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Stetigkeit: Epsilon-Delta Kriterium
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:43 So 23.01.2005
Autor: dancingestrella

Hallo zusammen!

Ich habe immense schwierigkeiten mit der Stetigkeit, dabei ist mein Hauptproblem, dass ich nie weiß wie ich bei dem  [mm] \varepsilon [/mm] -  [mm] \delta [/mm] Kriterium ansetzen muss...

In den Vorlesungen, Übungen usw. haben wir noch so unanschauliche, komplexe Aufgaben dazu angesprochen, deswegen habe ich mir mal zwei ganz elementare Funktionen herausgesucht:

1) f : [mm] \IR \to \IR, [/mm]  f(x) := x
2) g: [mm] \IR \to \IR, [/mm]  g(x) :=  [mm] \wurzel{x} [/mm]
3) h: [mm] \IR \to \IR, [/mm]   h(x) := [mm] x^2 [/mm]

Ich habe inzwischen mitbekommen, dass man mit  |a - b  | <   [mm] \delta [/mm]
für a, b [mm] \in \IR [/mm] anfangen muss und durch Implikationen zu  
| f(a) - f(b) | < [mm] \varepsilon [/mm] kommen muss.
So ganz lese ich das aber auch nicht aus der Definition heraus, aber ich versuche mal:

1) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt:  | a - b  | < delta.
Jetzt setze ich [mm] \varepsilon:= \delta [/mm] und es ist - zum Glück: f(a) = a und f(b) = b, dann bekommt man:
|f(a) - f(b) |< [mm] \varepsilon. [/mm]

2) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt:  | a - b  | < delta.
Nun ist aber g(a) =  [mm] \wurzel{a} [/mm] und g(b) =  [mm] \wurzel{b} [/mm] und ich scheitere...

3) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt:  | a - b  | < delta.
Es ist h(a) = [mm] a^2 [/mm] und h(b) = [mm] b^2.... [/mm]

Ich weiß einfach nicht wie ich da weiterrechnen soll. Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

Gruß, dancingestrella


        
Bezug
Stetigkeit: falscher Stetigkeitsbegriff
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:00 Mo 24.01.2005
Autor: leduart

Hallo
Ich hoffe, du kannst die Stetigkeitsdefinition im Schlaf noch aufsagen:
ZU   jedem   [mm] \varepsilon [/mm] gehört ein  [mm] \delta [/mm] so dass gilt.......
D.h. wenn ich dir irgendein  [mm] \varepsilon [/mm] sage mußt du mir ein  [mm] \delta [/mm] angeben können!
deshalb kannst du nicht irgendein  [mm] \delta [/mm] vorgeben! Stell dir das wie eine Diskussion vor: Ich geb dir ein beliebiges  [mm] \varepsilon [/mm] dann sagst du klar dazu reicht   [mm] \delta [/mm] =. Kaum bist du fertig sag ich dir ein klineres  [mm] \varepsilon [/mm] und du mußt wieder ein  [mm] \delta [/mm] finden usw.usw. denn es gibt ja zu   jedem   [mm] \varepsilon [/mm] ein  [mm] \delta [/mm]  laut deiner Behaüptung. Dabei hab ich noch weggelassen, dass das  [mm] \delta [/mm]  meist noch von der Stelle  [mm] x_{0} [/mm] abhängt, an der man die Stetigkeit beweisen will. [mm] \delta [/mm] hängt also im allgemeinen von [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] ab. Wenn man [mm] \delta [/mm] kleiner macht schadet das aber nie!

