Stetigkeit und partielle Diff. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] definiert durch
f(x,y)= [mm] \bruch{x^2+y^3}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
= 0 falls (x,y)=(0,0).
Untersuchen Sie f auf Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit im Punkt (0,0). |
Hallo,
ich habe folgendes:
Beh: f ist partiell differenzierbar im Punkt (0,0), aber nicht stetig im Punkt (0,0).
Bew:
[mm] \partial^x_h= \bruch{1}{h}(f(x+h,0)-f(x,0))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(x+h)^2}{ \wurzel{(x+h)^2}} -\bruch{x^2}{\wurzel{x^2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(x+h)^2}{ x+h} -\bruch{x^2}{x})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}(x+h [/mm] -x)
= [mm] \bruch{1}{h}*h
[/mm]
=1
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^x_h [/mm] = 1
[mm] \partial^y_h= \bruch{1}{h}(f(0,y+h)-f(0,y))
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(y+h)^3}{ \wurzel{(y+h)^2}} -\bruch{y^3}{\wurzel{y^2}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}((y+h)^2 -y^2)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}(y^2+2yh+h^2 -y^2)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{h}(2yh+h^2)
[/mm]
= [mm] \bruch{2yh}{h}+ \bruch{h^2}{h}
[/mm]
=2y+h
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^y_h [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}2y+h=2y.
[/mm]
Die die partiellen Ableitungen [mm] \partial^x_h [/mm] und [mm] \partial^y_h [/mm] mit [mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] existieren, ist f im Punkt (0,0) partiell differenzierbar. Da [mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^x_h \not= \limes_{h\rightarrow0}\partial^y_h [/mm] ist f nicht stetig im Punkt (0,0).
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ob die partiellen Ableitungen in einem Punkt gleich oder ungleich sind hat nichts mit der stetigkeit zu tun! dass die fkt ausser bei 0 stig ist ist ja wohl klar, aber auch in anderen Punkten sind die partiellen ableitungen ja nicht gleich.
Die Stetigkeit musst du schon getrennt untersuchen!
Gruss leduart
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Hallo,
wie findet man dann die Stetigkeit bzw. Nichtstetigkeit heraus? Ich habe etwas von
[mm] lim_{(x,y)->(0.0)}f(x,y)=(0,0) [/mm] gelesen.
Aber wenn ich jetzt [mm] lim_{(x,y)->(0.0)}f(x,y) [/mm] betrachte, ist ja klar, dass mein Ergebnis undef. ist, denn teilen durch 0 ist verboten.
Liebe Grüße
sommer
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Hallo sommer,
> Hallo,
>
> wie findet man dann die Stetigkeit bzw. Nichtstetigkeit
> heraus? Ich habe etwas von
> [mm]lim_{(x,y)->(0.0)}f(x,y)=(0,0)[/mm] gelesen.
>
> Aber wenn ich jetzt [mm]lim_{(x,y)->(0.0)}f(x,y)[/mm] betrachte, ist
> ja klar, dass mein Ergebnis undef. ist, denn teilen durch 0
> ist verboten.
Probier's mal in Polarkoordinaten, setze [mm] $x:=r\cdot{}\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y:=r\cdot{}\sin(\varphi)$, [/mm] wobei $r$ die Länge des Vektors $(x,y)$ ist und [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt.
Dann betrachte [mm] $\lim\limits_{r\downarrow 0} [/mm] ...$
Wenn der unabhängig vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] existiert und $=f(0,0)=0$ ist, hast du gewonnen.
Das erscheint mir hier das einfachste Vorgehen zu sein.
Falls du aber keinen GW erhältst oder einen von [mm] $\varphi$ [/mm] abhängigen und evtl. von 0 verschiedenen, so kannst du dich gem. dem Folgenkriterium auf die Suche nach zwei Folgen [mm] $(x_n,y_n)_n$ [/mm] und [mm] $(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)_n$ [/mm] machen mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=\lim\limits_{n\to\infty}(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)=(0,0)$ [/mm] aber [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n,y_n)\neq [/mm] f(0,0)=0$ oder [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)\neq [/mm] 0$ bzw. [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n,y_n)\neq \lim\limits_{n\to\infty}f(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)$
[/mm]
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Die Folge [mm] (x_n,y_n)=(\bruch{1}{\wurzel{n}},\bruch{1}{\wurzel{n}}) [/mm] ist eine Nullfolge.
