. Kann mir jemand dabei helfen?


Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stammfunktion bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Do 10.05.2007
Autor: Leopold_Gast

Mit [mm]u = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}[/mm] geht die Differentialgleichung in eine mit getrennten Veränderlichen über:

[mm]\frac{\mathrm{d}u}{a+bu^2} = \mathrm{d}t[/mm]

Bei der Integration links sind jetzt verschiedene Fälle für die Parameter [mm]a,b[/mm] zu beachten. Eine weitere Integration liefert dann

[mm]s = \int~u~\mathrm{d}t[/mm]

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion bilden: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Do 10.05.2007
Autor: torben99

Leider versteh ich nicht ganz was du meinst.

Die gestellte Aufgabe soll einmal nach s und einmal nach t integriert werden.

Kannst du mir das nochmal genau erklären?

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion bilden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Do 10.05.2007
Autor: wauwau

also die diffgleichung heißt ja

[mm]u'' = a+bu'^{2}[/mm]

v=u'

[mm] v'=a+bv^2 [/mm] (1)

die Fälle a=0 oder b=0 sind straight forward zu rechnen

a=0 [mm] u=-\bruch{1}{b}ln(C-bx)+D [/mm]  mit beliebigen Konst. C,D
b=0 [mm] u=ax^2+Cx+D [/mm] mit beliebigen Konst. C,D

sei nun a,b ungleich 0


[mm]\bruch{v'}{a+bv^2}=1 [/mm] beide Seiten integriert


[mm]\bruch{1}{\wurzel{ab}}arctan(\wurzel{\bruch{b}{a}}v) = t + C[/mm]

oder aber

[mm]arctan(\wurzel{\bruch{b}{a}}v) = \wurzel{ab}*t + D[/mm]

[mm]\wurzel{\bruch{b}{a}}v = tan(\wurzel{ab}*t + D)[/mm]

[mm]v= u' =\wurzel{\bruch{a}{b}}tan(\wurzel{ab}*t + D)[/mm]

wiederum beide Seiten integriert

[mm]u = - \wurzel{\bruch{a}{b}}*\bruch{1}{\wurzel{ab}}ln(cos(\wurzel{ab}*t + D))+ E =[/mm]

[mm]-\bruch{1}{b}*ln(cos(\wurzel{ab}*t + D)) + E [/mm]
mit bel. Konst. D, E

Bezug
                                
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Stammfunktion bilden: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 18:52 Do 10.05.2007
Autor: Leopold_Gast

Und was ist, wenn [mm]a,b[/mm] verschiedene Vorzeichen besitzen?

Bezug
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