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Stetigkeit zeigen: Epsilon-Delta
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:34 Mi 29.02.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
[mm] $\mathbb R\to\mathbb [/mm] R$,

[mm] $x\mapsto\begin{cases}x\sin\frac{1}{x} & \text{falls}~x\neq 0\\ 0 & \text{falls}~x=0 \end{cases}$ [/mm]

Zeigen Sie mittels des Epsilon-Delta-Kriteriums für Stetigkeit, daß diese Funktion in jedem [mm] $x\in \mathbb [/mm] R$ stetig ist.




Hallo, ich tu' mich mal wieder schwer beim Nachweis der Stetigkeit.

Ich muss zeigen, daß es für jedes [mm] $x_0\in\mathbb [/mm] R$ und für jedes [mm] $\varepsilon~>~0$ [/mm] ein [mm] $\delta(\varepsilon,x_0)$ [/mm] gibt, sodaß [mm] $d(f(x_0),f(x))<\varepsilon$ [/mm] für jedes $x$ mit [mm] $d(x,x_0)<\delta(\varepsilon,x_0)$ [/mm] folgt.

(Da hier die Metrik wohl die euklidische Metrik sein soll, kann man auch einfach schreiben: [mm] $\vert f(x_0)-f(x)\vert<\varepsilon$ [/mm] bzw. [mm] $\vert x-x_0\vert<\delta(\varepsilon,x_0)$.) [/mm]


-------------------------------

Erstmal würde ich den Fall [mm] $x_0=0$ [/mm] untersuchen:

[mm] $\vert f(x)-f(x_0)\vert=\vert f(x)\vert=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x-x_0\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert<\delta\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert [/mm] $

Komme hier leider nicht weiter...

KORREKTUR (Edit):
Das war doof von mir.

Man kann's doch einfach so machen:

[mm] $\vert f(x)-f(x_0)\vert=...=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert~<~\vert x\vert=\vert x-x_0\vert [/mm] < [mm] \varepsilon=:\delta$ [/mm]

Richtig so?


Kann ich einen Tipp haben, wie es bei [mm] $x_0\neq [/mm] 0$ geht? Ich denke ähnlich, bekomme es aber nicht hin.

        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Mi 29.02.2012
Autor: leduart

Hallo
was weisst du denn über die maximale größe von sin(1/x)

Grad seh ich, dass du das schon Ohne Begründung, die du dazuschreiben solltest hattest, richtig.  
ausserhalb x=0 ist nichts zu tun das  ist die Komposition von 2 stetigen fkt. und deshalb stetig.
gruss leduart

Bezug
                
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Stetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Mi 29.02.2012
Autor: mikexx

Vielen lieben Dank für die bisherigen Antworten!


Für den Fall, daß [mm] $x_0\neq [/mm] 0$ gilt, kann ich, wie Du sagst, einfach sagen, daß die Komposition zweier stetiger Funktionen stetig ist, okay. Aber in der Aufgabenstellung steht ja, daß man die Stetigkeit explizit mit dem Epsilon-Delta-Kriterium zeigen soll.

Daher weiß ich nicht, ob die Argumentation mit der Komposition hier angemessen ist.


Wie ließe sich das denn mit dem Kriterium zeigen?


LG mikexx

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Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 29.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo mikexx,


> Vielen lieben Dank für die bisherigen Antworten!
>  
>
> Für den Fall, daß [mm]x_0\neq 0[/mm] gilt, kann ich, wie Du sagst,
> einfach sagen, daß die Komposition zweier stetiger
> Funktionen stetig ist, okay. Aber in der Aufgabenstellung
> steht ja, daß man die Stetigkeit explizit mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium zeigen soll.
>  
> Daher weiß ich nicht, ob die Argumentation mit der
> Komposition hier angemessen ist.

Normalerweise freuen sich Korrekteure über derartige Bemerkungen, da sie zeigen, dass man was verstanden hat und sich nicht unnötig Arbeit macht, sondern nur die "kritische(n)" Stelle(n) untersucht.