Aber es ist [mm] f(x_n,y_n)=
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{\wurzel{n}},\bruch{1}{\wurzel{n}}) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}}} [/mm] =
[mm] \bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{\bruch{2}{n}}} [/mm] =
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{n\wurzel{2}}+\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*\wurzel{2}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] n->\infty [/mm] 0+ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \not= [/mm] 0, ist f in (0,0) nicht stetig.
Liebe Grüße
sommer
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort!
>
> Die Folge
> [mm](x_n,y_n)=(\bruch{1}{\wurzel{n}},\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm] ist
> eine Nullfolge.
jo
> Aber es ist [mm]f(x_n,y_n)=[/mm]
> [mm]f(\bruch{1}{\wurzel{n}},\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da steht doch [mm] $..+y^3$ [/mm] im Zähler, also [mm] $..+\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^3=..+\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{n}}$
[/mm]
Ich komme bei der weitern Rechnung dann auf 0 als GW ..
> =
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{\bruch{2}{n}}}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n\wurzel{2}}+\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*\wurzel{2}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]n->\infty[/mm] 0+ [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \not=[/mm] 0, ist f in (0,0) nicht
> stetig.
Hmm, du hast dich verrechnet!
Ich komme bei der Überprüfung mit den Polarkoordinaten auf den von [mm] $\varphi$ [/mm] unabh. GW 0, also Stetigkeit in $(0,0)$
Was hast du denn heraus?
> Liebe Grüße
> sommer
>
>
Dito
schachuzipus
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Hallo,
kann man die Stetigkeit von f im Punkt (0,0) auch mit Folgen zeigen? Polarkoordinaten hatten wir (in dem Zusammenhang) nicht. Denn wenn ich eine bestimmte Nullfolge [mm] (x_n,y_n) [/mm] nehme und zeige, dass für diese [mm] f(x_n,y_n)=0 [/mm] ist, habe ich die Stetigkeit ja nur am Beispiel für die Folge gezeigt und nicht die Stetigkeit allgemein.
Liebe Grüße
sommer
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> kann man die Stetigkeit von f im Punkt (0,0) auch mit
> Folgen zeigen?
na klar! (Folgenkriterium der Stetigkeit)
> Polarkoordinaten hatten wir (in dem Zusammenhang) nicht. Denn wenn ich eine bestimmte Nullfolge
> [mm](x_n,y_n)[/mm] nehme und zeige, dass für diese [mm]f(x_n,y_n)=0[/mm] ist,
> habe ich die Stetigkeit ja nur am Beispiel für die Folge
> gezeigt und nicht die Stetigkeit allgemein.
eben genau das ist das Problem, du müsstest es für alle Folgen, die gegen (0,0) gehen zeigen
Leider musst du hier Annäherungen an (0,0) aus allen möglichen Richtungen betrachten, etwa auf Geraden, aber auch geschlängelt und wild wuselnd ..
Daher ist es mit Polarkoordis günstiger ...
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ich habe da noch eine Idee:
Bei partiellen Ableitungen, die stetig sind, haben wir gesagt, dass die partiellen Ableitungen als Summe/Produkt... stetiger Funktionen stetig ist.
Ich habe ja:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^x_h [/mm] $ = 1 und $ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^y_h [/mm] $ = $ [mm] \limes_{h\rightarrow0}2y+h=2y. [/mm] $.
Dann könnte ich doch sagen:
1 ist als Konstante stetig und 2y als Produkt stetiger Funktionen stetig.
Liebe Grüße
sommer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist zwar richtig, aber du sollst die Stetigkeit der fkt. und nicht die Stetigkeit der Ableitungsfkt im Punkt 0 zeigen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Unstetigkeit kann man oft leicht mit geeigneten Folgen zeigen, Stetigkeit aber fasst nie.
Schreib eure Definition fuer Stetigkeit in 2d doch mal genau auf.
Da gibt es eine Umgebung von 0!
Und wenn ihr Polarkoordinaten ueberhaupt hattet, dann kannst du jeden Punkt in eine [mm] \epsilon [/mm] Umgebung von 0 mit [mm] (x,y)=(rcos\phi,rsin\phi) [/mm] errichen mit [mm] r\le \epsilon.
[/mm]
Gruss leduart.
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Hallo,
mir fällt da noch etwas ein:
Wenn ich von f(x,y) die Stetigkeit zeigen soll und wir f in der Nähe von (0,0) betrachten, könnte man doch einfach f(x,y) umstellen, wenn man vorher sagt, wir betrachten z.B. |x|<0,5 und |y|<0,5.
