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Stetigkeit Abstandfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:12 Di 29.08.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich verstehe eine Kleinigkeit in folgender Sache nicht:


Sei (X,d) ein metrischer Raum und [mm] x_{0} \in [/mm] X. Die Funktion f: X [mm] \to \IR [/mm] sei definiert durch

f(x) := [mm] d(x,x_{0}). [/mm]

Diese Funktion ist in jedem Punkt a [mm] \in [/mm] X stetig, denn es folgt aus der Dreiecksungleichung

|f(x) - f(a)| = [mm] |d(x,x_{0}) [/mm] - [mm] d(a,x_{0})| \le [/mm] d(a,x),

d.h. |f(x) - f(a)| < [mm] \epsilon [/mm] für d(x,a) < [mm] \epsilon. [/mm] Beim [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] kann man also hier [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] wählen.

---------------


Meine Frage nun: Wieso folgt aus der Dreiecksungleichung

[mm] |d(x,x_{0}) [/mm] - [mm] d(a,x_{0})| \le [/mm] d(a,x) ?

Diesen Punkt sehe ich nicht. Könnt ihr mir helfen?


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Stetigkeit Abstandfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:21 Di 29.08.2017
Autor: angela.h.b.


> Meine Frage nun: Wieso folgt aus der Dreiecksungleichung

>

> [mm]|d(x,x_{0})[/mm] - [mm]d(a,x_{0})| \le[/mm] d(a,x) ?

Hallo,

[mm] d(x,x_0)\le d(x,a)+d(a,x_0), [/mm]
also
[mm] d(x,x_0)-d(a,x_0)\le [/mm] d(x,a)=d(a,x).

Weiter gilt
[mm] d(a,x_0)\le d(a,x)+d(x,x_0), [/mm]
also
[mm] d(a,x_0)-d(x,x_0)\le [/mm] d(a,x).

LG Angela

 

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:58 Fr 01.09.2017
Autor: X3nion

Hallo Angela,

ach klar, Dankeschön für die Hilfe!

Viele Grüße,
X3nion

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Bezug
Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:30 So 03.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

>
> > Meine Frage nun: Wieso folgt aus der Dreiecksungleichung
>  >
>  > [mm]|d(x,x_{0})[/mm] - [mm]d(a,x_{0})| \le[/mm] d(a,x) ?

>  
> Hallo,
>  
> [mm]d(x,x_0)\le d(x,a)+d(a,x_0),[/mm]
>  also
>  [mm]d(x,x_0)-d(a,x_0)\le[/mm] d(x,a)=d(a,x).
>  
> Weiter gilt
>  [mm]d(a,x_0)\le d(a,x)+d(x,x_0),[/mm]
>  also
>  [mm]d(a,x_0)-d(x,x_0)\le[/mm] d(a,x).

kann man so machen. aber wenn man nochmal hinguckt, sieht man, dass
die zweite Ungleichung aus der ersten folgt (die vor: "Weiter gilt"), wenn
man da [mm] $a\,$ [/mm] gegen [mm] $x\,$ [/mm] vertauscht (und dann noch die Symmetrie beachtet,
etwa $d(x,a)=d(a,x)$).

Hier sieht das jetzt nach keiner großen Ersparnis aus und ist es nicht, aber
dieses Vorgehen wird in vielen Beweisen praktiziert, und man sollte einfach
testen, ob es anwendbar ist.

Übrigens würde ich hier auch noch den Hinweis ergänzen:
Für $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt

    $|r| [mm] \le [/mm] s$ [mm] $\iff$ [/mm] ($r [mm] \le [/mm] s$ und $-r [mm] \le [/mm] s$).

Folgt natürlich quasi per Definitionem von [mm] $|r|\,,$ [/mm] aber ist eine leicht zu beweisende
Aussage, die man schnell mal noch zusätzlich beweisen könnte, wenn man
es gerade will.

Und noch eine Ergänzung:
Die Ungleichung

    [mm] $|d(x,x_0)-d(x_0,a)| \le [/mm] d(a,x)$

hat einen Namen: Man nennt sie umgekehrte Dreiecksungleichung!

