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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit im Nullpunkt
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Stetigkeit im Nullpunkt: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Di 22.04.2014
Autor: Athanasius

Aufgabe
a.)
Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x,y)=\begin{cases} |\bruch{y}{x^{2}}| e^{-|\bruch{y}{x^{2}}|} , & \mbox{für } x\not=0 \\ \mbox 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm]
unstetig in (0,0) ist, jedoch die Einschränkung von f auf jede Gerade G durch den Nullpunkt stetig im Nullpunkt ist.

b.)
Ist f außerhalb des Nullpunktes stetig?

Schönen guten Tag,
ich bin leider etwas am Verzweifeln. Bei a.) probiere ich seit Stunden verschiedene Grenzwerte aufzuzeigen, scheitere aber grandios. Auch beim Ersetzen von y = c x funktioniert nichts. Selbst das Tutorium Analysis 2 liefert keine hilfreichen Tipps. Hoffentlich kann mir hier jemand helfen?

b.) Meiner Meinung nach ja, da ich ja für y [mm] \to [/mm] 0 auch f(x,y) [mm] \to [/mm] 0 erhalte. Ist dies überhaupt ein richtiger Ansatz?

Vielen Dank und liebe Grüße
Athanasius

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit im Nullpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Di 22.04.2014
Autor: fred97


> a.)
> Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
>  [mm]f(x,y)=\begin{cases} |\bruch{y}{x^{2}}| e^{-|\bruch{y}{x^{2}}|} , & \mbox{für } x\not=0 \\ \mbox 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>  
> unstetig in (0,0) ist, jedoch die Einschränkung von f auf
> jede Gerade G durch den Nullpunkt stetig im Nullpunkt ist.
>  
> b.)
>  Ist f außerhalb des Nullpunktes stetig?
>  Schönen guten Tag,
>  ich bin leider etwas am Verzweifeln. Bei a.) probiere ich
> seit Stunden verschiedene Grenzwerte aufzuzeigen, scheitere
> aber grandios.


Berechne mal [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2) [/mm]


> Auch beim Ersetzen von y = c x funktioniert
> nichts. Selbst das Tutorium Analysis 2 liefert keine
> hilfreichen Tipps. Hoffentlich kann mir hier jemand
> helfen?
>  
> b.) Meiner Meinung nach ja, da ich ja für y [mm]\to[/mm] 0 auch
> f(x,y) [mm]\to[/mm] 0 erhalte. Ist dies überhaupt ein richtiger
> Ansatz?

Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist f doch Zusammensetzung stetiger Funktionen

FRED

>  
> Vielen Dank und liebe Grüße
>  Athanasius
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit im Nullpunkt: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Di 22.04.2014
Autor: Athanasius

Danke für die schnelle Antwort.

Für [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2) [/mm] ergibt sich ja [mm] \bruch{1}{e}. [/mm] Damit habe ich ja gezeigt, dass für y [mm] \to [/mm] 0 und y = [mm] x^{2} [/mm] zwei verschiedene Grenzwerte existieren. Ist damit die Unstetigkeit genügend gezeigt?

Ist mit der Einschränkung auf f irgendeine beliebige Gerade gemeint, oder stehe ich hier gerade auf dem Schlauch? Ich würde dann einfach (x,y) gegen (0, [mm] y_{0}) [/mm] für f(x,y) laufen lassen, nur dass ich dann ja "durch 0 teile".

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit im Nullpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Mi 23.04.2014
Autor: fred97


> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Für [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)[/mm] ergibt sich ja
> [mm]\bruch{1}{e}.[/mm] Damit habe ich ja gezeigt, dass für y [mm]\to[/mm] 0
> und y = [mm]x^{2}[/mm] zwei verschiedene Grenzwerte existieren. Ist
> damit die Unstetigkeit genügend gezeigt?

Du solltest schon etwas genauer argumentieren.

Wir haben:

  [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)=\bruch{1}{e}[/mm]

und

  [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y)=0[/mm]

Damit existiert [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,x^2)[/mm]  nicht !

Wäre f in (0,0) stetig, so müsste [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,x^2)[/mm] existieren (und =0 sein).


>
> Ist mit der Einschränkung auf f irgendeine beliebige
> Gerade gemeint,

Du sollst f auf eine Gerade der Form y=mx einschränken.


> oder stehe ich hier gerade auf dem
> Schlauch?


Sieht so aus.

>  Ich würde dann einfach (x,y) gegen (0, [mm]y_{0})[/mm]
> für f(x,y) laufen lassen, nur dass ich dann ja "durch 0
> teile".  

Hä ?

Zu zeigen ist: für jedes m [mm] \in \IR [/mm] ist

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,mx)=0[/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit im Nullpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:10 Mi 23.04.2014
Autor: Athanasius

Ah, jetzt hat es klick gemacht, vielen Dank!

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