Denn dann hätte ich:
[mm] f(x,y)=\bruch{x^2+y^3}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{x^2 + y^2}
[/mm]
Und [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] ist als Hintereinanderausführung stetiger Funktionen stetig.
Liebe Grüße
sommer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja die Idee ist moeglich! allerdings stimmt deine Ungleichung nur fuer y>0 fuer y,0 ist sie falsch, du hast also nur ne halbe Umgebung von 0.aber nicht wegen der Hintereinanderschaltung von stet. fkt, sondern weil ja f(0,0)=0 ist. die Fkt $ [mm] \le \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] $
ist ja fuer (0,0) nicht definiert.
du musst also immer noch zeigen, dass $ [mm] \le \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] $ fuer x,y gegen 0 gegen 0 konvergiert, nur ist das jetzt einfacher, weil du wirklich ne beliebige 0 folge einsetzen kannst.
Aber versuchs trotzdem mal mit den Polarkoordinaten, weil du ja verfahren ueben willst, die sehr oft gut gehen, und nicht fuer jeden Einzelfall endlos ueberlegen willst. Es kommen sicher noch mehr aehnliche aufgaben auf dich zu!
Gruss leduart
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Hallo,
das gleiche kann man dann ja noch mit [mm] -0,5
[mm] \bruch{x^2+y^3}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] lim_{x->0,y->0} \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{\wurzel{0+1}}
[/mm]
= 0/1
=0
Liebe Grüße
sommer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 21.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber man muss es eben machen!
Gruss leduart
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Hallo,
ich möchte das ganze nochmal zusammenfassen:
f ist partiell differenzierbar im Punkt (0,0), da
$ [mm] \partial^x_h= \bruch{1}{h}(f(x+h,0)-f(x,0)) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(x+h)^2}{ \wurzel{(x+h)^2}} -\bruch{x^2}{\wurzel{x^2}}) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(x+h)^2}{ x+h} -\bruch{x^2}{x}) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(x+h [/mm] $ -x)
= $ [mm] \bruch{1}{h}\cdot{}h [/mm] $
=1
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^x_h [/mm] $ = 1
$ [mm] \partial^y_h= \bruch{1}{h}(f(0,y+h)-f(0,y)) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(y+h)^3}{ \wurzel{(y+h)^2}} -\bruch{y^3}{\wurzel{y^2}}) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}((y+h)^2 -y^2) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(y^2+2yh+h^2 -y^2) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(2yh+h^2) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{2yh}{h}+ \bruch{h^2}{h} [/mm] $
=2y+h
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^y_h [/mm] $ = $ [mm] \limes_{h\rightarrow0}2y+h=2y. [/mm] $
f ist stetig im Punkt (0,0), da
für 0,5>y>0:
$ [mm] f(x,y)=\bruch{x^2+y^3}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] $
$ [mm] \le \bruch{x^2+y^2}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] $
= $ [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] $
$ [mm] lim_{x->0,y->0} \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel{0} [/mm] = 0.
und für 0>=y>-0,5:
$ [mm] \bruch{x^2+y^3}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] $
$ [mm] \le \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] $
$ [mm] \le \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
$ [mm] lim_{x->0,y->0} \bruch{x^2}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
= $ [mm] \bruch{0}{\wurzel{0+1}} [/mm] $
= 0/1
=0
Liebe Grüße
sommer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 21.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es aendert an deinen Rechnungen nicht viel aber formal ist das nicht ganz richtig. du berechnest die partiellen Ableitungen auf der Geraden y=0, (bzw. x=0) richtig. aber da die fkt ja in (0,0) so nicht definiert ist, musst du den pkt (0,0) einzeln untersuchen, d.h. (f(h,0)-f(0,0))/h untersuchen.
die partiele Difbkt in allen anderen Punkten ist eh klar!
auch bei der Stetigkeit musst due explizit angeben dass
f(x,y)-f(0,0) fuer genuegend kleine x,y beliebig klein wird.
Du hast nirgends ausdruecklich benutzt, dass f(0,0)=0 definiert ist, denn das andere f ist ja bei (0,0) nicht definiert.
