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Stetigkeit: Epsilon-Delta
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Mo 13.06.2016
Autor: anil_prim

Aufgabe
Es sei f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] exp(2x) + [mm] 4x^2 [/mm]
Bestimmen Sie zu [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x_0 [/mm] = 1 explizit ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gilt.

Hallo,

Ich habe bis jetzt folgenden Ansatz:

|x-1| < [mm] \delta [/mm]
|f(x)-f(1)| = [mm] |(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e) [/mm] - [mm] 4(x+1)*\delta| [/mm]

Hat jemand eine kleinen Tipp, wie ich nun weiter machen kann?

Viele Grüße
Anil

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mo 13.06.2016
Autor: Jule2

HI
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] exp(2x) + [mm]4x^2[/mm]
>  Bestimmen Sie zu [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]x_0[/mm] = 1
> explizit ein [mm]\delta[/mm] > 0 derart, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] gilt.
>  Hallo,
>  
> Ich habe bis jetzt folgenden Ansatz:
>  
> |x-1| < [mm]\delta[/mm]
>  |f(x)-f(1)| =
> [mm]|(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e)[/mm]
> - [mm]4(x+1)*\delta|[/mm]

>
Du meinst wohl
[mm] (exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)(x-1)|<|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)*\delta| [/mm]

> Hat jemand eine kleinen Tipp, wie ich nun weiter machen
> kann?

Wie musst du denn nun dein [mm] \delta [/mm] wählen damit
[mm] |(exp(x))^2-e^2+4(x+1)*\delta|=\bruch{1}{2}=\varepsilon [/mm]

>  
> Viele Grüße
>  Anil

LG


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Mo 13.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]|(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e)[/mm]
> > - [mm]4(x+1)*\delta|[/mm]
>  >
>  Du meinst wohl
>  
> [mm](exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)(x-1)|<|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)*\delta|[/mm]

wieso sollte er das meinen? Ich finde seine Umformung sogar deutlich zielführender…

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 Mo 13.06.2016
Autor: Jule2

Hi
[mm] |(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)| [/mm]
Also ich meine das "=" stimmt hier nicht
[mm] |(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)(x-1)| [/mm]
hier hingegen schon

LG

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:17 Mo 13.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

da hast du natürlich recht.
Spielte bei mir nach Anwendung der Dreiecksungleichung keine Rolle mehr, daher habe ich das übersehen :-)

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Mo 13.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]|(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e)[/mm]
> - [mm]4(x+1)*\delta|[/mm]
>  
> Hat jemand eine kleinen Tipp, wie ich nun weiter machen
> kann?

Hiho,

ich würde nun Dreiecksungleichung anwenden und bedenken, dass $x [mm] \le x_0 [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 1 + [mm] \delta$. [/mm] Dann kannst du oBdA annehmen, dass [mm] $\delta\le [/mm] 1$ und erhältst damit $x [mm] \le [/mm] 2$.

Durch die Dreiecksungleich und obige Abschätzung erhältst du nun zwei Summanden, mit bekannten Funktionen, wobei ich jeden getrennt so abschätzen würde, dass er kleinergleich [mm] $\bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] ist.

Das bekommst du bestimmt hin :-)

Gruß,
Gono

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