Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} 2x-6, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 2} \\ a^{2}-ax^{2}+2, & \mbox{für } x \mbox{ echt größer 2} \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie, für welche a ∈ ℝ die Funktion stetig ist. |
Stetigkeit heißt ja soviel wie dass die Funktion durchgängig ist (Umgangssprachlich) folglich habe ich mir erst gedacht dass
f(2)= 2x-6 = -2
Da die Funktion ab x > 2 durch die Funktion [mm] a^{2}-ax^{2}+2 [/mm] beschrieben werden soll habe ich mir gedacht dass ich den Punkt (2,-2) in [mm] a^{2}-ax^{2}+2 [/mm] einsetzen muss.
[mm] a^{2}-ax^{2}+2=-2 [/mm] |
[mm] a^{2}-ax^{2}=0
[/mm]
Wie komme ich jetzt weiter?
Gibt es einen schnelleren Weg?
Würde mich über eine Antwort freuen!:)
Gruß Kopfvilla
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 26.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi Kopfvilla und Hallo an euch Community!
Ich traue mir eine Antwort zu, bitte aber um Korrekturlesung und setze den Status somit auf teilweise beantwortet 
> Stetigkeit heißt ja soviel wie dass die Funktion
> durchgängig ist (Umgangssprachlich)
Ja das ist Art und Weise, wie die Stetigkeit auch oft in der Schule gelehrt wird (salopp gesagt: wenn ich eine Funktion mit dem Bleistift durchzeichnen kann, dann ist sie stetig).
Mathematisch lautet die Definition der Stetigkeit:
Sei f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion und a [mm] \in [/mm] D ein Berührpunkt von D. Die Funktion f ist stetig im Punkt a genau dann wenn
[mm] \lim_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) = f(a),
also wenn für jede Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN}, x_{n} \in [/mm] D mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a gilt:
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(a)
Schreiten wir zur Aufgabe:
> Aufgabe
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x-6, \mbox{für } x \le 2 \\ a^{2}-ax^{2}+2, & \mbox{für } x > 2 \end{cases} [/mm]
> Untersuchen Sie, für welche a ∈ ℝ die Funktion stetig ist.
Es sollte dir bekannt sein, dass ganzrationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind.
Folglich ist f(x) auf jeden Fall für x [mm] \in ]\infty, [/mm] 2[ und x [mm] \in [/mm] ]2, [mm] \infty[ [/mm] stetig.
Kritisch ist der Punkt x = 2, da die Fallunterscheidung auf diesen Punkt trifft und mögliche Sprünge entstehen können.
> f(2)= 2x-6 = -2
>
> Da die Funktion ab x > 2 durch die Funktion [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm]
> beschrieben werden soll habe ich mir gedacht dass ich den
> Punkt (2,-2) in [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm] einsetzen muss.
>
> [mm]a^{2}-ax^{2}+2=-2[/mm] |
> [mm]a^{2}-ax^{2}=0[/mm]
Vorsicht! Es ist [mm] a^{2}-ax^{2}+2=-2 [/mm] <=> [mm] a^{2}-ax^{2} [/mm] = -4
> Wie komme ich jetzt weiter?
> Gibt es einen schnelleren Weg?
Es gilt offensichtlich, dass für jede beliebige Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n} \le [/mm] 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2 gilt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = -2. Dies folgt aus der Stetigkeit der Funktion g(x) = 2x-6, denn diese ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, insbesondere also für x [mm] \in ]\infty, [/mm] 2].
Bleibt zu zeigen, dass für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] > 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2 gilt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = 2
Die Funktion h(x) = [mm] a^{2} [/mm] - [mm] ax^{2} [/mm] + 2 ist eine ganzrationale Funktion und somit ebenfalls auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, insbesondere also auch für x [mm] \in [/mm] ]2, [mm] \infty[.
[/mm]
Also gilt für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] > 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h_{a}(x_{n}) [/mm] = c
Für die insgesamte Stetigkeit von f(x) benötigen wir [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h(x_{n}) [/mm] = -2.
