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Standortproblem mit Newton?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Sa 08.01.2005
Autor: bub0815

Hallöchen!

Ich habe mal wieder ein Problem. Möchte gerne folgendes Standortproblem lösen:

Gesucht ist die minimale Summe der Entfernung zwischen einem Lagerort und x Städten, die durch folgende Funktion beschrieben wird:

e(x,y)=  [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (( x-  [mm] x_{i} )^{2} [/mm] + (y-  [mm] y_{i} )^{2} )^{ \bruch{1} {2} } [/mm]

Als Hinweis steht noch dabei dass:

[mm] \bruch{ \delta e}{ \delta x} [/mm] = 0  und  [mm] \bruch{ \delta e }{ \delta y} [/mm] = 0

Die Koordinaten  [mm] x_{i} [/mm] und [mm] y_{i} [/mm] sind bekannt.

Jetzt mein eigentliches Problem: Ich soll das anhand des Newtonverfahres lösen. Beispiele mit Fixpuntverfahren habe ich. Kann mir jemand die Unterschiede, auf die ich achten muss erklären (bzw. wie es überhaupt funzt)?

Besten Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (bin zwar kein Erstposter...)

        
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Standortproblem mit Newton?: mehrdim. Newtonverfahren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Mo 10.01.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo bub0815,
Der Unterschied zwischen Newtonverfahren und Fixpunktverfahren ist einfach das man beim Fixpunktverfahren einen Fixpunkt (also eine Stelle x mit F(x)=x) sucht und beim Newtonverfahren eine Nullstelle der Funktion.
Welche Funktion ist's denn die Null werden soll?
Zum Newtonverfahren:
[mm]x_{n+1}=x_n - F'(x_n)^{-1}F(x_n)[/mm]
Wobei F'(x) die Jacobimatrix ist,also die der Ableitungen von F(x).
Alles klar?
gruß
mathemaduenn

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Standortproblem mit Newton?: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:57 Sa 26.02.2005
Autor: Mathelaie

Hallo

ich versuche im Moment eine ähnliche Aufgabe zu lösen. Ich habe bereits die Standortkoordinaten und den Ursprungspunkt ermittelt.

Meine Frage: Wie und wo muß ich die Koordinaten eintragen, damit ich eine Lösung erreiche?

Vielen Dank

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Standortproblem mit Newton?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Mo 28.02.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Mathelaie,
Ist deine Aufgabe gleich. Dann mußt Du die Koordinaten nur in die Summenformel eintrgen oder ist sie nur ähnlich? Du müsstest wohl noch etwas ausführlicher werden.
gruß
mathemaduenn

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Standortproblem mit Newton?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mo 28.02.2005
Autor: Mathelaie

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Bei mir werden die Koordinaten einer Zentralenverteilerstelle (x,y) gesucht, sodass die Summe aller Enfernungen (xi,yi) minimal wird.

Die Koordinaten der verschiedenen Standorte wurden bereits ermittelt.

Stellen diese Koordinaten xi, yi oder x,y dar? Wie muß ich diese in die Formel eintragen (Formel und Hinweis wie oben)?

Nochmals Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

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Standortproblem mit Newton?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Di 01.03.2005
Autor: Muecke

Die xi,yi sind die Koordinaten deiner Standorte, die du gegeben hast.
x,y sind die gesuchten Koordinaten der Zentralverteilerstelle.

Hast du z.B folgende Standorte gegeben:
P1 (1,3)
P2(3,8)
P3(4,1)

dann würde es eingesetzt folgendermassen aussehen:
[mm]\wurzel{(x-1)^2 +(y-3)^2}+\wurzel{(x-3)^2 +(y-8)^2}+\wurzel{(x-4)^2 +(y-1)^2}[/mm]

Die Suche nach der minimalen Summe ist eine Extremwertaufgabe. Es muss also per Newton (wie schon geschrieben wurde) die Nullstelle der der 1. Ableitung gesucht werden. (partielle Ableitungen --> nichtlineares Gleichungssystem)

Gruß
Mücke


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Standortproblem mit Newton?: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Do 17.03.2005
Autor: xyab123

Hallo,

ich versuche ebenfalls diese Aufgabe zu lösen. Ich habe bereits die Koordinaten ermittelt (7 Stück). und die Ableitung gebildet.

Die Ableitung lautet:
[mm] \bruch{x - x_{i}}{ \wurzel{( x - x_{i})²+ (y - y_{i})²}} [/mm]
und
[mm] \bruch{y - y_{i}}{ \wurzel{( x - x_{i})²+ (y - y_{i})²}} [/mm]

Meine Frage: Wie baue ich die Matrix auf?

Vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

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Standortproblem mit Newton?: JacobiMatrix
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Fr 18.03.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo xyab123,
> Die Ableitung lautet:
>   [mm]\bruch{x - x_{i}}{ \wurzel{( x - x_{i})²+ (y - y_{i})²}} [/mm]

[ok]

> und
>   [mm]\bruch{y - y_{i}}{ \wurzel{( x - x_{i})²+ (y - y_{i})²}} [/mm]

[ok] Naja bis auf das Summenzeichen halt;-)
Jetzt soll wohl darauf das Newton Verfahren angewendet werden.
Gelöst werden soll
[mm] f_1= \summe_{i=1}^{n}\bruch{x - x_{i}}{ \wurzel{( x - x_{i})^2+ (y - y_{i})^2}}=0 [/mm]
[mm] f_2= \summe_{i=1}^{n}\bruch{y - y_{i}}{ \wurzel{( x - x_{i})^2+ (y - y_{i})^2}}=0 [/mm]
Die beteiligte Matrix wäre die Jacobi Matrix also
[mm] \pmat{ \bruch{\partial f_1}{\partial x} & \bruch{\partial f_1}{\partial y} \\ \bruch{\partial f_2}{\partial x} & \bruch{\partial f_2}{\partial y} } [/mm]
Reicht Das?
gruß
mathemaduenn

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