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Starke Konvergenz: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Do 21.05.2015
Autor: Orchis

Hallo zusammen,

ich habe gerade einen neuen Konvergenzbegriff, die schwache Konvergenz, gelernt und habe in einer Übungsaufgabe gezeigt, dass für zwei schwach konvergente Folgen [mm] (u_n)_{n \in \IN} [/mm] schwach gegen u, [mm] (v_n)_{n \in \IN} [/mm] schwach gegen v nicht gelten muss, dass
[mm] \to [/mm] <u,v> (starke Konvergenz). Dazu habe ich mir die kanonischen Einheitsvektoren des Raumes der quadratsummierbaren Folgen, [mm] l^2 [/mm] geschnappt.
Nun meine Frage: Gilt eigentlich das Argument, wenn [mm] u_n [/mm] und [mm] v_n [/mm] nun stark konvergieren würden? Dann könnte ich doch eigentlich folgendes machen, oder?
[mm] | [/mm] - <u,v>|
= [mm] | [/mm] - <u, [mm] v_n> [/mm] + <u, [mm] v_n> [/mm] - <u,v>|
= [mm] | [/mm] + <u, [mm] v_n [/mm] - v>|
[mm] \leq || [/mm] + |<u, [mm] v_n [/mm] - v>| nach Dreiecksungleichung
[mm] \leq \|u_n [/mm] - [mm] u\| \cdot \|v_n\| [/mm] + [mm] \|u\| \cdot \|v_n [/mm] - [mm] v\| [/mm] nach Cauchy Schwarz.
Da [mm] u_n [/mm] stark gegen u und [mm] v_n [/mm] stark gegen v konvergieren geht der Term gegen 0 un somit folgt die Behauptung. Geht das so einfach?

Ich bedanke mich schonmal im Voraus!
Viele Grüße,
Orchis

        
Bezug
Starke Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Do 21.05.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich habe gerade einen neuen Konvergenzbegriff, die schwache
> Konvergenz, gelernt und habe in einer Übungsaufgabe
> gezeigt, dass für zwei schwach konvergente Folgen [mm](u_n)_{n \in \IN}[/mm]
> schwach gegen u, [mm](v_n)_{n \in \IN}[/mm] schwach gegen v nicht
> gelten muss, dass
>  [mm] \to[/mm] <u,v> (starke Konvergenz). Dazu habe ich

> mir die kanonischen Einheitsvektoren des Raumes der
> quadratsummierbaren Folgen, [mm]l^2[/mm] geschnappt.
>  Nun meine Frage: Gilt eigentlich das Argument, wenn [mm]u_n[/mm]
> und [mm]v_n[/mm] nun stark konvergieren würden? Dann könnte ich
> doch eigentlich folgendes machen, oder?
>  [mm]|[/mm] - <u,v>|
>  = [mm]|[/mm] - <u, [mm]v_n>[/mm] + <u, [mm]v_n>[/mm] - <u,v>|
>  = [mm]|[/mm] + <u, [mm]v_n[/mm] - v>|
>  [mm]\leq ||[/mm] + |<u, [mm]v_n[/mm] - v>| nach
> Dreiecksungleichung
>  [mm]\leq \|u_n[/mm] - [mm]u\| \cdot \|v_n\|[/mm] + [mm]\|u\| \cdot \|v_n[/mm] - [mm]v\|[/mm]
> nach Cauchy Schwarz.
>  Da [mm]u_n[/mm] stark gegen u und [mm]v_n[/mm] stark gegen v konvergieren
> geht der Term gegen 0 un somit folgt die Behauptung. Geht
> das so einfach?

Ja, aber Du benötigst für


[mm]\leq \|u_n[/mm] - [mm]u\| \cdot \|v_n\|[/mm] + [mm]\|u\| \cdot \|v_n[/mm] - [mm]v\|[/mm] [mm] \to [/mm] 0


noch, dass [mm] (v_n) [/mm] beschränkt ist !

Sonst ist es O.K.

Bewiesen hast Du die Stetigkeit des Skalarprodukts.

FRED

>  
> Ich bedanke mich schonmal im Voraus!
>  Viele Grüße,
>  Orchis  


Bezug
                
Bezug
Starke Konvergenz: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Do 21.05.2015
Autor: Orchis

ahhh stimmt, das ist die Stetigkeit des Skalarproduktes :D. Alles klar, die Beschränktheit folgt aber eh aus der Konvergenz der Folge.

