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Stetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mo 28.07.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
[mm] f(x)=sin(2*arctan(\bruch{1}{x}) [/mm]


a) Stetigkeit zeigen

b) Differenzierbarkeit zeigen

c) f(x) ableiten


[mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} sin(2*arctan(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} sin(2*\bruch{\pi}{2})=0 [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} sin(2*arctan(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} sin(2*\bruch{-\pi}{2})=0 [/mm]


wieso lasse ich die funktion gegen [mm] 0^{+} [/mm] und [mm] 0^{-} [/mm] laufen? weil f(x) bei 0 eine definitionslücke hat?

Wie genau zeigt man allgemein, dass eine funktion stetig ist?

gegeben ist eine Gerade g: x+2. eine gerade ist stetig, aber wie zeige ich das? auch mit den grenzwerten? wie?



        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mo 28.07.2014
Autor: Leopold_Gast

Zu einer Funktion gehört auf jeden Fall der Definitionsbereich. Wo hast du den gelassen? Insbesondere ist, wenn Terme nicht überall definiert sind, zu klären, ob es an der "verbotenen Stelle" einen Funktionswert geben soll und wie er lautet oder gegebenenfalls konstruiert werden soll.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mo 28.07.2014
Autor: arbeitsamt

den definitionsbereich muss ich selber bestimmen. der wäre  wohl

x [mm] \in \IR, x\not=0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mo 28.07.2014
Autor: Marcel

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

> $ f(x)=sin(2\cdot{}arctan(\bruch{1}{x}) $


> a) Stetigkeit zeigen

> b) Differenzierbarkeit zeigen

> c) f(x) ableiten

aus welchem Bereich kommt diese Aufgabe? Sie ist nämlich, und darauf
hat Leduart schon hingewiesen, nicht besonders geschickt gestellt. Man
müsste eigentlich sogar sagen, man sollte die Aufgabe in dieser
Formulierung einfach dem Aufgabensteller zurückgeben.

Nun gut, machen wir was sinnvolles draus: Alleine, wenn man sich die
funktionsbeschreibenden Terme anguckt, ist erkennbar, dass hier der
maximale Definitionsbereich der Funktion (soweit ich das sehe, darf man
hier von DEM sprechen)

    $D:=\IR \setminus \{0\}$

ist. Es ist absolut klar, dass "obige Funktion" als Funktion $D \to \IR$ stetig und
differenzierbar ist - es reicht, letzteres zu begründen, da Diff'barkeit die
Stetigkeit nach sich zieht. Die erwähnte Diff'barkeit folgt aber wegen
bekannten Sätzen der Differentialrechnung: Kettenregel, Produktregel, ...

Insofern darfst Du

    $\left.f\right|_D\,'$

sofort hinschreiben.

Strittig ist, was an der Stelle $x_0=0$ passiert. Da Differenzierbarkeit
Stetigkeit nach sich zieht, fragen wir uns zuerst, ob $f\,$ in $0\,$ stetig ergänzt
werden kann. (Ist dem nicht so, so kann $f\,$ dort erst recht nicht differenzierbar
ergänzt werden!)
Die von Dir gezeigte Rechnung - welche übrigens insbesondere die
Stetigkeit der Sinusfunktion benutzt - zeigt, dass man die Stetigkeit von
$f\,$ in $x_0=0$ durch

    $f(0):=0\,$

erreichen kann.

Es bleibt nun die Frage, ob die Funktion

    $f \colon \IR \to \IR$ mit

    $f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x =0 \\ \sin(2\cdot{}\arctan(\tfrac{1}{x})), & \mbox{für } x \not=0 \end{cases}$

(diese in $0\,$ stetig ergänzte Funktion nenne ich, entgegen dem, was man
vielleicht besser tun sollte, auch $f\,$ - das ist halt gängig!) nun auch
differenzierbar in $x_0=0$ ist.

Dort kannst Du nun rein per Definitionem arbeiten:
Erhalten wir für $x \not=0$ bei

    $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{\sin(2\cdot{}\arctan(\tfrac{1}{x}))}{x}$

einen Grenzwert, wenn wir $x \to 0$ laufen lassen?

Dort liegt dann aber ein "Fall $0/0\,$" vor, wir fragen de l'Hôpital, und der
sagt uns:
Betrachte

    $\frac{\cos(2*\arctan(1/x))*2*\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}*\frac{-1}{x^2}}{1}$ (uihhhh... haben wir den Zähler nicht vielleicht schonmal gesehen?
    Du solltest ihn gesehen haben, wenn Du oben das hingeschrieben hast,
    worauf ich Dich an der Stelle hinweise!)

für $x \to 0$ nach seinem Blick auf die Kettenregelglaskugel.

