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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit einer Funktion
Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit einer Funktion: Stetigkeit von Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Fr 30.09.2016
Autor: jackdaniel

Aufgabe
Zeige oder wiederlege, dass die Funktion [mm] f(x) = \bruch{1}{1+x^2}[/mm]  in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig ist.
Hinweis: [mm] \bruch{|x|}{1+x^2} \le 1[/mm]

Ich weiß leider nicht wirklich wie ich hier zum Ziel komme.
Gleichmäßige Stetigkeit zeige ich ja im allgemeinen mit dem Epsilon-Delta Kriterium:
[mm] \forall\varepsilon>0. \exists\delta>0. \forall x,y\in \IR.\vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon [/mm]

Meine Vermutung ist, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, also würde ich ja zeigen, dass:
[mm] \exists\varepsilon>0. \forall\delta>0. \exists x,y\in \IR. \vert x-y\vert<\delta\wedge\vert f(x)-f(y)\vert\ge\varepsilon [/mm]

Meine Idee wäre jetzt gewesen mit:

[mm] \vert \bruch{1}{1+x^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+y^2} \vert [/mm] = [mm] \vert \bruch{(1+y^2)-(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)} \vert [/mm] = [mm] \vert \bruch{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \vert [/mm]

anzufangen.
Das war es dann leider auch schon.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Fr 30.09.2016
Autor: ChopSuey

Hallo jackdaniel!

> Zeige oder wiederlege, dass die Funktion [mm]f(x) = \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>  in ihrem Definitionsbereich gleichmäßig stetig ist.
>  Hinweis: [mm]\bruch{|x|}{1+x^2} \le 1[/mm]
>  Ich weiß leider nicht
> wirklich wie ich hier zum Ziel komme.

Allg. besteht der Unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser Stetigkeit darin, dass bei gleichmäßiger Stetigkeit dein $ [mm] \delta$ [/mm] nicht von $ [mm] x_0$, [/mm] sondern nur von $ [mm] \varepsilon$ [/mm] abhängen darf.

>  Gleichmäßige Stetigkeit zeige ich ja im allgemeinen mit
> dem Epsilon-Delta Kriterium:
>  [mm]\forall\varepsilon>0. \exists\delta>0. \forall x,y\in \IR.\vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon[/mm]
>  
> Meine Vermutung ist, dass die Funktion nicht gleichmäßig
> stetig ist, also würde ich ja zeigen, dass:
>  [mm]\exists\varepsilon>0. \forall\delta>0. \exists x,y\in \IR. \vert x-y\vert<\delta\wedge\vert f(x)-f(y)\vert\ge\varepsilon[/mm]
>  
> Meine Idee wäre jetzt gewesen mit:
>  
> [mm]\vert \bruch{1}{1+x^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+y^2} \vert[/mm] = [mm]\vert \bruch{(1+y^2)-(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)} \vert[/mm]
> = [mm]\vert \bruch{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \vert[/mm]

Bei dieser Aufgabe kommt man durch eine relativ großzügige Abschätzung ans Ziel. Es ist

$ [mm] \frac{\vert x+x_0 \vert}{(1+x^2)(1+x_0^2)} \le [/mm] 1 $

Schau mal, ob du damit zeigen kannst, dass sie gleichmäßig stetig ist.

>  
> anzufangen.
> Das war es dann leider auch schon.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

LG,
CS


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Fr 30.09.2016
Autor: jackdaniel

Hi,

danke für die Hilfe.
Eine kurze Anmerkung: Meine ausgängliche Behauptung, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, ist falsch. Sie ist stetig.
Dies versuche ich nun zu zeigen:

[mm] \vert \bruch{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \vert [/mm] = [mm] \bruch{\vert y-x \vert\vert y+x \vert}{(1+x^2)(1+y^2)} <\delta\bruch{\vert y+x \vert}{y^2+x^2+1+(xy)^2} \le \delta\bruch{\vert y+x \vert}{1+(xy)^2} \le \delta [/mm]

(Im vorletzten Schritt habe ich den Hinweis verwendet)

Ab hier weiß ich leider nicht weiter. Ich habe wohl das Kriterium doch nicht so recht verstanden. Nach meinem Verständnis habe ich mit dieser Ungleichungskette jetzt ja nur gezeigt, dass [mm] \vert [/mm] f(x)-f(y) [mm] \vert <\varepsilon [/mm] und [mm] <\delta. [/mm]

Oder habe ich genau damit gezeigt, dass ich [mm] \delta [/mm] beliebig klein wählen kann?

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Sa 01.10.2016
Autor: ChopSuey

Hallo,

> Hi,
>  
> danke für die Hilfe.
>  Eine kurze Anmerkung: Meine ausgängliche Behauptung, dass
> die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, ist falsch.
> Sie ist stetig.

Ja, sie ist gleichmäßig stetig.

>  Dies versuche ich nun zu zeigen:
>
> [mm]\vert \bruch{y^2-x^2}{(1+x^2)(1+y^2)} \vert[/mm] = [mm]\bruch{\vert y-x \vert\vert y+x \vert}{(1+x^2)(1+y^2)} <\delta\bruch{\vert y+x \vert}{y^2+x^2+1+(xy)^2} \le \delta\bruch{\vert y+x \vert}{1+(xy)^2} \le \delta[/mm]


Wegen

$ [mm] \frac{\vert x+x_0 \vert}{(1+x^2)(1+x_0^2)} \le [/mm] 1 $

gilt

[mm]\bruch{\vert y-x \vert\vert y+x \vert}{(1+x^2)(1+y^2)} \le \vert y-x \vert\cdot 1 = \vert y-x \vert < \delta [/mm]

Setze $ [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \delta [/mm] $


>  
> (Im vorletzten Schritt habe ich den Hinweis verwendet)
>  
> Ab hier weiß ich leider nicht weiter. Ich habe wohl das
> Kriterium doch nicht so recht verstanden. Nach meinem
> Verständnis habe ich mit dieser Ungleichungskette jetzt ja
> nur gezeigt, dass [mm]\vert[/mm] f(x)-f(y) [mm]\vert <\varepsilon[/mm] und
> [mm]<\delta.[/mm]
>  
> Oder habe ich genau damit gezeigt, dass ich [mm]\delta[/mm] beliebig
> klein wählen kann?

Kannst du den Beweis nun formulieren? Vielleicht ist es hilfreich sich mit den [mm] $\varepsilon-\delta$-Beweismethoden [/mm] bei punktweiser Stetigkeit vertraut zu machen um ein Gefühl dafür zu entwickeln.

LG,
CS

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Sa 01.10.2016
Autor: fred97

Falls der Mittelwertsatz der Differentialrechnung benutzt werden darf:

zeige: $|f'(x)|= [mm] \bruch{1}{1+x^2}* \bruch{2|x|}{1+x^2} \le [/mm] 1$  für jedes x.

Damit haben wir

  $ |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|$  für $x,y [mm] \in \IR$. [/mm]

f ist also sogar Lipschitzstetig.


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