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} h(x_{n}) [/mm] = -2 <=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a^{2}-ax_{n}^{2}+2=-2 [/mm] <=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a^{2}-ax_{n}^{2} [/mm] = -4 <=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] a(a - [mm] x_{n}^{2}) [/mm] = -4
Da nun [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] a(a - [mm] x_{n}^{2}) [/mm] = [mm] a(a-2^{2}) [/mm] wegen [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2, folgt:
a(a-4) = -4 <=> [mm] a^{2} [/mm] - 4a = -4 <=> [mm] a^{2} [/mm] - 4a + 4 = 0 <=> a = 2.
Für a = 2 gilt also:
[mm] h_{2}(x) [/mm] = 4 - [mm] 4x^{2} [/mm] + 2
und es gilt offensichtlich für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] > 2 und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 2:
[mm] h_{2}(x_{n}) [/mm] = -2.
Damit ist f(x) für a = 2 stetig.
> Würde mich über eine Antwort freuen!:)
>
> Gruß Kopfvilla
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 Mi 26.04.2017 | | Autor: | Kopfvilla |
Vielen Dank X3nion für deine sehr ausführliche Antwort, kann man sehr gut nachvollziehen!:)
In deiner Antwort ist ein kleiner Flüchtigkeitsfehler
a=2 würde die Funktion
$ [mm] h_{2}(x) [/mm] $ = 4 - $ [mm] 2x^{2} [/mm] $ + 2
lauten.
Viele Grüße Kopfvilla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mi 26.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi Kopfvilla,
> Vielen Dank X3nion für deine sehr ausführliche Antwort,
> kann man sehr gut nachvollziehen!:)
> In deiner Antwort ist ein kleiner Flüchtigkeitsfehler
> a=2 würde die Funktion
> [mm]h_{2}(x)[/mm] = 4 - [mm]2x^{2}[/mm] + 2
> lauten.
ups ja klar, Danke für deine Aufmerksamkeit
> Viele Grüße Kopfvilla
Viele Grüße,
X3nion
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-6, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 2} \\ a^{2}-ax^{2}+2, & \mbox{für } x \mbox{ echt größer 2} \end{cases}[/mm]
>
> Untersuchen Sie, für welche a ∈ ℝ die Funktion stetig
> ist.
Hallo,
da die beiden Teilfunktionen stetig sind für alle a, ist die Funktion f auf jeden Fall stetig über den Intervallen [mm] ]-\infty,2[ [/mm] und ]2,infty[.
Fraglich ist die Stetigkeit an der "Nahtstelle" x=2.
> Stetigkeit heißt ja soviel wie dass die Funktion
> durchgängig ist (Umgangssprachlich) folglich habe ich mir
> erst gedacht dass
>
> f(2)= 2x-6 = -2
>
> Da die Funktion ab x > 2 durch die Funktion [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm]
> beschrieben werden soll habe ich mir gedacht dass ich den
> Punkt (2,-2) in [mm]a^{2}-ax^{2}+2[/mm] einsetzen muss.
Du bist auf dem goldrichtigen Weg!
An der Nahtstelle müssen die beiden Funktionszweige zusammenpassen.
Du mußt es so einrichten, daß [mm] \lim_{x\to 2}(a^{2}-ax^{2}+2)=-2.
[/mm]
Wenn Du den Punkt [mm] (\red{2}|\blue{-2}) [/mm] einsetzt, mußt Du aber auch [mm] x=\red{2} [/mm] in die Funktionsgleichung einsetzen.
Das ast Du aus irgendeinem Grund vergessen und bist daher nicht weitergekommen.
Richtig eingesetzt hast Du
[mm] a^2-a*\red{2}^2+2=\blue{-2}
[/mm]
<==>
[mm] a^2-4a+4=0.
[/mm]
Das ist eine quadratische Gleichung, die Du nun lösen kannst: a=2.
LG Angela
>
> [mm]a^{2}-ax^{2}+2=-2[/mm] |
> [mm]a^{2}-ax^{2}=0[/mm]
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> Wie komme ich jetzt weiter?
> Gibt es einen schnelleren Weg?
> Würde mich über eine Antwort freuen!:)
>
> Gruß Kopfvilla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mi 26.04.2017 | | Autor: | Kopfvilla |
Vielen Dank für die Antwort hat mir geholfen!:)
LG Kopfvilla
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