Gruss leduart
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Also muss ich die partielle Differenzierbarkeit so rechnen:
$ [mm] \partial^x_h= \bruch{1}{h}(f(0+h,0)-f(0,0)) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(h)^2}{ \wurzel{(h)^2}} [/mm] -0) $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(h)^2}{ h} [/mm] -0) $
= $ [mm] \bruch{1}{h}\cdot{}h [/mm] $
=1
$ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^x_h [/mm] $ = 1
$ [mm] \partial^y_h= \bruch{1}{h}(f(0,0+h)-f(0,0)) [/mm] $
= $ [mm] \bruch{1}{h}(\bruch{(h)^3}{ \wurzel{(h)^2}} [/mm] -0) $
= $ [mm] \bruch{1}{h}((h)^2 [/mm] -0) $
= h
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\partial^y_h [/mm] $ = $ [mm] \limes_{h\rightarrow0}h=0
[/mm]
Liebe Grüße
sommer
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Hallo,
ja, jetzt ist es richtig.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösen:
f(x,y) = 2x - [mm] \bruch{4y}{x} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le x^{2}
[/mm]
0 sonst
z.z. F(x,y) stetig in (0,0) aber nicht Lipschitz stetig in (0,0) |
Hi zusammen!
Dachte ich poste die Aufgabe sinngemäss gleich mal hier.
Also in der Aufgabe wurde schon angegeben, dass f in (0,0) stetig ist, d.h. ich sollte jetzt die Variante mit den Polarkoordinaten versuchen. Leider ist mir da noch einiges unklar. Also ich setzte [mm] x=r*cos\phi [/mm] und [mm] y=r*sin\phi
[/mm]
Dann betrachte ich [mm] 2r*cos\phi [/mm] - [mm] \bruch{4r*sin\phi}{r*cos\phi} [/mm] und kürze r im Bruch. Dann
[mm] \limes_{r\rightarrow 0} 2r*cos\phi [/mm] - [mm] \bruch{4*sin\phi}{cos\phi} [/mm] = 4* [mm] tan\phi
[/mm]
Das heisst nicht unabhängig von [mm] \phi [/mm] und deswegen nicht stetig? Wo mache ich den Fehler? Wäre sehr dankbar um Hilfe! Auch bezüglich der Lipschitz-Stetigkeit..
Vielen lieben Dank, Ersti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:05 Di 23.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu lösen:
> f(x,y) = 2x - [mm]\bruch{4y}{x}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le x^{2}[/mm]
>
> 0 sonst
klick mal auf den Quelltext, wie ich es schreibe:
$$F(x,y) = [mm] \begin{cases}2x - \bruch{4y}{x}, &\text{für } 0 \le y \le x^{2}\\0, &\text{sonst}\end{cases}\,.
[/mm]
$$
> z.z. F(x,y) stetig in (0,0) aber nicht Lipschitz stetig in
> (0,0)
> Hi zusammen!
> Dachte ich poste die Aufgabe sinngemäss gleich mal hier.
> Also in der Aufgabe wurde schon angegeben, dass f in (0,0)
> stetig ist, d.h. ich sollte jetzt die Variante mit den
> Polarkoordinaten versuchen. Leider ist mir da noch einiges
> unklar. Also ich setzte [mm]x=r*cos\phi[/mm] und [mm]y=r*sin\phi[/mm]
>
> Dann betrachte ich [mm]2r*cos\phi[/mm] -
> [mm]\bruch{4r*sin\phi}{r*cos\phi}[/mm] und kürze r im Bruch. Dann
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0} 2r*cos\phi[/mm] -
> [mm]\bruch{4*sin\phi}{cos\phi}[/mm] = 4* [mm]tan\phi[/mm]
> Das heisst nicht unabhängig von [mm]\phi[/mm] und deswegen nicht
> stetig? Wo mache ich den Fehler? Wäre sehr dankbar um
> Hilfe! Auch bezüglich der Lipschitz-Stetigkeit..
> Vielen lieben Dank, Ersti
ja, das stimmt schon:
Für $x=r [mm] \cos \phi [/mm] $ und $y=r [mm] \sin \phi [/mm] $ gilt [mm] $F(x,y)=2r\cos \phi-4\tan\phi$, [/mm] allerdings gilt das genau für jene $(x,y) [mm] \in \IR^2$, [/mm] für die $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le x^2$ [/mm] gilt. Das solltest Du dazuschreiben. Und damit gilt, wenn $x=r [mm] \cos \phi$ [/mm] und $y= r [mm] \sin \phi$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le x^2$ [/mm] (wobei o.B.d.A. [mm] $\black{r}>0$ [/mm] sei):
[mm] $(\star)$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \sin \phi \le r^2 \cos^2 \phi \gdw [/mm] 0 [mm] \le \sin \phi \le [/mm] r [mm] \cos^2 \phi$.