Ansonsten mache eine Fallunterscheidung: 1) [mm]x_0=0[/mm], 2) [mm]x_0\neq 0[/mm]

>  
>
> Wie ließe sich das denn mit dem Kriterium zeigen?

Einfach ansetzen, das Gute ist, dass du den Sinus immer betraglich nach oben gegen 1 abschätzen kannst ...

>  
>
> LG mikexx

Gruß

schachuzipus


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Stetigkeit zeigen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:50 Mi 29.02.2012
Autor: mikexx

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Diejenigen, die korrigieren, freuen sich sicher über weniger Korrekturarbeit, aber die Aufgabenstellung muß man ja einhalten und da steht, man soll das Epsilon-Delta-Kriterium verwenden.
------------------------

Den Fall, daß $x_0=0$ ist, habe ich ja schon gelöst.

Bleibt $x_0\neq 0$:

Da würde ich also wieder so anfangen und die Dreiecksungleichung benutzen:

$\vert f(x)-f(x_0)\vert=\left\vert x\sin\frac{1}{x}-x_0\sin\frac{1}{x_0\right\vert\leq\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert+\left\vert x_0\sin\frac{1}{x_0}\right\vert\leq\vert x\vert+\vert x_0\vert$


Jetzt hänge ich allerdings...

Bezug
                                        
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Stetigkeit zeigen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 02.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Mi 29.02.2012
Autor: fred97


> [mm]\mathbb R\to\mathbb R[/mm],
>
> [mm]$x\mapsto\begin{cases}x\sin\frac{1}{x} & \text{falls}~x\neq 0\\ 0 & \text{falls}~x=0 \end{cases}$[/mm]
>  
> Zeigen Sie mittels des Epsilon-Delta-Kriteriums für
> Stetigkeit, daß diese Funktion in jedem [mm]x\in \mathbb R[/mm]
> stetig ist.
>  
>
>
> Hallo, ich tu' mich mal wieder schwer beim Nachweis der
> Stetigkeit.
>  
> Ich muss zeigen, daß es für jedes [mm]x_0\in\mathbb R[/mm] und
> für jedes [mm]\varepsilon~>~0[/mm] ein [mm]\delta(\varepsilon,x_0)[/mm]
> gibt, sodaß [mm]d(f(x_0),f(x))<\varepsilon[/mm] für jedes [mm]x[/mm] mit
> [mm]d(x,x_0)<\delta(\varepsilon,x_0)[/mm] folgt.
>  
> (Da hier die Metrik wohl die euklidische Metrik sein soll,
> kann man auch einfach schreiben: [mm]\vert f(x_0)-f(x)\vert<\varepsilon[/mm]
> bzw. [mm]\vert x-x_0\vert<\delta(\varepsilon,x_0)[/mm].)
>  
>
> -------------------------------
>  
> Erstmal würde ich den Fall [mm]x_0=0[/mm] untersuchen:
>  
> [mm]\vert f(x)-f(x_0)\vert=\vert f(x)\vert=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert=\vert x-x_0\vert\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert<\delta\cdot\left\vert\sin\frac{1}{x}\right\vert[/mm]
>  
> Komme hier leider nicht weiter...
>  
> KORREKTUR (Edit):
>  Das war doof von mir.
>  
> Man kann's doch einfach so machen:
>  
> [mm]\vert f(x)-f(x_0)\vert=...=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert~<~\vert x\vert=\vert x-x_0\vert < \varepsilon=:\delta[/mm]

Mit dem "<" wäre ich vorsichtig.

Besser:

[mm]\vert f(x)-f(x_0)\vert=...=\left\vert x\sin\frac{1}{x}\right\vert~ \le ~\vert x\vert=\vert x-x_0\vert < \varepsilon=:\delta[/mm]

FRED

>  
> Richtig so?
>  
>
> Kann ich einen Tipp haben, wie es bei [mm]x_0\neq 0[/mm] geht? Ich
> denke ähnlich, bekomme es aber nicht hin.


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