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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit
Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit: mit mehreren Veränderlichen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Di 23.09.2008
Autor: Mathefragen

Aufgabe
Sei a € R und sei die Abbildung [mm] f_a:\IR²\mapsto\IR [/mm] wie folgt definiert:
[mm] f_a(x,y):=\begin{cases} xy / (x² + y²), & \mbox{für } x²+y²\not= 0 \mbox{ } \\ a, & \mbox{für } x²+y² = 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm]
Untersuchen Sie die fa auf Stetigkeit. Gibt es ein a € R, so daß fa überall stetig ist?

Hi! Ich hab hab obige Aufgabe vor mir inkl. Lösungen liegen. Allerdings versteh ich die auch nicht richtig. Nachdem ich sämtliche Bücher durchsucht hab und ich auf kein Ergebnis gekommen bin, stell ich meine Frage hier hinein. Wie beweist man ganz allgemein die Stetigkeit bei mehreren Veränderlichen? Wär super, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet :) Viele Grüße

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Di 23.09.2008
Autor: fred97


> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>  Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Sei a € R und sei die Abbildung fa: R² -> R wie folgt
> definiert:
>  fa (x,y):= {xy / x² + y², falls [mm] x²+y²\not= [/mm] 0}
>                 {a, falls x²+y² = 0}
>  
> Untersuchen Sie die fa auf Stetigkeit. Gibt es ein a € R,
> so daß fa überall stetig ist?
>  Hi! Ich hab hab obige Aufgabe vor mir inkl. Lösungen
> liegen. Allerdings versteh ich die auch nicht richtig.
> Nachdem ich sämtliche Bücher durchsucht hab und ich auf
> kein Ergebnis gekommen bin, stell ich meine Frage hier
> hinein. Wie beweist man ganz allgemein die Stetigkeit bei
> mehreren Veränderlichen? Wär super, wenn ihr mir da
> weiterhelfen könntet :) Viele Grüße



Wir können uns auf Funktionen mit 2 Variablen beschränken.

Sei D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] und f:D --> [mm] \IR [/mm]  eine Funktion. Ist [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] D,so heißt f stetig in diesem Punkt, falls für jede Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] in D mit [mm] (x_n,y_n)) [/mm] --> [mm] (x_0,y_0) [/mm] gilt f [mm] ((x_n,y_n)) [/mm]  --> [mm] f(x_0,y_0) [/mm]


Nun zu Deiner Funktion. Nimm mal die Folge (1/n,1/n). Diese strebt gegen (0,0). Es ist f(1/n,1/n) = 1/2 --> 1/2

Nimmst Du aber die Folge (1/n,0), so strebt diese ebenfalls gegen (0,0),
und f(1/n,0) =  0 --> 0

D.h. wie immer Du auch a wählst, fist in (0,0) nicht stetig

FRED

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Di 23.09.2008
Autor: Mathefragen

Hi! Danke für die Antwort :)! Jedoch rechnen wir das irgendwie mit einem anderen Verfahren. So wird in der Lösung zunächst  der [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,x)=1/2 [/mm] gebildet und danach der [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(0,y) [/mm] gebildet.. Dadurch dass sie unterschiedlich sind soll man nun sehen, dass die Funktion in (0,0) unstetig ist.

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Di 23.09.2008
Autor: fred97

Das hab ich doch im wesentlichen auch so gemacht:
wenn Du Dich auf der Winkelhalbierenden der Stelle (0,0) näherst, strebt f gegen 1/2, wenn Du Dich aber auf denh Koordinatenachsen der Stelle (0,0) näherst, strebt f gegen 0.

Stetigkeit in (0,0) bedeutet anschaulich: egal auf welchem Wege Du Dich der Stelle (0,0) näherst, f strebt immer gegen f(0,0). Das ist oben aber nicht der Fall.

FRED

Bezug
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