[/mm]
Wenn nun $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$, so strebt auch $r [mm] \to [/mm] 0$ und damit auch [mm] $\sin \phi \to [/mm] 0$ (wegen [mm] $(\star)$) [/mm] und damit auch [mm] $\tan \phi \to [/mm] 0$.
Die Konsequenz:
Ist [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] eine Folge, die gegen $(0,0)$ strebt (bei $n [mm] \to \infty$), [/mm] so gilt folgendes, wenn wir o.B.d.A. [mm] $r_n [/mm] > 0$ und [mm] $x_n=r_n \cos \phi_n$ [/mm] und [mm] $y_n=r_n \sin \phi_n$ [/mm] setzen und im Folgenden $r [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $r_n \to [/mm] 0$, sowie [mm] $\phi \to [/mm] 0$ für [mm] $\phi_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] schreiben:
(Vorüberlegung:
1. Fall:
Falls alle [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] nicht $0 [mm] \le y_n \le x_n^2$ [/mm] erfüllen, so ist [mm] $F(x_n,y_n)=0 \to [/mm] 0$.
2. Fall:
Falls alle [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] erfüllen, dass $0 [mm] \le y_n \le x_n^2$, [/mm] so gilt
[mm] $F(x_n,y_n)=2r \cos \phi-4 \tan \phi$, [/mm] und hierbei gilt, weil [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$, zum einen $r [mm] \to [/mm] 0$ und zum anderen (wie oben gesehen) [mm] $\tan \phi \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,$, [/mm] und damit also:
[mm] $F(x_n,y_n) \to 0\,$. [/mm] Ende der Vorüberlegung.)
Wir setzen [mm] $A_1:=\{n \in \IN: 0 \le x_n \le y_n^2\}$ [/mm] und [mm] $A_2:=\IN \setminus A_1$. [/mm] Dann gilt, sofern [mm] $A_1$ [/mm] unendlich viele Elemente hat:
[mm] $$\lim_{\stackrel{n \to \infty}{n \in A_1}}F(x_n,y_n)=0$$ [/mm] wegen des 2. Falles, und, sofern [mm] $A_2$ [/mm] unendlich viele Elemente hat:
[mm] $$\lim_{\stackrel{n \to \infty}{n \in A_2}}F(x_n,y_n)=0$$ [/mm] wegen des 1. Falles.
Das liefert [mm] $\lim_{n \to \infty}F(x_n,y_n)=0\,.$ [/mm] (Warum? Strenggenommen müßtest Du Fallunterscheidungen treffen:
1. Fall: Sei [mm] $A_1$ [/mm] endlich. Dann ist [mm] $A_2$ [/mm] eine unendliche Menge...
2. Fall, a): Seien [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] unendliche Mengen...
2. Fall, b): Seien [mm] $A_1$ [/mm] eine unendliche und [mm] $A_2$ [/mm] eine endliche Menge...)
Also ist $F$ stetig in $(0,0)$. Um jetzt über Lipschitzstetigkeit nachzudenken, ist es mir, ehrlich gesagt, zu spät. Aber Du kannst ja schon mal nachgucken, welche Aussagen ihr zur Lipschitzstetigkeit habt und ob hier vll. die Voraussetzungen einer der Aussagen erfüllt ist. Andernfalls musst Du halt per Definitionem arbeiten, was mühevoll werden kann.
P.S.:
Wie habt ihr genau "Lipschitzstetig in einem Punkt" definiert? Ich kenne den Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Lipschitzstetigkeit auf einer Menge oder den der lokalen Lipschitzstetigkeit, und vielleicht meint ihr, wenn ihr von Lipschitzstetigkeit im Punkte [mm] $x^{(0)}$ [/mm] sprecht, dass es eine [mm] $x^{(0)}$-enthaltende [/mm] Umgebung gibt, auf der die Funktion lokal Lipschitzstetig ist?
Gruß,
Marcel
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Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort!!
Ich habe die Aufgabe in der Zwischenzeit schon eingereicht und wie es oft ist, meinte der Übungsleiter in der Übungsstunde: die Stetigkeit zu beweisen wäre zu trivial, darauf geht er nicht ein.. :/
Also ist es wiklich toll, dass du so detailliert darauf eingegangen bist.
Ich wünsche noch einen schönen Samstag.
p.s. die nicht vorhandene Lipschitz-Stetigkeit konnte ich noch beweisen. =)
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