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Also es geht mir um eine mathematische Begründung folgenden Sachverhaltes:
Es gibt ja für gebrochenrationale Funktionne oft Definitionslücken. Wenn eine Def-Lücke vorliegt, so kann man weiter auftrennen zwischen Polstelle und einer echten Def-Lücke, die dann stetig ergänzt werden kann.
Rechnerisch könnte ich mathematisch korrekt den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bilden, also [mm] x_0+h [/mm] und [mm] x_0-h [/mm] in f(x) einsetzen und schauen, ob ein eindeutiger Grenzwert rauskommt.
Einfacher und gerade für die Schule zweckdienlicher ist aber die Hilfestellung, dass die Nullstelle (NST) des Nenner eine Polstelle ist, wenn sie zugleich NICHT die NST des Zählers ist. Sollte [mm] x_0 [/mm] dagegen NST von Nenner und Zähler sein, so handelt es sich um eine Def-Lücke, die man ergänzen kann. Meine Frage ist, wie man diesen "Trick" oder Sachverhalt mathematisch erläutern kann. Hat es was mit Faktorisierung zu tun, weil die NST zu beiden Funktionen gehört, also sowohl eine NST der Zählerfunktion als auch der Nennerfunktion ist oder woher kommt dies?
Problem ist für mich ja auch, dass es eigentlich gar nichts mit der Stetigkeit zu tun hat, da die Funktion ja niemals für diese Werte definiert ist.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Frage soll für Interessierte sein
Danke schön
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> Also es geht mir um eine mathematische Begründung folgenden
> Sachverhaltes:
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> Es gibt ja für gebrochenrationale Funktionne oft
> Definitionslücken. Wenn eine Def-Lücke vorliegt, so kann
> man weiter auftrennen zwischen Polstelle und einer echten
> Def-Lücke, die dann stetig ergänzt werden kann.
> Rechnerisch könnte ich mathematisch korrekt den
> linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bilden, also
> [mm]x_0+h[/mm] und [mm]x_0-h[/mm] in f(x) einsetzen und schauen, ob ein
> eindeutiger Grenzwert rauskommt.
>
> Einfacher und gerade für die Schule zweckdienlicher ist
> aber die Hilfestellung, dass die Nullstelle (NST) des
> Nenner eine Polstelle ist, wenn sie zugleich NICHT die NST
> des Zählers ist.
Das ist bei gebrochen rationalen Funktionen richtig
(man kann aufgrund dieser Voraussetzungen auch einen
Beweis mittels Grenzwerten führen)
> Sollte [mm]x_0[/mm] dagegen NST von Nenner und
> Zähler sein, so handelt es sich um eine Def-Lücke, die man
> ergänzen kann.
Dies stimmt so nicht. Es kommt auf die "Vielfachheiten"
der Nullstellen im Zählerpolynom und im Nennerpolynom
an.
> Meine Frage ist, wie man diesen "Trick" oder
> Sachverhalt mathematisch erläutern kann. Hat es was mit
> Faktorisierung zu tun, weil die NST zu beiden Funktionen
> gehört, also sowohl eine NST der Zählerfunktion als auch
> der Nennerfunktion ist oder woher kommt dies?
Ganz richtig. Wenn eine Polynomfunktion p(x)
vom Grad n eine Nullstelle [mm] x_1 [/mm] hat, so kann man p(x)
in Faktoren zerlegen: [mm] p(x)=(x-x_1)*q(x), [/mm] wobei
q ein Polynom vom Grad n-1 ist. Man ermittelt es
durch Polynomdivision bzw. mit dem Hornerschema.
Der Weg zur Klärung des Verhaltens von gebrochen
rationalen Funktionen bei Definitionslücken führt also
über die Faktorisierung von Zähler- und Nennerpolynom
und Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
> Problem ist für mich ja auch, dass es eigentlich gar nichts
> mit der Stetigkeit zu tun hat, da die Funktion ja niemals
> für diese Werte definiert ist.
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> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Die Frage soll für Interessierte sein
>
> Danke schön
Gruß und schönen Abend !
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Hallo Adamantin,
> Also es geht mir um eine mathematische Begründung folgenden
> Sachverhaltes:
>
> Es gibt ja für gebrochenrationale Funktionne oft
> Definitionslücken. Wenn eine Def-Lücke vorliegt, so kann
> man weiter auftrennen zwischen Polstelle und einer echten
> Def-Lücke, die dann stetig ergänzt werden kann.
> Rechnerisch könnte ich mathematisch korrekt den
> linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bilden, also
> [mm]x_0+h[/mm] und [mm]x_0-h[/mm] in f(x) einsetzen und schauen, ob ein
> eindeutiger Grenzwert rauskommt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  stetig, Definitionslücke im SchulMatheLexikon und ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Für die Stetigkeit kommt es darauf an, dass die Funktion an allen Stellen ihres Definitionsbereichs (!) stetig ist.
Rationale Funktionen sind an den NST ihres Nenners nicht definiert, also kann man über ihre Stetigkeit dort nichts aussagen.
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> Einfacher und gerade für die Schule zweckdienlicher ist
> aber die Hilfestellung, dass die Nullstelle (NST) des
> Nenner eine Polstelle ist, wenn sie zugleich NICHT die NST
> des Zählers ist. Sollte [mm]x_0[/mm] dagegen NST von Nenner und
> Zähler sein, so handelt es sich um eine Def-Lücke, die man
> ergänzen kann. Meine Frage ist, wie man diesen "Trick" oder
> Sachverhalt mathematisch erläutern kann. Hat es was mit
> Faktorisierung zu tun, weil die NST zu beiden Funktionen
> gehört, also sowohl eine NST der Zählerfunktion als auch
> der Nennerfunktion ist oder woher kommt dies?
Mit diesem "Trick" versucht man, eine Funktion "stetig fortzusetzen", so dass die nach dem Kürzen (Definitionsbereich beachten!) entstehende Funktion dann sogar in den vorher ermittelten Definitionslücken definiert und stetig ist und dadurch leichter zu untersuchen. Man erhält also eine neue Funktion mit einem neuen Definitionsbereich.
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> Problem ist für mich ja auch, dass es eigentlich gar nichts
> mit der Stetigkeit zu tun hat, da die Funktion ja niemals
> für diese Werte definiert ist.
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> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Die Frage soll für Interessierte sein
>
> Danke schön
Jetzt klar(er)? Sonst frag gezielt nach.
Gruß informix
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