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Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Sa 13.12.2014
Autor: mathenoob3000

Aufgabe
Seien [mm] (X,d_x), (Y,d_y) [/mm] metrische Räume, f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y und A, B [mm] \subset [/mm] X mit X = A [mm] \cup [/mm] B. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) [mm] f|_A [/mm] und [mm] f|_B [/mm] stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig
b) [mm] f|_A [/mm] und [mm] f|_B [/mm] stetig und A,B offen [mm] \Rightarrow [/mm] f stetig


Hi an alle,

Ich komm mit der Aufgabe nicht ganz klar, ich habe mir eine Beispielfunktion überlegt um Teilaufgabe a) zu widerlegen:

Sei f(x) = [mm] \begin{cases} x, wenn x < 5 \\ 10, wenn x \ge 5 \end{cases} [/mm]

Und Sei A := { x | x <5 }, B := { x | x [mm] \ge [/mm] 5 }, X = A [mm] \cup [/mm] B

Dann wäre ja [mm] f|_A [/mm] und [mm] f|_B [/mm] jeweils stetig aber f nicht
Und das würde dann auch gelten wenn A,B offen sind?

Irgendwie kann ich mir aber nicht vorstellen dass das so stimmt, weil ich mal vermute dass eine Teilaufgabe wahr ist :) Allerdings weiss ich nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir helfen

LG


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: edit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Sa 13.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Seien [mm](X,d_x), (Y,d_y)[/mm] metrische Räume, f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y
> und A, B [mm]\subset[/mm] X mit X = A [mm]\cup[/mm] B. Beweisen oder
> widerlegen Sie:
>  
> a) [mm]f|_A[/mm] und [mm]f|_B[/mm] stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig
>  b) [mm]f|_A[/mm] und [mm]f|_B[/mm] stetig und A,B offen [mm]\Rightarrow[/mm] f
> stetig
>  Hi an alle,
>  
> Ich komm mit der Aufgabe nicht ganz klar, ich habe mir eine
> Beispielfunktion überlegt um Teilaufgabe a) zu
> widerlegen:
>  
> Sei f(x) = [mm]\begin{cases} x, wenn x < 5 \\ 10, wenn x \ge 5 \end{cases}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Und Sei A := { x | x <5 }, B := { x | x [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

5 }, X = A [mm]\cup[/mm]

> B
>  
> Dann wäre ja [mm]f|_A[/mm] und [mm]f|_B[/mm] jeweils stetig aber f nicht

beweise das aber noch kurz: [mm] $f\,$ [/mm] ist nicht stetig an der Stelle [mm] $x=5\,$ [/mm] (und
damit nicht stetig).

>  Und das würde dann auch gelten wenn A,B offen sind?

Nein, wobei Deine Formulierung merkwürdig ist. Wenn Du

   $f(x):=x$ für $x<5$ und $f(x):=10$ für $x > [mm] 5\,$ [/mm] (und damit B durch "das neue"
    [mm] $B:=\{x \in \IR \mid x > 5\}=(5,\infty)$) [/mm]

ersetzt hast, dann ist sehr wohl [mm] $f\,$ [/mm] stetig - die Stelle $x=5$ gehört
nämlich dann nicht mehr zum Definitionsbereich!

Schauen wir uns den Fall b) also mal genauer an: Wenn $A,B$ beide offen, $X= A [mm] \cup [/mm] B$ gilt und

    $f [mm] |_A$ [/mm] und $f [mm] |_B$ [/mm]

stetig sind:
[mm] $f\,$ [/mm] ist stetig (=stetig auf [mm] $X\,$). [/mm]

Sei dazu $x [mm] \in [/mm] X=A [mm] \cup [/mm] B$ und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$:
1. Fall: Sei $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $\delta_{A,x}=:\delta' [/mm] > 0$ so, dass

