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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit von Funktionen
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Stetigkeit von Funktionen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Di 25.04.2017
Autor: Kopfvilla

Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x-6, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 2} \\ a^{2}-ax^{2}+2, & \mbox{für } x \mbox{ echt größer 2} \end{cases} [/mm]

Untersuchen Sie, für welche a ∈ ℝ die Funktion stetig ist.

Stetigkeit heißt ja soviel wie dass die Funktion durchgängig ist (Umgangssprachlich) folglich habe ich mir erst gedacht dass

f(2)= 2x-6 = -2

Da die Funktion ab x > 2 durch die Funktion [mm] a^{2}-ax^{2}+2 [/mm] beschrieben werden soll habe ich mir gedacht dass ich den Punkt (2,-2) in [mm] a^{2}-ax^{2}+2 [/mm] einsetzen muss.

[mm] a^{2}-ax^{2}+2=-2 [/mm] |
[mm] a^{2}-ax^{2}=0 [/mm]

Wie komme ich jetzt weiter?
Gibt es einen schnelleren Weg?
Würde mich über eine Antwort freuen!:)

Gruß Kopfvilla

        
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Bitte um Korrekturlesung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Mi 26.04.2017
Autor: X3nion

Hi Kopfvilla und Hallo an euch Community!

Ich traue mir eine Antwort zu, bitte aber um Korrekturlesung und setze den Status somit auf teilweise beantwortet :-)



>  Stetigkeit heißt ja soviel wie dass die Funktion
> durchgängig ist (Umgangssprachlich)

Ja das ist Art und Weise, wie die Stetigkeit auch oft in der Schule gelehrt wird (salopp gesagt: wenn ich eine Funktion mit dem Bleistift durchzeichnen kann, dann ist sie stetig).

Mathematisch lautet die Definition der Stetigkeit:

Sei f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion und a [mm] \in [/mm] D ein Berührpunkt von D. Die Funktion f ist stetig im Punkt a genau dann wenn

[mm] \lim_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a),

also wenn für jede Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN}, x_{n} \in [/mm] D mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a gilt:

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(a)


Schreiten wir zur Aufgabe:

> Aufgabe

[mm] f(x)=\begin{cases} 2x-6, \mbox{für } x \le 2 \\ a^{2}-ax^{2}+2, & \mbox{für } x > 2 \end{cases} [/mm]

> Untersuchen Sie, für welche a ∈ ℝ die Funktion stetig ist.


Es sollte dir bekannt sein, dass ganzrationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind.

Folglich ist f(x) auf jeden Fall für x [mm] \in ]\infty, [/mm] 2[ und x [mm] \in [/mm] ]2, [mm] \infty[ [/mm] stetig.
Kritisch ist der Punkt x = 2, da die Fallunterscheidung auf diesen Punkt trifft und mögliche Sprünge entstehen können.




> f(2)= 2x-6 = -2
>  
> Da die Funktion ab x > 2 durch die Funktion [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm]
> beschrieben werden soll habe ich mir gedacht dass ich den
> Punkt (2,-2) in [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm] einsetzen muss.
>  
> [mm]a^{2}-ax^{2}+2=-2[/mm] |
>  [mm]a^{2}-ax^{2}=0[/mm]


Vorsicht! Es ist [mm] a^{2}-ax^{2}+2=-2 [/mm] <=> [mm] a^{2}-ax^{2} [/mm] = -4

> Wie komme ich jetzt weiter?
> Gibt es einen schnelleren Weg?


Es gilt offensichtlich, dass für jede beliebige Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n} \le [/mm] 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2 gilt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = -2. Dies folgt aus der Stetigkeit der Funktion g(x) = 2x-6, denn diese ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, insbesondere also für x [mm] \in ]\infty, [/mm] 2].

Bleibt zu zeigen, dass für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] > 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2 gilt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = 2

Die Funktion h(x) = [mm] a^{2} [/mm] - [mm] ax^{2} [/mm] + 2 ist eine ganzrationale Funktion und somit ebenfalls auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, insbesondere also auch für x [mm] \in [/mm] ]2, [mm] \infty[. [/mm]
Also gilt für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] > 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h_{a}(x_{n}) [/mm] = c

Für die insgesamte Stetigkeit von f(x) benötigen wir [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h(x_{n}) [/mm] = -2.

