matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitStetigkeit beweisen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit beweisen
Stetigkeit beweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit beweisen: Epsilon Delta Kriterium
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mi 06.01.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriteriums, dass die Funktion f: [0, [mm] \infty [/mm] ] -> [mm] \IR [/mm] die durch

f(x) = [mm] \bruch{x^2}{x+1} [/mm] gegeben ist, stetig ist.

Hallo,
die Definition des Epsilon Delta Kriterium ist:

[mm] \forall \varepsilon \exists \delta [/mm] >0 : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty]: |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Bis jetzt hatte ich immer einen konkreten Punkt [mm] x_0 [/mm] gegeben. Bei dieser Aufgabe ist jetzt kein [mm] x_0 [/mm] gegeben, daher bin ich mir nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin, hier mein Ansatz:

Ich lasse die Betragsstriche mal weg, da f immer positiv ist.

Also:
Zuerst gilt es, ein [mm] \delta [/mm] zu finden. Dazu muss ich den Ausdruck [mm] f(x)-f(x_0) [/mm] so vereinfachen, bis ich Ausdrücke der Form [mm] (x-x_0) [/mm] bekomme.

[mm] f(x)-f(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{x_0^2}{x_0+1} [/mm]

jetzt Nenner gleichnamig:

[mm] \bruch{(x_0+1)(x^2) - x_0^2(x+1)}{(x+1)(x_0+1)} =\bruch{x_0x^2+x^2-x_0^2x-x_0^2}{xx_0+x+x_0+1} [/mm]

Ich kann hier nichts vereinfachen(ausklammern), ohne dass ich im Nenner oder im Zähler Brüche bekomme. Was kann ich jetzt noch tun?

Vielen Dank im Voraus.


        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mi 06.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich lasse die Betragsstriche mal weg, da f immer positiv ist.

f ist immer positiv, aber doch im Allgemeinen nicht die Differenz von $f(x) - [mm] f(x_0)$! [/mm]

Allerdings ist f monoton steigend auf [mm] $[0,\infty)$, [/mm] mache daher eine Fallunterscheidung:

1.) [mm] $x\ge x_0$ [/mm]
Dann ist einerseits $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = f(x) - [mm] f(x_0)$, [/mm] andererseits ist [mm] $\frac{x^2}{x+1} \le \frac{x^2}{x_0 + 1}$ [/mm]
Nutze das und eine binomische Formel im Zähler um auf $(x - [mm] x_0)$ [/mm] zu kommen und verwende, dass wir ja später nur x verwenden für die [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm]

2.) $x < [mm] x_0$ [/mm]
Dann ist einerseits $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] - f(x)$, andererseits ist [mm] $-\frac{x^2}{x+1} \le -\frac{x^2}{x_0 + 1}$ [/mm]
Dann verfahre wie bei 1.)


Im Übrigen ist 1.) und 2.) gleichbedeutend mit:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le |\frac{x^2 - x_0^2}{x_0 + 1}|$, [/mm] wenn man das sehen würde, käme man auch ohne Fallunterscheidung weiter.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Mi 06.01.2016
Autor: pc_doctor

Alles klar, vielen Dank für den Tipp.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,
also ich hänge immer noch an der Aufgabe. Mein Tutor meinte, dass man das ohne Fallunterscheidung ganz normal mit Umformungen lösen kann.

Ich versuche es die ganze Zeit, aber ich komme irgendwie nie auf den Faktor | x - [mm] x_0 [/mm] |

Wir haben f: [0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm]

f(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{x+1} [/mm]

Wir nehmen an dass | x- [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm]

Wir müssen bestimmen: |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm]

Also:

| [mm] \bruch{x^{2}}{x+1} [/mm] | - | [mm] \bruch{x_0^{2}}{x_0 + 1} [/mm] |

Den Bruch gleichnamig machen:

| [mm] \bruch{x^{2}(x_0+1) - x_0^{2}(x+1)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm] |

So, und wie bekomme ich jetzt im Zähler irgendwie durch Umformungen |x-x0| raus ?

Vielen Dank im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 10.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

das Zitieren klappt leider nicht; ich kann also nix dranschreiben  ...

Aber das [mm]\left|\frac{x^2}{x+1}\right|-\left|\frac{x_0^2}{x_0+1}\right|[/mm] ist doch komplett falsch.

Seit wann ist [mm]|x-y|=|x|-|y|[/mm] ??

Betrachten musst du [mm]\left|\frac{x^2}{x+1}-\frac{x_0^2}{x_0+1}\right|[/mm]

Die Idee, gleichnamig zu machen, ist schonmal gut.

Rechne dann den Zähler weiter aus und ordne um ..

[mm]x^2(x_0+1)-x_0^2(x+1)=x_0x^2+x^2-xx_0^2-x_0^2[/mm]

Nun [mm]xx_0[/mm] ausklammern aus dem ersten und dritten Summanden

[mm]=xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)[/mm]

Nun schaue dir die hintere Differenz der Quadrate mal scharf an, dann siehst du sicher was ..