Tipp für Dich: Lass Dir mal

    "$f(x)=\sin(2\cdot{}\arctan(\tfrac{1}{x}))$"

und dann auch

    $g(x)=2*x\,$

plotten.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:57 Di 29.07.2014
Autor: arbeitsamt

hallo Marcel,

[mm] f(x)=sin(2*arctan(\bruch{1}{x}) [/mm]

um zu zeigen, dass f(x) stetig ist, schaue ich mir den definitionsbereich an. dieser ist [mm] D=\IR [/mm] \ {0}. Die Definitionslücke ist x=0.
Um zu zeigen, dass f(x) stetig ist, zeige ich dass die Definitionslücke "gefüllt" wird bzw. es einen funktionswert für x=0 gibt.
Das mache ich mit

[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow0^-}f(x) [/mm]

wenn [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x)=\limes_{x\rightarrow0^-}f(x) [/mm] gilt, dann ist die funktions stetig

eine andere Möglichkeit wäre zu zeigen, dass die Funktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist

habe ich das so richtig verstanden?

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:57 Di 29.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> hallo Marcel,
>  
> [mm]f(x)=sin(2*arctan(\bruch{1}{x})[/mm]
>  
> um zu zeigen, dass f(x) stetig ist, schaue ich mir den
> definitionsbereich an. dieser ist [mm]D=\IR[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

\ {0}. Die

> Definitionslücke ist x=0.
>  Um zu zeigen, dass f(x) stetig ist, zeige ich dass die
> Definitionslücke "gefüllt" wird bzw. es einen
> funktionswert für x=0 gibt.

die obige Funktion ist - auch schon als Verkettung stetiger Funktionen - auf
obigem Bereich stetig. Sie ist stetig in allen $x \not=0\,.$ Eine Definitionslücke
hat nichts mit dem Begriff der Stetigkeit per Definitionem zu tun - die Frage
ist, ob man obige Funktion so an der Definitionslücke durch Definition eines
Funktionswertes an dieser Stelle stetig ergänzen kann.

Ich formuliere das mal präzise, was hier so lasch in den Raum geworfen
wird (das ist nicht Deine Schuld):
Obige Funktion sollte wohl als Funktion

    $f \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ mit $f(x):=\sin(2*\arctan(\tfrac{1}{x}))$

verstanden werden. Das, was hier in der Aufgabenstellung als "Ist die
Funktion stetig?" formuliert wird, beinhaltet aber mehr als das, was die
Frage selbst hergibt (es ist immer schlecht, wenn ein Dozent das nicht
selbst merkt oder weiß). Eigentlich will der hier wissen:
Kann man eine Funktion

    $g \colon \IR \to \IR$ mit $\left.g\right|_{\IR \setminus \{0\}}=f$

so finden, dass $g\,$ stetig ist? Gleiches gilt übrigens für die Frage, "ob
Dein $f(x)\,$ differenzierbar ist". Auch dort will man "ist $f\,$ so ergänzbar
in $0\,,$ dass die ergänzte Funktion auch dort differenzierbar ist", wissen.

>  Das mache ich mit
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}f(x)[/mm]
>  
> wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}f(x)=\limes_{x\rightarrow0^-}f(x)[/mm]
> gilt, dann ist die funktions stetig

Dann ist die Funktion an der Stelle 0 stetig ergänzbar. Mit anderen Worten:
Wir haben ein [mm] $g\,$ [/mm] wie oben dann gefunden, wenn wir

    [mm] $g(0):=0\,$ [/mm] und [mm] $g(x):=f(x)\,$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm]

setzen.

> eine andere Möglichkeit wäre zu zeigen, dass die Funktion
> an der Stelle x=0 differenzierbar ist

Nein, das ist der andere Teil der Frage. Wenn Du eine Funktion an einer
Stelle stetig ergänzt, muss sie dann an dieser Stelle noch lange nicht
differenzierbar sein. Aber überall, wo sie differenzierbar ist, ist sie
insbesondere stetig. Ich habe Dir aber einen Hinweis gegeben, wie Du
Dir klarmachen kannst, warum die Funktion dann an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] sogar
differenzierbar ergänzt wird. Mit anderen Worten:
[mm] $g\,$ [/mm] ist nicht nur stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] und differenzierbar auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] - [mm] $g\,$ [/mm] ist
sogar zudem differenzierbar in [mm] $0\,;$ [/mm] d.h. [mm] $g\,'(0)$ [/mm] existiert (und hat den Wert
[mm] $2\,$ [/mm] - rechne es nach und plotte Dir auch mal das, was ich sagte).
  