    [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] X:$ [mm] $d_X(x,y) [/mm] < [mm] \delta'$ $\Rightarrow$ [/mm] $y [mm] \in A\,.$ [/mm]
(Kurz: [mm] $U_{\delta'}(x) \subseteq A\,.$) [/mm]

Weil $x [mm] \in [/mm] A$ und [mm] $f|_A$ [/mm] stetig (in [mm] $x\,$) [/mm] ist, gibt es zudem ein [mm] $\delta'' [/mm] > 0$
so, dass

    [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in \overbrace{X \cap \red{\,A\,}}^{=A}:$ $d_X(x,y) [/mm] < [mm] \delta''$ $\Rightarrow$ $d_Y(f(x),f(y)) [/mm] < [mm] \epsilon\,.$ [/mm]
(Kurz: [mm] $f(U_{\delta\red{''}}(x))$ $\subseteq$ $U_{\epsilon}(f(x))\,.$ [/mm] Beachte aber, dass diese Umgebungen "U"
in verschiedenen metrischen Räumen liegen: Die erste in [mm] $\red{A}\,,$ [/mm] die
zweite in [mm] $Y\,$! [/mm]
Vielleicht schreibt man besser anstatt [mm] $U_{\delta''}(x)$ [/mm] hier [mm] $U_{\delta''}(x) \cap [/mm] A$
(dann kann man die Umgebung als Umgebung in [mm] ($X,d_X$) [/mm] betrachten) oder man
ersetzt [mm] $U_{\delta''}(x)$ [/mm] durch [mm] $U_{\delta''}^{(A)}(x)$!) [/mm]

Also gilt: Für alle $y [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $d_X(x,y) \le \delta:=\underbrace{\min\{\delta',\;\delta''\}}_{> 0}:$ [/mm] ... (It's your turn!)

Führe das noch (schnell) zu Ende. Danach überlege Dir, dass der Fall $x [mm] \in [/mm] B$
vollkommen analog behandelt werden kann (weil hier [mm] $B\,$ [/mm] ebenfalls offen ist).

[Du kannst - falls Dir das besser liegt - in obigem Beweis auch anstatt mit
der [mm] $(x-)\epsilon-\delta$-Definition [/mm] mit "stetig=folgenstetig" arbeiten!]

Ist Dir klar, warum das in Deinem Beispiel oben *schiefgeht*? An der Stelle
[mm] $x=5\,$ [/mm] findest Du dort keine offene Umgebung, die ganz in [mm] $A\,$ [/mm] oder ganz in
[mm] $B\,$ [/mm] reinfällt.

P.S. Nur, falls Dich etwas an dem Beweis irritiert, dass ich dort nicht eine Fall-
Unterscheidung mit $A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \varnothing$ [/mm] und $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\varnothing$ [/mm] gemacht
habe:
Die braucht man nicht, das zeigt der Beweis. Und beachte, dass bei $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ nirgends
steht, dass nicht $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ sein dürfte. $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$ ist kein und-ausschließendes oder!
(Wenn Du den Beweis so, wie er oben steht, vollendest, dann ist die
Aufgabe also fertig gelöst!)

Wenn Du willst, kannst Du, für Dich, auf einem Schmierzettel aber dennoch,
wenngleich es eigentlich unnötig ist, den Beweis dahingehend ein wenig
modifizieren und diese Fälle trennen:
[mm] $\alpha)$ [/mm] Sei alles wie oben und zudem $A [mm] \cap B=\varnothing\,.$ [/mm]
1. Fall: Sei nun zudem erstmal $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann ist hier sicher $x [mm] \notin B\,.$ [/mm] ...

