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Forum "Statistik/Hypothesentests" - Standardabw. mit Parameter
Standardabw. mit Parameter < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Standardabw. mit Parameter: Idee / Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:10 Fr 08.04.2016
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist eine beliebige eindimensionale Messreihe. Gesucht ist ein Weg die Messreihe so zu manipulieren, dass die Standardabweichung den Wert 1 annimmt.


Hallo,
ich habe natürlich eine Idee:

Die Formel für die Standardabweichung lautet
$s = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}$ [/mm]

Zunächst habe ich in der gegeben Formel [mm] \overline{x} [/mm] den Erwartungswert durch seine Definition ersetzt:

$s = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}$ [/mm]

Nun haben wir nur noch [mm] x_{i} [/mm] und die Konstante n in der Formel. Da ich einen Faktor suche, mit dem ich alle Messwerte multiplizieren muss, damit bei dieser Formel 1 rauskommt, habe ich diesen Faktor einfach bei allen [mm] x_{i} [/mm] hinzugefügt und mit 1 gleichgesetzt.

$1 = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n-1}\summe_{i=1}^{n}(ax_{i}-\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ax_{i})^{2}}$ [/mm]

Da hab ich dann nach a aufgelöst und kam zu folgendem Ergebnis:

a = [mm] \wurzel{\bruch{n-1}{\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}\summe_{i=1}^{n}x_{i})+\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}(\summe_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}} [/mm]

Allerdings kam schon bei der ersten Probe unter der Wurzel etwas negatives raus...

Rechenfehler oder Ansatz falsch?

lg
Magics

p.s. Größere Formeln werden bei mir nicht mehr richtig angezeigt


        
Bezug
Standardabw. mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Fr 08.04.2016
Autor: luis52


> Gegeben ist eine beliebige eindimensionale Messreihe.
> Gesucht ist ein Weg die Messreihe so zu manipulieren, dass
> die Standardabweichung den Wert 1 annimmt.

Teile  alle Werte durch ihre Standardabweichung ...


> p.s. Größere Formeln werden bei mir nicht mehr richtig
> angezeigt

Der MR hat manchmal diese Krankheit  ...


Bezug
                
Bezug
Standardabw. mit Parameter: Scheint nicht korrekt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Fr 08.04.2016
Autor: magics

Hallo,

diese Lösung scheint nicht zu stimmen, was ich an einem konkreten Rechenbeispiel belegen kann:

Der Einfachheit halber nehmen wir eine Messreihe, bestehend aus zwei Messwerten: [mm] \overline{X} [/mm] = [3, 7]

Der Erwartungswert ist [mm] \overline{x} [/mm] = (3 + 7)/2 = 5
Die Standardabweichung ist s = [mm] \wurzel{\bruch{1}{1}((3-5)^{2}+(7-5)^{2})} [/mm] = 2,82842...

Nun teile ich, wie vorgeschlagen, die Messwerte durch die Standardabweichung und erhalte die neuen Messerte [mm] \overline{X^{'}} [/mm] = [1,060; 2,474]

Der neue Erwartungswert lautet [mm] \overline{x^{'}} [/mm] = 1,311
Die neue Standardabweichung sollte 1 sein, ist jedoch: s = 1,18977...

----

Ich schätze mal, dass mein Ansatz gar nicht so verkehrt ist... es erscheint mir nicht Falsch eine Gleichung nach ihrem Parameter aufzulösen - allerdings habe ich wohl die Parameter falsch gesetzt. Kann mir dabei jemand helfen?

lg Magics

Bezug
                        
Bezug
Standardabw. mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Fr 08.04.2016
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Werte um den Mittelwert herum gestreut sind. Willst du die Standardabweichung verringern, mußt du die Werte näher an den Mittelwert heran bringen.

Wenn du alle Werte durch eine Konstante teilst, wird die Verteilung zwar schmaler, wandern aber auch in Richtung 0. Der Mittelwert wird also auch kleiner.

Teile den Abstand zum Mittelwert durch die alte Standard-Abweichung:

    
             Werte     | Mittel |  StdAbw
vorher     3,0    7,0  |   5,0  |    2,8
nachher    4,3    5,7  |   5,0  |    1,0

Bezug
                                
Bezug
Standardabw. mit Parameter: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Fr 08.04.2016
Autor: magics

Der Zusammenhand war mir gar nicht so bewusst. Besten Dank

lg Magics

Bezug
                
Bezug
Standardabw. mit Parameter: Stimmt doch!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Fr 08.04.2016
Autor: magics

Verzeihung, ich habe mich peinlich verrechnet. Deine Lösung stimmt!
Ich habe meine sehr komplexe Lösung nochmal nachgerechnet und kam auf die gleichen Zwischenergebnisse, wie bei deinem Ansatz - da wurd ich stutzig und hab den Fehler gesucht und gefunden.

Ich verstehe nicht, warum man einfach durch die Standardabweichung dividieren kann... aber gut. Einem geschenkten Gaul und so.

lg
Magics

Bezug
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