> habe ich das so richtig verstanden?

Das ist schwer zu sagen, weil ihr anscheinend die Begriffe nicht so lernt,
wie sie in der Literatur gängig sind.

Lass' mich raten: Du hast auch schon mal den Unsinn gehört, dass die
Funktion

    $h [mm] \colon \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] mit $h(x):=1/x$ für $x [mm] \not=0$ [/mm]

an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nicht stetig sei?

Das ist Quatsch: Es macht überhaupt keinen Sinn, zu sagen, dass sie dort
stetig oder nicht stetig sei:

    []Definition 10.2

Es ist [mm] $x_0:=0 \notin M=\IR \setminus \{0\}\,.$ [/mm]

Jetzt denkt man vielleicht: "Aber das ist doch nur so ne kleine *Lücke* im
Definitionsbereich. Sowas sollte man doch auffüllen können - also es sollte
doch irgendwie sinnvoll sein, auch an dieser Stelle von Stetigkeiit zu
sprechen."

Per Definitionem erst mal nicht, denn ich untersuche ja auch obiges [mm] $h\,$ [/mm] nicht
an Stellen aus [mm] $\IC \setminus \IR$ [/mm] auf Stetigkeit - da wüßte ich auch gar nicht, was
ich da sollte. (Es steht außer Frage, dass man [mm] $1/z\,$ [/mm] auch für $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm]
hinschreiben kann - aber [mm] $h\,$ [/mm] hat ja nur reelle Argumente!)

Der Gedanke mit der "Lückenauffüllbarkeit" ist eher der Gedanke, ob die
Funktion nicht vielleicht doch stetig ergänzbar dort wäre. Die Funktion [mm] $h\,$ [/mm]
ist dies nicht.

Zu dem Begriff (man sagt auch stetig fortsetzbar, stetig hebbar an der
Stelle ..., ...):

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Definitionsl%C3%BCcke#Stetig_hebbare_Definitionsl.C3.BCcke

Wie gesagt: Der Aufgabensteller stellt eigentlich nicht wirklich die Fragen
so, wie er sie beantwortet haben will. Eventuell weiß er es selbst nicht
besser...

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mo 28.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> gegeben ist eine Gerade g: x+2. eine gerade ist stetig,
> aber wie zeige ich das? auch mit den grenzwerten? wie?

das ist doch trivial. Dabei interessiert mich noch nicht mal wirklich der
Definitionsbereich. Ich mach's mal allgemein:

Sei $D [mm] \subseteq \IR$ [/mm] und sei [mm] $g(x):=m*x+n\,$ [/mm] mit festen Werten $m,n [mm] \in \IR\,.$ [/mm]

[mm] $g\,$ [/mm] ist stetig (auf [mm] $D\,$), [/mm] denn:
(Ich mach' mir sogar das Leben schwerer als nötig:)

Sei [mm] $x_0 \in [/mm] D$ und sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]

1. Fall: Ist [mm] $m=0\,,$ [/mm] so ist eh nichts wirklich zu zeigen, da ...?

2. Fall: Ist $m [mm] \not=0\,,$ [/mm] so setze etwa

    [mm] $\delta:=\frac{1}{|m|}*\epsilon\,$ [/mm] $> [mm] \,$ $0\,.$ [/mm]

Für alle $t [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|t-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt

    [mm] $|g(t)-g(x_0)|=...=|m|*|t-x_0| [/mm] < [mm] |m|*\delta=...$? [/mm]

Mit ein bisschen Hingucken sieht man hier sogar, dass man genauso die
glm. Stetigkeit beweisen kann - immerhin hat die Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] aber auch
rein gar nichts mit [mm] $x_0$ [/mm] zu tun.

Am einfachsten - wie ich finde - geht es übrigens über Folgen. Wer mit
konvergenten Folgen zu rechnen weiß, der handelt das als Einzeiler ab:
Falls [mm] $(x_k)_k$ [/mm] Folge in [mm] $D\,$ [/mm] mit [mm] $x_k \to x_0$ [/mm] ist, dann folgt [mm] $g(x_k)=m*x_k+n \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} m*x_0+n=g(x_0)\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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