2. Fall: Sei nun zudem erstmal $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Dann ist ...

[mm] $\beta)$ [/mm] sei alles wie vor [mm] $\alpha)$ [/mm] gesagt und zudem $A [mm] \cap B\not=\varnothing\,.$ [/mm]
1. Fall: Der Fall $x [mm] \in [/mm] A$ wird genau wie in [mm] $\alpha)$, [/mm] 1.Fall behandelt.
2. Fall: Der Fall $x [mm] \in [/mm] B$ wird genau wie in [mm] $\alpha)$, [/mm] 2.Fall behandelt.
Ergänzende Überlegung: Wie sieht es hier für $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ aus?
$A [mm] \cap [/mm] B$ ist offen als Schnitt ENDLICH vieler offener Mengen, also erhalten wir
hier auch nichts wirklich neues. Das einzige, was hier vielleicht noch
erwähnenswert sein könnte: Man beachte, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf $A [mm] \cap [/mm] B$ (wohl-)definiert
sein muss.

Diese Ergänzung dient aber, wie ich oben andeutete, höchstens zum
*Erweitern des eigenen Verständnisses*.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Sa 13.12.2014
Autor: mathenoob3000

Danke für die ausführliche Antwort, hab es mir gerade angeschaut, so ganz habe ich es noch nicht verstanden. An der Stelle "Its your turn": Hier muss man ja dann noch zeigen dass f nicht nur in einem x aus X stetig ist sondern in allen x. oder? Werde es mir morgen nochmal anschauen.


LG

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Sa 13.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für die ausführliche Antwort, hab es mir gerade
> angeschaut, so ganz habe ich es noch nicht verstanden. An
> der Stelle "Its your turn": Hier muss man ja dann noch
> zeigen dass f nicht nur in einem x aus X stetig ist sondern
> in allen x. oder? Werde es mir morgen nochmal anschauen.

ich sag's jetzt mal anders: Wäre es eine Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] so hättest Du

   $|f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm]

nachzuweisen.

[mm] $\delta$ [/mm] ist aber gerade so gewählt, dass (in obigem Falle) alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit
$|y-x| < [mm] \delta$ [/mm] schon zu [mm] $A\,$ [/mm] gehören (wegen $0 < [mm] \delta \le \delta'$) [/mm] UND zudem

    $|f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon$ [/mm]

erfüllen; letzteres, weil [mm] $f|_A$ [/mm] stetig in $x [mm] \in [/mm] A$ war und $0 < [mm] \delta \le \delta''$ [/mm] ist.

Tatsächlich musst Du also nur diese Zeile: Es gilt

    $|f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm]

dort ein bisschen anders hinschreiben!

P.S. Dass [mm] $f\,$ [/mm] in allen $x [mm] \in [/mm] X$ stetig ist, zeigt man gerne (der Übersicht
wegen) auf dem Wege, wie ich es gemacht habe. Man sagt:
"Wir nehmen uns nun (irgend-)ein $x [mm] \in [/mm] X$ her." (Dieses werde nicht weiter
konkretisiert, es hat halt nur die Eigenschaft, ein Element aus [mm] $X\,$ [/mm] zu sein.)
"Dann gilt für dieses: ...
Jetzt hat man gezeigt, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig in diesem $x [mm] \in [/mm] X$ war. Da aber $x [mm] \in [/mm] X$
beliebig war, folgt das gleiche Ergebnis auch für jedes andere $x [mm] \in X\,.$ [/mm] Also kann
man am Ende sagen: Folglich gilt für alle $x [mm] \in [/mm] X:$ [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig in [mm] $x\,.$ [/mm] Damit
darf man sagen: [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig (auf ganz [mm] $X\,$)." [/mm]

Vielleicht zur Demonstration des Beweisschemas:
Für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $r^2 \ge 0\,.$ [/mm]
Beweis: Sei $r [mm] \in \IR$ [/mm] (beliebig, aber fest). Dann folgt im Falle $r [mm] \ge [/mm] 0$ sowieso [mm] $r^2=r*r \ge 0\,.$ [/mm]
Im Falle $r [mm] \le [/mm] 0$ ist $(-r) [mm] \ge [/mm] 0$ und damit [mm] $r^2=(-r)^2 \ge [/mm] 0$ nach dem zuerst bewiesenen.
Weitere Fälle gibt es für $r [mm] \in \IR$ [/mm] nicht, also ist alles abgehandelt.