Bedenke dann, dass du einen Bruch vergrößern kannst, indem du den Zähler vergrößerst ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,

ich zitiere : " $ [mm] =xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2) [/mm] $
"
Ich lasse die Betragsstriche mal weg, zur Vereinfachung.
Der letzte Summand ist die dritte binomische Formel. Also [mm] (x^2 [/mm] - [mm] x_0^2 [/mm] ) = [mm] (x-x_0)(x+x_0). [/mm] Ich habs mal versucht:

Wir haben:

[mm] \bruch{xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

[mm] \bruch{xx_0(x-x_0)+(x-x_0)(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

[mm] (x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

Wir hatten die Annahme [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] also auch |x| < [mm] \delta [/mm] + [mm] x_0 [/mm]

Also:

[mm] (x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm] < [mm] \delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

Wählen zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \delta [/mm] < 1, also  gilt:

[mm] \delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm] < [mm] \delta \bruch{(x_0+1)x_0+((x_0+1)+x_0)}{((x_0+1)+1)(x_0+1)} [/mm]

= [mm] \delta \bruch{x_0+x_0^2+x_0+x_0^2}{(2+x_0)(x_0+1)} [/mm]


= [mm] \delta \bruch{2x_0^2+2x_0}{x_0^2+3x_0+2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Jetzt den Bruch mit [mm] x_0 [/mm] erweitern:

[mm] \delta \bruch{2x_0^3+2x_0^2}{x_0^3+3x_0^2+2x_0} [/mm]

Jetzt ausklammern:

[mm] \delta \bruch{x_0^2(2x_0+2)}{x_0(x_0^2+3x_0+2} [/mm]


= [mm] \delta \bruch{2x_0+2}{x_0^2+3x_0+2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]


[mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon \bruch{x_0^2+3x_0+2}{2x_0+2} [/mm]

Geht das so ?

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 So 10.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,
> Hallo,

>

> ich zitiere : " [mm]=xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)[/mm]
> "
> Ich lasse die Betragsstriche mal weg, zur Vereinfachung.
> Der letzte Summand ist die dritte binomische Formel. Also
> [mm](x^2[/mm] - [mm]x_0^2[/mm] ) = [mm](x-x_0)(x+x_0).[/mm] Ich habs mal versucht: [ok]

>

> Wir haben:

>

> [mm]\bruch{xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> [mm]\bruch{xx_0(x-x_0)+(x-x_0)(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> [mm](x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm] [ok]

>

> Wir hatten die Annahme [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] also auch |x| <
> [mm]\delta[/mm] + [mm]x_0[/mm]

Viel zu umständlich...

Ich sagte doch extra: "Bruch vergrößern"

Es ist [mm]\left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}\right| \ \leq \ \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0 \ \red{+1})}{(x+1)(x_0+1)}\right|[/mm]

Nun nur noch die hintere Klammer im Zähler zusammenfassen ...


>

> Also:

>

> [mm](x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm] < [mm]\delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> Wählen zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\delta[/mm] < 1, also gilt:

>

> [mm]\delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm] < [mm]\delta \bruch{(x_0+1)x_0+((x_0+1)+x_0)}{((x_0+1)+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> = [mm]\delta \bruch{x_0+x_0^2+x_0+x_0^2}{(2+x_0)(x_0+1)}[/mm]

>
>

> = [mm]\delta \bruch{2x_0^2+2x_0}{x_0^2+3x_0+2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

>

> Jetzt den Bruch mit [mm]x_0[/mm] erweitern:

>

> [mm]\delta \bruch{2x_0^3+2x_0^2}{x_0^3+3x_0^2+2x_0}[/mm]

>

> Jetzt ausklammern:

>

> [mm]\delta \bruch{x_0^2(2x_0+2)}{x_0(x_0^2+3x_0+2}[/mm]

>
>

> = [mm]\delta \bruch{2x_0+2}{x_0^2+3x_0+2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

>
>

> [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon \bruch{x_0^2+3x_0+2}{2x_0+2}[/mm]

>

> Geht das so ?

Möglicherweise (habe gerade keine gesteigerte Lust alles nachzurechnen - weil unnötig ;_)), aber es ist ein sehr sehr sehr einfaches [mm]\delta[/mm] möglich ...


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,

also:

$ [mm] \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}\right| [/mm] \ [mm] \leq [/mm] \ [mm] \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0 \ \red{+1})}{(x+1)(x_0+1)}\right| [/mm] $

= [mm] \bruch{(x-x_0)((x+1)(x_0+1))}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

kürzen

= [mm] \bruch{(x-x_0)(x_0+1)}{x_0+1} [/mm]

wieder kürzen

= [mm] x-x_0 [/mm] < [mm] \delta [/mm]

Aber das ist ja die Annahme ( wir meinen ja [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] )

Wie bringe ich jetzt [mm] \varepsilon [/mm] da rein ?

Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 10.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo nochmal,

>

> also:

>

> [mm]\left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}\right| \ \leq \ \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0 \ \red{+1})}{(x+1)(x_0+1)}\right|[/mm]

>

> = [mm]\bruch{(x-x_0)((x+1)(x_0+1))}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> kürzen

>

> = [mm]\bruch{(x-x_0)(x_0+1)}{x_0+1}[/mm]

>

> wieder kürzen

>

> = [mm]x-x_0[/mm] < [mm]\delta[/mm]

>

> Aber das ist ja die Annahme ( wir meinen ja [mm]|x-x_0|[/mm] <
> [mm]\delta[/mm] )

>

> Wie bringe ich jetzt [mm]\varepsilon[/mm] da rein ?

Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]\delta=\varepsilon[/mm]

Dann gilt für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]:

[mm]|f(x)-f(x_0)|=...=...\le |x-x_0|<\delta=\varepsilon[/mm]

;-)

Gruß
schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:03 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Geil, alles ist möglich :D

Endlich gelöst, vielen lieben Dank für die Hilfe.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]