Nun zu deinen Beispielen f(x) =x stetig bei [mm] x_{0} [/mm] da sag ich |x- [mm] x_{0}|< \varepsilon [/mm]
und du sagst sofort hihi hab ich schon mein  [mm] \delta [/mm] es ist einfach  [mm] \varepsilon. [/mm]
Bei f(x)=5x ist es schon schwieriger ich sag mein  [mm] \varepsilon [/mm] und du mußt dein  [mm] \delta [/mm] schon  [mm] \varepsilon/5 [/mm] machen!
jetzt [mm] f(x)=x^{2} [/mm]    Ich sag  [mm] |x^{2}-x0<^{2}|<\varepsilon [/mm] und jetzt kommst du ins Denken. Da du Binomi gut kennst schreibst du erst mal
[mm] |x^{2}-x0<^{2}| [/mm] =|(x-x0)(x+x0)| =|(x-x0)|*|(x+x0)|   Und dann denkst du x+x0 <2x0
oder <2x (x,x0>0) und wenn du jetzt  [mm] \delta [/mm] <  [mm] \varepsilon/2x0 [/mm] wählst  bist du fein raus.
Aber irgend eine Standardmethode um das richtige  [mm] \delta [/mm] zu finden gibt es nicht, da muß man immer denken und rumprobieren, manchmal hilft es mit einem  [mm] \delta [/mm] anzufangen und es am Ende noch zu verbessern,
Alles klar oder noch mehr Verwirrung?
Gute Nacht
leduart

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: jetzt: 1/x
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Di 25.01.2005
Autor: dancingestrella

Hallo leduart...

inzwischen habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium für so "einfache" Funktionen verstanden :-)
aber ich hänge nun an folgender (für mich nicht mehr so einfache) Funktion:

Behauptung:
f: (0,1]  [mm] \to \IR, [/mm] x  [mm] \mapsto \bruch{1}{x} [/mm]
ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.

Beweis:
Sei  [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für alle x mit  |a-x|< [mm] \delta: [/mm]

|f(x) - f(a)| =  | [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -  [mm] \bruch{1}{a}| [/mm] =  | [mm] \bruch{a-x}{xa} [/mm] | <  
| [mm] \bruch{ \delta}{xa} [/mm] | = [mm] \delta [/mm]  | [mm] \bruch{1}{ax} [/mm]  |

So, ich bekomme das x jetzt nicht raus! Wie komme ich denn da weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?

gruß, dancingestrella

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Di 25.01.2005
Autor: moudi


> Hallo leduart...
>  
> inzwischen habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium für so
> "einfache" Funktionen verstanden :-)
>  aber ich hänge nun an folgender (für mich nicht mehr so
> einfache) Funktion:
>  
> Behauptung:
>  f: (0,1]  [mm]\to \IR,[/mm] x  [mm]\mapsto \bruch{1}{x} [/mm]
>  ist stetig,
> aber nicht gleichmäßig stetig.
>  
> Beweis:
>  Sei  [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für

> alle x mit  |a-x|< [mm]\delta: [/mm]
>  
> |f(x) - f(a)| =  | [mm]\bruch{1}{x}[/mm] -  [mm]\bruch{1}{a}|[/mm] =  |
> [mm]\bruch{a-x}{xa}[/mm] | <  
> | [mm]\bruch{ \delta}{xa}[/mm] | = [mm]\delta[/mm]  | [mm]\bruch{1}{ax}[/mm]  |
>  
> So, ich bekomme das x jetzt nicht raus! Wie komme ich denn
> da weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?

Genau, wie bekommt man das x heraus.

Du weisst ja, dass [mm] $x>a-\delta$, [/mm] denn [mm] $|a-x|<\delta$ [/mm] und daraus folgt, dass [mm] $x>\frac [/mm] a2$, wenn [mm] $\delta<\frac [/mm] a2$ und daraus [mm] $\frac 1x<\frac [/mm] 2a$ (falls [mm] $\delta<\frac [/mm] a2$).

Einsetzen ergibt:
$|f(x) - [mm] f(a)|<\frac{2\delta}{a^2}$. [/mm]
Wählt man jetzt delta kleiner als [mm] $\varepsilon\frac{a^2}{2}$, [/mm] so gilt
$|f(x) - [mm] f(a)|<\varepsilon$ [/mm]  (falls [mm] $\delta<\min\{\varepsilon\frac{a^2}{2},\frac a2\}$). [/mm]

Man sieht an diesem Beispiel, dass [mm] $\delta$ [/mm] schwer von a abhängt. Wenn $a$ immer näher nach 0 geht, muss man für dasselbe [mm] $\varepsilon$ [/mm] immer kleinere [mm] $\delta$ [/mm] wählen, das ist der Grund, wieso [mm] $f(x)=\frac1x$ [/mm] nicht gleichmässig stetig ist.

mfG Moudi

>  
> gruß, dancingestrella
>  

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