Fazit: Da wir für ein beliebiges $r [mm] \in \IR$ [/mm] gezeigt haben, dass [mm] $r^2 \ge [/mm] 0$ gilt,
folgt: Für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $r^2 \ge 0\,.$ [/mm]
(Beachte, dass die *Beliebigkeit* hier nicht meint, dass wir uns eines hernehmen,
an dem wir die Aussage beispielhaft nachrechnen. Wir konretisieren ja eben
nichts(!): $r [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig meint halt nur, dass [mm] $r\,$ [/mm] erstmal nur die Eigenschaft
hat, dass $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt!)

Gruß,
  Marcel

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Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 14.12.2014
Autor: mathenoob3000

So habs mir nochmal angeschaut und versteh es leider immer noch nicht genau. Und zwar diese Zeile:

$ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] X: $ $ [mm] d_X(x,y) [/mm] < [mm] \delta'' [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] d_Y(f(x),f(y)) [/mm] < [mm] \epsilon\,. [/mm] $

Das ist doch genau die Defintion von Stetigkeit und somit steht in der Zeile das f stetig sei, aber genau das soll man ja zeigen?
lg

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 So 14.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> So habs mir nochmal angeschaut und versteh es leider immer
> noch nicht genau. Und zwar diese Zeile:
>  
> [mm]\forall y \in X:[/mm] [mm]d_X(x,y) < \delta''[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]d_Y(f(x),f(y)) < \epsilon\,.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Das ist doch genau die Defintion von Stetigkeit und somit
> steht in der Zeile das f stetig sei, aber genau das soll
> man ja zeigen?

ja, da habe ich gedanklich schon zu weit gedacht. Ich korrigiere es mal, wie
es im ersten Schritt dort stehen müßte:

    $\forall y \in \red{A}}:\;\;d_X(x,y) < \delta'' \Rightarrow d_Y(f(x),f(y)) < \epsilon\,$

Da ist Dein Einwand natürlich berechtigt! [sorry]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 So 14.12.2014
Autor: mathenoob3000

Zu deiner letzter Antwort: In Worten heisst dass doch das f in A stetig ist, und jetzt muss man noch zeigen dass f in X stetig :

[mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] X: [mm] d_X(x,y) \le \delta:=\underbrace{\min\{\delta',\;\delta''\}}_{> 0}: d_y(f(x),f(y)) \le \epsilon$ [/mm]

Kann ich das so schreiben?

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 So 14.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Zu deiner letzter Antwort: In Worten heisst dass doch das f
> in A stetig ist, und jetzt muss man noch zeigen dass f in X

Du meinst in $x [mm] \in [/mm] X$!

>
> stetig :
>  
> [mm]\forall y \in X: d_X(x,y) \le \delta:=\underbrace{\min\{\delta',\;\delta''\}}_{> 0}: d_y(f(x),f(y)) \le \epsilon[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Kann ich das so schreiben?

Ja. Aber ist Dir die Logik klar? Ich schreib's mal nur in Worten:
Weil $A\,$ offen ist, finden wir (bzgl. $(X,d_X)$) eine Umgebung von $x \in A$ so, dass
diese ganz in A liegt (das war $U_{\delta'}(x)$).

Wegen $x \in A$ und $f|_A$ stetig (in x), folgt

    $f(U_{\delta''}(x)) \subseteq U_{\epsilon}(f(x))$

($\epsilon$ und $\delta''$ wie in meiner Antwort).

Wichtig ist jetzt aber, dass die Umgebung $U_{\delta''}(x)$ als Umgebung in $A\,$
be(tr)achtet wird. Sie ist also offen im metrischen Raum $(A,d_{A})$ (mit
$d_A:=\left.d_X\right|_{A \times A}$),
und muss damit noch nicht offen in $X\,$ sein.
(Wir würden besser $U^{(A)}_{\delta''}(X)$ oder sowas schreiben:

    $U_{\delta''}(x)=U^{(A)}_{\delta''}(x)=\{y \in \red{\,A\,}: d_A(x,y) < \delta''\}$!)