Vielen Dank und Gruß,
Orchis

Bezug
        
Bezug
Starke Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Do 21.05.2015
Autor: Orchis

Hmm, mir sind gerade doch noch Zweifel für meine Lösung im Falle zweier schwach konvergenter Folgen gekommen. Ich hatte ein Gegenbeispiel gesucht und dachte, dass die Einheitsvektoren in [mm] l^2 [/mm] genau das leisten würden:
[mm] (e_k)_{k \in \IN} \subset l^2. [/mm]
[mm] e_k [/mm] konvergieren schwach in [mm] l^2. [/mm]
Aber [mm] [/mm] = [mm] \|e_k \| [/mm] = 1 [mm] \not \to [/mm] 0 = <0,0>. (*).

Jetzt ist mir aber gekommen, dass (*) ja gar nicht stimmt. Weiß jemand ein funktionierendes Gegenbeispiel im Falle, dass man zwei schwach konvergente Folgen gegeben hat, sodass folgendes nicht funktioniert:
[mm] \to [/mm] <u,v>.

Viele Grüße,
Orchis.

Bezug
                
Bezug
Starke Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Fr 22.05.2015
Autor: fred97


> Hmm, mir sind gerade doch noch Zweifel für meine Lösung
> im Falle zweier schwach konvergenter Folgen gekommen. Ich
> hatte ein Gegenbeispiel gesucht und dachte, dass die
> Einheitsvektoren in [mm]l^2[/mm] genau das leisten würden:
>  [mm](e_k)_{k \in \IN} \subset l^2.[/mm]
>  [mm]e_k[/mm] konvergieren schwach
> in [mm]l^2.[/mm]
>  Aber [mm][/mm] = [mm]\|e_k \|[/mm] = 1 [mm]\not \to[/mm] 0 = <0,0>. (*).
>  
> Jetzt ist mir aber gekommen, dass (*) ja gar nicht stimmt.



Was soll daran nicht stimmen ?  Ist [mm] x=(x_j) \in l^2, [/mm] so ist [mm] =x_k. [/mm]

Da x [mm] \in l^2 [/mm] haben wir: [mm] \summe_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 [/mm] ist konvergent, somit ist x eine Nullfolge, daher

   [mm] =x_k \to [/mm] 0=<x,0>  (k [mm] \to \infty). [/mm]

Somit konvergiert [mm] (e_k) [/mm]  schwach gegen 0.

Aber: [mm][/mm] = [mm]\|e_k \|^2[/mm] = 1 [mm]\not \to[/mm] 0 = <0,0>.


Da passt doch alles !


Ich bin nicht im Bilde, ob Ihr folgenden Satz hattet:

SATZ: Ist H ein Hilbertraum, ist [mm] (u_n) [/mm] eine Folge in H und ist u [mm] \in [/mm] H, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(1) [mm] (u_n) [/mm] konvergiert schwach gegen u und [mm] $||u_n|| \to [/mm] ||u||$;

(2) [mm] (u_n) [/mm] konvergiert stark gegen u.




Ist also z. B.  [mm] (v_n) [/mm] eine schwach konvergente Folge in H mit schwachem Grenzwert v, die nicht stark konvergiert, so kann

(*)  [mm] \to [/mm] <v,v>

nicht gelten ! Anderenfalls hätten wir wegen (*):   $ [mm] ||v_n|| \to [/mm] ||v||$. Nach obigem Satz würde dann aber die Folge [mm] (v_n) [/mm] stark gegen v konvergieren, was sie aber nicht tut.

FRED


> Weiß jemand ein funktionierendes Gegenbeispiel im Falle,
> dass man zwei schwach konvergente Folgen gegeben hat,
> sodass folgendes nicht funktioniert:
>  [mm] \to[/mm] <u,v>.
>  
> Viele Grüße,
>  Orchis.


Bezug
                        
Bezug
Starke Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Fr 22.05.2015
Autor: Orchis

Danke sehr, das versteh ich jetzt. Ich dachte zunächst, dass gilt
[mm] \to [/mm] 0, obwohl natürlich [mm] \|e_k\| [/mm] = 1 (in der [mm] l^2 [/mm] Norm)...

Bezug
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