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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Di 10.06.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen:
a) || * || : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm]
b) Seien f,g : [mm] \IR^m [/mm] -> [mm] \IR^n [/mm] stetig. Sei < , > das Standardskalarprodukt in [mm] \IR^n. [/mm] Dann sei h:
h(p)=<f(p) , g(p)> |
Bei a) bin ich soweit, dass ich zeigen muss, dass gilt:
| ||x|| - ||y|| | [mm] \le [/mm] ||x-y||
Denn dann kann ich definieren: [mm] \Delta [/mm] = [mm] \varepsilon, [/mm] und
||x-y|| [mm] \le \Delta, [/mm] und wäre fertig. Aber genau da weiß ich nicht, wie ich das am besten zeige. Ich meine, man sieht denke ich sofort, dass die Ungleichung gilt....aber für einen Beweis fällt mir nichts ein. Auch nicht, wenn ich das als Summen ausschreibe...
Bei b) denke ich, wäre ein Weg, zu zeigen, dass:
||<f(x),g(x)> - <f(a),g(a)>|| -> 0, für x->a.
Auch das erscheint mir offensichtlich, denn da f und g als stetig vorrausgesetzt sind, gehen ja f,g(x)->f,g(a) für x-a....
Aber auch hier fehlt mir ein wirklicher Ansatz, dass zu beweisen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 10.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen:
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> a) || * || : [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
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> b) Seien f,g : [mm]\IR^m[/mm] -> [mm]\IR^n[/mm] stetig. Sei < , > das
> Standardskalarprodukt in [mm]\IR^n.[/mm] Dann sei h:
> h(p)=<f(p) , g(p)>
> Bei a) bin ich soweit, dass ich zeigen muss, dass gilt:
>
> | ||x|| - ||y|| | [mm]\le[/mm] ||x-y||
> Denn dann kann ich definieren: [mm]\Delta[/mm] = [mm]\varepsilon,[/mm] und
> ||x-y|| [mm]\le \Delta,[/mm] und wäre fertig. Aber genau da weiß
> ich nicht, wie ich das am besten zeige. Ich meine, man
> sieht denke ich sofort, dass die Ungleichung gilt....aber
> für einen Beweis fällt mir nichts ein. Auch nicht, wenn
> ich das als Summen ausschreibe...
.. dann sieht man auch nicht sofort, dass die Ungleichung gilt. Aber die gute Nachricht ist, dass es eine ganz elementare Ungleichung ist, die ihr bestimmt schon einmal besprochen habt. Sie folgt mehr oder weniger direkt aus der Dreiecksungleichung. Schau sonst einmal in ein fruehes Kapitel eines Einfuehrungsbuchs in die Analysis. Da findest du bestimmt eine Herleitung.
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> Bei b) denke ich, wäre ein Weg, zu zeigen, dass:
> ||<f(x),g(x)> - <f(a),g(a)>|| -> 0, für x->a.
> Auch das erscheint mir offensichtlich, denn da f und g als
> stetig vorrausgesetzt sind, gehen ja f,g(x)->f,g(a) für
> x-a....
> Aber auch hier fehlt mir ein wirklicher Ansatz, dass zu
> beweisen....
Du kannst die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung benutzen. Beweise die Behauptung vielleicht ersteinmal fuer den Fall, dass $f$ oder $g$ konstant sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 10.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu b) Zeige zunächst (falls Ihr das nicht hattet) die Stetigkeit des Skalarproduktes:
aus [mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] y_n \to y_0 [/mm] folgt [mm] \to
[/mm]
FRED
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