Aber

    $U_{\delta}(x):=\{y \in \red{\,X\,}:\;\;d_X(x,y) < \delta\}$
(hier ist $U_{\delta}(x)=U_{\delta}^{(\red{X})}(x)$)

mit $\delta$ wie oben definiert leistet dann das Gewünschte!

P.S. So, wie ich es geschrieben hatte, solltest Du nur aus Deinen $\le$ jeweils ein
$<\,$ machen; mindestens jedenfalls bei dem $d_X(x,y) \red{\,\le\,} \delta$!

P.P.S. Falls da noch Unklarheiten vorherrschen, so habe ich sicher ein wenig
mit zur Verwirrung dahingehend beigetragen. Denn ich hätte vielleicht
direkt zu Anfang besser eine klarere Notation wählen oder das Ganze ein
wenig anders aufschreiben sollen. Also frag' nach, falls Dir noch etwas
unklar ist.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Mo 15.12.2014
Autor: fred97

Aufgabenteil b) wird wesentlich einfacher, wenn man Folgen verwendet:

Sei [mm] x_0 \in [/mm] X und [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in X mit [mm] x_n \to x_0. [/mm] Zu zeigen: [mm] f(x_n) \to f(x_0). [/mm]

Wegen $X = A  [mm] \cup [/mm]  B$ können wir [mm] x_0 \in [/mm] A annehmen (der Beweis für [mm] x_0 \in [/mm] B geht analog).

Wir setzen [mm] $g:=f|_A [/mm] $.

Da A offen ist, gilt [mm] x_n \in [/mm] A für fast alle n. Ohne Einschränkung können wir von [mm] x_n \in [/mm] A für alle n ausgehen.

Dann:

   [mm] f(x_n)=g(x_n) [/mm] für alle n.

Da g in [mm] x_0 [/mm] stetig ist haben wir:

   [mm] f(x_n)=g(x_n) \to g(x_0)=f(x_0) [/mm]

FRED



Bezug
                
Bezug
Stetigkeit eingeschr. Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:27 Mo 15.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> Aufgabenteil b) wird wesentlich einfacher, wenn man Folgen
> verwendet:
>  
> Sei [mm]x_0 \in[/mm] X und [mm](x_n)[/mm] eine Folge in X mit [mm]x_n \to x_0.[/mm] Zu
> zeigen: [mm]f(x_n) \to f(x_0).[/mm]
>  
> Wegen [mm]X = A \cup B[/mm] können wir [mm]x_0 \in[/mm] A annehmen (der
> Beweis für [mm]x_0 \in[/mm] B geht analog).
>  
> Wir setzen [mm]g:=f|_A [/mm].
>  
> Da A offen ist, gilt [mm]x_n \in[/mm] A für fast alle n.

das ist richtig, aber streng genommen sollte man dann auch sagen, wieso
aus der Offenheit von [mm] $A\,$ [/mm] letzteres folgt. Und dann kommt man doch wieder
in die Umgebungsvariante.

Wenn man das allerdings *hinnimmt* oder sich einfach mit einem Bildchen
klarmacht (das Bild sollte man dann zu einem Beweis ausbauen können),
sehe ich es genauso. Allerdings kann man obiges durchaus als *Stolperfalle*
betrachten, ich sage es mal so: Wäre ich Prüfer, würde ich durchaus an
der Stelle nachfragen, wie man

>    Da A offen ist, gilt [mm]x_n \in[/mm] A für fast alle n.

präzise beweisen kann (das kann man, wie gesagt, in einem Sätzchen
abhandeln - eine Skizze zeigt eigentlich schon alles, was man wissen muss).

Gruß,
  Marcel

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