Gruß,
  Marcel

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Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Di 05.09.2017
Autor: X3nion

Hallo Marcel,

auch dir Danke ich sehr für deinen Beitrag.
Klar, Vertauschen von a und x und man erhält das Gewünschte,

Das mit der umgekehrten Dreiecksungleichung hätte der Autor aber auch notieren können anstatt nur "Dreiecksungleichung".
Klar folgt aus der Dreiecksungleichung die umgekehrte Dreiecksungleichung, aber damit man nicht schon bei Beweisen in der Lektüre rätseln muss [happy]


Gruß X3nion

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Di 05.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> auch dir Danke ich sehr für deinen Beitrag.
>  Klar, Vertauschen von a und x und man erhält das
> Gewünschte,
>  
> Das mit der umgekehrten Dreiecksungleichung hätte der
> Autor aber auch notieren können anstatt nur
> "Dreiecksungleichung".
>  Klar folgt aus der Dreiecksungleichung die umgekehrte
> Dreiecksungleichung, aber damit man nicht schon bei
> Beweisen in der Lektüre rätseln muss [happy]

ich hätte es anders aufgeschrieben - aber so, wie es der Autor macht,
ist es eigentlich okay:
Aus der Dreiecksungleichung folgt die umgekehrte Dreiecksungleichung
(letztere benennt er halt nicht), und die umgekehrte Dreiecksungleichung
liefert die Behauptung.

So würde ich das auch in einer Prüfung sagen, wenn jemand das abfragen
würde. ;-)

Gruß,
  Marcel


Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:00 Do 07.09.2017
Autor: X3nion



Hallo Marcel, Dankeschön für deinen erläuternden
Beitrag!

> ich hätte es anders aufgeschrieben - aber so, wie es der
> Autor macht,
>  ist es eigentlich okay:
>  Aus der Dreiecksungleichung folgt die umgekehrte
> Dreiecksungleichung
>  (letztere benennt er halt nicht), und die umgekehrte
> Dreiecksungleichung
>  liefert die Behauptung.

Genau, letztere bennent er nicht und lässt einen erstmal rätseln [happy] aber das habe ich gemerkt, gewisse Dinge sind einfach (bewusst) so aufgebaut, dass man sein Denken schult.

> So würde ich das auch in einer Prüfung sagen, wenn jemand
> das abfragen
>  würde. ;-)

Natürlich ist es ungeschickt, wenn man in Übungsaufgaben so knapp argumentiert. Insbesondere die "Trivialität" mag man ja da überhaupt nicht :-P

> Gruß,
>    Marcel

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                
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Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:57 Mo 11.09.2017
Autor: Marcel

Hallo,

>
> Hallo Marcel, Dankeschön für deinen erläuternden
> Beitrag!

gerne! :-)

>  > ich hätte es anders aufgeschrieben - aber so, wie es

> der
> > Autor macht,
>  >  ist es eigentlich okay:
>  >  Aus der Dreiecksungleichung folgt die umgekehrte
> > Dreiecksungleichung
>  >  (letztere benennt er halt nicht), und die umgekehrte
> > Dreiecksungleichung
>  >  liefert die Behauptung.
>  
> Genau, letztere bennent er nicht und lässt einen erstmal
> rätseln [happy] aber das habe ich gemerkt, gewisse Dinge
> sind einfach (bewusst) so aufgebaut, dass man sein Denken
> schult.
>  
> > So würde ich das auch in einer Prüfung sagen, wenn jemand
> > das abfragen
>  >  würde. ;-)
>  
> Natürlich ist es ungeschickt, wenn man in Übungsaufgaben
> so knapp argumentiert. Insbesondere die "Trivialität" mag
> man ja da überhaupt nicht :-P

Wie sagte einst einer meiner Dozenten: "Dass das nun gilt, dachte ich, ist
doch eine Trivialität. Als ich dann aber anfing, drüber nachzudenken, warum
das trivial ist, war es auf einmal doch nicht mehr so trivial..." ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit Abstandfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 12.09.2017
Autor: fred97


>  
> Wie sagte einst einer meiner Dozenten: "Dass das nun gilt,
> dachte ich, ist
> doch eine Trivialität. Als ich dann aber anfing, drüber
> nachzudenken, warum
>  das trivial ist, war es auf einmal doch nicht mehr so
> trivial..." ;-)
>  
> Gruß,
>    Marcel

Wie sagte einst einer meiner hochgeschätzten Kollegen, als ich im gezeigt habe, dass eine von ihm "bewiesene" Ungleichung nicht richtig ist:

  "Ja,ja, manchmal weiß man halt Sachen, die gar nicht stimmen".

Gruß FRED


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