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h(x_{n}) [/mm] = -2 <=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a^{2}-ax_{n}^{2}+2=-2 [/mm] <=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a^{2}-ax_{n}^{2} [/mm] = -4 <=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] a(a - [mm] x_{n}^{2}) [/mm] = -4

Da nun [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] a(a - [mm] x_{n}^{2}) [/mm] = [mm] a(a-2^{2}) [/mm] wegen [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2, folgt:

a(a-4) = -4 <=> [mm] a^{2} [/mm] - 4a = -4 <=> [mm] a^{2} [/mm] - 4a + 4 = 0 <=> a = 2.


Für a = 2 gilt also:

[mm] h_{2}(x) [/mm] = 4 - [mm] 4x^{2} [/mm] + 2

und es gilt offensichtlich für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] > 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2:

[mm] h_{2}(x_{n}) [/mm] = -2.

Damit ist f(x) für a = 2 stetig.



> Würde mich über eine Antwort freuen!:)
>  
> Gruß Kopfvilla


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:47 Mi 26.04.2017
Autor: Kopfvilla

Vielen Dank X3nion für deine sehr ausführliche Antwort, kann man sehr gut nachvollziehen!:)
In deiner Antwort ist ein kleiner Flüchtigkeitsfehler
a=2 würde die Funktion
$ [mm] h_{2}(x) [/mm] $ = 4 - $ [mm] 2x^{2} [/mm] $ + 2
lauten.

Viele Grüße Kopfvilla





Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Mi 26.04.2017
Autor: X3nion

Hi Kopfvilla,

> Vielen Dank X3nion für deine sehr ausführliche Antwort,
> kann man sehr gut nachvollziehen!:)
>  In deiner Antwort ist ein kleiner Flüchtigkeitsfehler
>  a=2 würde die Funktion
>  [mm]h_{2}(x)[/mm] = 4 - [mm]2x^{2}[/mm] + 2
>  lauten.

ups ja klar, Danke für deine Aufmerksamkeit :-)

> Viele Grüße Kopfvilla

Viele Grüße,
X3nion


Bezug
        
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:47 Mi 26.04.2017
Autor: angela.h.b.


> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-6, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 2} \\ a^{2}-ax^{2}+2, & \mbox{für } x \mbox{ echt größer 2} \end{cases}[/mm]
>  
> Untersuchen Sie, für welche a ∈ ℝ die Funktion stetig
> ist.

Hallo,

da die beiden Teilfunktionen stetig sind für alle a, ist die Funktion f auf jeden Fall stetig über den Intervallen [mm] ]-\infty,2[ [/mm] und ]2,infty[.

Fraglich ist die Stetigkeit an der "Nahtstelle" x=2.

>  Stetigkeit heißt ja soviel wie dass die Funktion
> durchgängig ist (Umgangssprachlich) folglich habe ich mir
> erst gedacht dass
>  
> f(2)= 2x-6 = -2
>  
> Da die Funktion ab x > 2 durch die Funktion [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm]
> beschrieben werden soll habe ich mir gedacht dass ich den
> Punkt (2,-2) in [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm] einsetzen muss.

Du bist auf dem goldrichtigen Weg!
An der Nahtstelle müssen die beiden Funktionszweige zusammenpassen.
Du mußt es so einrichten, daß [mm] \lim_{x\to 2}(a^{2}-ax^{2}+2)=-2. [/mm]

Wenn Du den Punkt [mm] (\red{2}|\blue{-2}) [/mm] einsetzt, mußt Du aber auch [mm] x=\red{2} [/mm] in die Funktionsgleichung einsetzen.
Das ast Du aus irgendeinem Grund vergessen und bist daher nicht weitergekommen.

Richtig eingesetzt hast Du
[mm] a^2-a*\red{2}^2+2=\blue{-2} [/mm]
<==>
[mm] a^2-4a+4=0. [/mm]

Das ist eine quadratische Gleichung, die Du nun lösen kannst: a=2.

LG Angela




>  
> [mm]a^{2}-ax^{2}+2=-2[/mm] |
>  [mm]a^{2}-ax^{2}=0[/mm]
>  
> Wie komme ich jetzt weiter?
> Gibt es einen schnelleren Weg?
> Würde mich über eine Antwort freuen!:)
>  
> Gruß Kopfvilla


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 Mi 26.04.2017
Autor: Kopfvilla

Vielen Dank für die Antwort hat mir geholfen!:)

LG Kopfvilla

Bezug
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