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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit - Funktionen
Stetigkeit - Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit - Funktionen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Di 12.07.2016
Autor: MrAnonym

Aufgabe
Bestimmen Sie den links- und rechtsseitigen Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 für folgnde Funktion:

g(x)=-1 für x<0
g(x)=0 für x=0
g(x)=1 für x>0

Also diese Funktion g(x) ist einfach ein Sprung an der Stelle x=0 von -1 auf 1.

Nabend,

in den letzten Vorlesungen wurde uns die Definition des Delta-Epsilon-Kriterium zum Zeigen, ob Funktionen an gewissen Stellen stetig sind, gezeigt. Nun möchte ich das ganze für mich selbst wiederholen, wobei ich es noch nicht ganz kappiert habe.

Ich versuche kurz die Definition [mm] wiederzugeben(\epsilon, \delta \in \mathbb [/mm] R):
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0: [mm] \exists \delta<0: |x-x_0| \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
Oder einfacher: [mm] 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]

Und genau dann ist die Funktion [latex]f(x)[/latex] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig, nehme ich an.

Ein Beispiel wird mir sicher helfen dieses Kriterium zu verstehen: Nehmen wir die im Anhang gezeigte Funktion g(x) her. Wie man sieht, ist das ein Sprung von -1 auf 1 genau bei x=0. D.h. das ist logischerweise eine Unstetigkeitstelle, denn wenn ich von links und rechts den Grenzwert Bilde kommen ja unterschiedliche Werte raus bei zwei unterschiedlichen Funktionen -1 und 1. Aber nun zum Kriterium:

[mm] x_0=0 [/mm] ist die zu überprüfende Stelle. Also setze ich mal oben ein: [mm] 0<|x-0|<\delta \Rightarrow [/mm] |-1-(-1)| < [mm] \epsilon [/mm] Also gilts [mm] \epsilon [/mm] > 0, was wir doch ohnehin schon vorher wussten.

Es steht da, dass ich für ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden soll, sodass das Kriterium erfüllt ist. Ja gut, dass sagt auch die Definition, aber wie gehe ich davor, dass ich das beste [mm] \epsilon [/mm] finde?

LG MrAnonym

        
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Stetigkeit - Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Di 12.07.2016
Autor: leduart

Hallo
du musst ja zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden, und genau das kannst du jja für eine unstetige Funktion nicht

f(x)-f(0)=-1 für x<1 und f(x)-f(0)=1 für x> insgesamt [mm] |f(x)-f(x_0)|=1 [/mm] unabhängig davon wie man [mm] |x-0|=\delta [/mm] wählt, also gibt es kein [mm] \delta [/mm] so dass [mm] |f(x)-f(x_0)|<0.1 [/mm] ist (da man ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] wählen kann kann man für Unstetigkeit z.B ein [mm] \epsilon=0,1 [/mm] wählen.
also versuche lieber mal zu zeigen, dass [mm] f(x)=x^2 [/mm] bei x=2 stetig ist.
du musst nie ein [mm] \epsilon [/mm] finden , sondern zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein delta angeben können, das von [mm] \epsilon [/mm] und auch von der Stelle x abhängen kann .
Gruß leduart

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Stetigkeit - Funktionen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Di 12.07.2016
Autor: MrAnonym

Ah, danke.

Danke, ich habe jedoch ein paar Verständnisfragen, ein weiteres Beispiel, wo die linke funktion anders als die Rechte ist, würde da vielleicht weiterhelfen.


1. Muss ich mir die rechte und linke Funktion immer getrennt angucken? Also habe ich für die rechte Funktion ein Epsilon und dann für die linke auch noch?
Weil ich ja zwei f(x) haben, einmal f(x)=-1 und einmal f(x)=1.

Du sagtest folgendes: f(x)-f(0)=-1 für x<1 und f(x)-f(0)=1 für x> insgesamt $ [mm] |f(x)-f(x_0)|=1 [/mm] $ unabhängig davon wie man $ [mm] |x-0|=\delta [/mm] $ wählt, also gibt es kein $ [mm] \delta [/mm] $ so dass $ [mm] |f(x)-f(x_0)|<0.1 [/mm] $ ist.

Kannst du mir bitte ein anderes Beispiel nennen, wo ich genau sehe, dass sich die Funktion links mehr von der rechten Funktion unterscheidet und wie ich dann da mein Delta finde etc. Weil da habe ich ja verschiedene Abstände [mm] f_r(x)-f_r(x_0) [/mm] und [mm] f_l(x)-f_l(x0) [/mm] nehme ich an, oder?

2. Der Abstand [mm] |f(x)-f(x_0)|=1 [/mm] ist also nur kleiner Epsilon, wenn es ein Delta gibt oder wie?

3. Und [mm] f(x_0)=f(0)=0 [/mm] ich dachte f(0) = 1 oder -1 je nachdem ob ich mir die rechte, oder linke Funktion angucke.
Aber ich denke ich muss da immer den Funktionswert nehmen wo die ganze Funktion "definiert" ist, also in dem Fall ist f(0)=0, richtig?

4. Wo bringt man dann den links- und rechtsseitigen Grenzwert ins Spiel?



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Stetigkeit - Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Mi 13.07.2016
Autor: leduart

Hallo
wenn du eine Funktion hast mit einer Sprungstelle weisst du direkt, dass sie an der Stelle unstetig ist, es ist sinnlos da was mit dem [mm] \epsilon- \delta [/mm] zu machen.
Der Sinn ist doch Stetigkeit zu zeigen.
wenn [mm] |f(x)-f(x_0)|=a [/mm] also einen festen Wert haben, kann man doch sicher nicht zeigen , dass es beliebig klein wird. deshalb verstehe ich deine Frage 2. nicht. der Abstand ist IMMER 1 also kann man ihn nicht kleiner machen.
Also lass de Funktionen mit Sprungstellen einfach, weil da nichts zu tun ist.
du kannst , wenn du unbedingt Funktionen willst, die in 2 verschiedenen Intervallen definiert sind mal die Stetigkeit der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] für x<1 f(x)=x für [mm] x\ge1 [/mm] untersuchen.
probier es mal selbst, zu zeigen, dass sie stetig ist a) bei x=0. b) bei x=1
bei 1 hast du hier einen linksseitigen und rechtsseitigen GW..

zu 3. bei deiner vorigen fkt mit der Sprungstelle waren linksseitiger und rechseitiger GW verschieden,  nämlich -1 und +1 da konnte man die Unstetigkeit auch damit beweisen, und zeigen, dass man auch f(0) nicht so angeben kann, dass es stetig wird. wenn du allerdings f(0)=-1 schreibst ist die Funktion linksseitig stetig.
Gruß leduart
Gruß ledum

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