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Forum "Prozesse und Matrizen" - Stochastische Prozesse
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Stochastische Prozesse: Prozessdiagramm aufstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mo 11.12.2017
Autor: Pacapear

Aufgabe
Die Entwicklung eines Käfers beschreibt das folgende Modell:
Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, nach einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die nach einem Monat Eier und dann sterben.
- Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die anderen Eier werden von Tieren gefressen oder verenden.
- Von den Larven wird die Hälfte zu Käfern, die andere Hälfte stirbt.
- Jeder Käfer legt 8 Eier.

a) Erstellen Sie ein Prozessdiagramm für diesen stochastischen Prozess.

b) Geben Sie die linearen Gleichungen der Berechnungsvorschrift an, mit der man aus einer vorhandenen Verteilung die Verteilung einen Monat später berechnen kann.

c) 100 Käfereier wurden in ein Terrarium abgelegt. Bestimmen Sie die Anzahl an Eiern, Larven und Käfern nach einem, zwei und drei Monaten.

Hallo zusammen.

Ich hänge hier an der Teilaufgabe a).

Ich habe mir überlegt, dass das Diagramm 4 Knoten haben müsste: E (Eier), L (Larven), K (Käfer) und T (verstorben).

Von E zu L habe ich 0,25, von E zu T 0,75, von L zu K 0,5 und von L zu T 0,5.

Ich weiß aber nicht, wie ich die Information einarbeiten soll, dass Käfer 8 Eier legen und danach sterben. Von K zu T wären ja 100% und von K zu E 800%, aber das geht ja nicht.

Hat jemand eine Idee?

Danke.

VG, Nadine

        
Bezug
Stochastische Prozesse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 11.12.2017
Autor: angela.h.b.


> Die Entwicklung eines Käfers beschreibt das folgende
> Modell:
>  Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, nach
> einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die nach
> einem Monat Eier und dann sterben.
>  - Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die
> anderen Eier werden von Tieren gefressen oder verenden.
>  - Von den Larven wird die Hälfte zu Käfern, die andere
> Hälfte stirbt.
>  - Jeder Käfer legt 8 Eier.
>  
> a) Erstellen Sie ein Prozessdiagramm für diesen
> stochastischen Prozess.
>  
> b) Geben Sie die linearen Gleichungen der
> Berechnungsvorschrift an, mit der man aus einer vorhandenen
> Verteilung die Verteilung einen Monat später berechnen
> kann.
>  
> c) 100 Käfereier wurden in ein Terrarium abgelegt.
> Bestimmen Sie die Anzahl an Eiern, Larven und Käfern nach
> einem, zwei und drei Monaten.
>  Hallo zusammen.
>  
> Ich hänge hier an der Teilaufgabe a).
>  
> Ich habe mir überlegt, dass das Diagramm 4 Knoten haben
> müsste: E (Eier), L (Larven), K (Käfer) und T
> (verstorben).

Hallo,

die Verstorbenen brauchst Du nicht.

>  
> Von E zu L habe ich 0,25, von E zu T 0,75, von L zu K 0,5
> und von L zu T 0,5.

> Ich weiß aber nicht, wie ich die Information einarbeiten
> soll, dass Käfer 8 Eier legen und danach sterben. Von K zu
> T wären ja 100% und von K zu E 800%, aber das geht ja
> nicht.

Von K zu E hat man 800%, genau so, wie Du sagst.
Daß keine Käfer überleben, hast Du eingebaut, wenn Du Dir überlegst,
daß der Übergang von K zu K nicht vorkommt.

LG Angela


>  
> Hat jemand eine Idee?
>  
> Danke.
>  
> VG, Nadine


Bezug
                
Bezug
Stochastische Prozesse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Mo 11.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> Von K zu E hat man 800%, genau so, wie Du sagst.
>  Daß keine Käfer überleben, hast Du eingebaut, wenn Du
> Dir überlegst,
>  daß der Übergang von K zu K nicht vorkommt.

Ich dachte immer, die Summe aller an einem abgehenden Knoten muss 1 ergeben?

VG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Prozesse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:21 Di 12.12.2017
Autor: angela.h.b.

Moin!

> > Von K zu E hat man 800%, genau so, wie Du sagst.
>  >  Daß keine Käfer überleben, hast Du eingebaut, wenn
> Du
> > Dir überlegst,
>  >  daß der Übergang von K zu K nicht vorkommt.
>  
> Ich dachte immer, die Summe aller an einem abgehenden
> Knoten muss 1 ergeben?

Es gibt Problemstellungen, bei denen das der Fall ist,
wenn man nämlich mehrere Zustände hat, zwischen denen mit gewissen Wahrscheinlichkeiten gewechselt wird.

Das ist bei Deiner Aufgabenstellung jedoch nicht so,
wie Du ja selbst bemerkt hast. Die Käfer wechseln nicht in den Eizustand, sondern sie produzieren Eier.
(Stichworte: Populationsmatrix, Lesliematrix)

LG Angela



>  
> VG, Nadine


Bezug
                                
Bezug
Stochastische Prozesse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 Di 12.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> Es gibt Problemstellungen, bei denen das der Fall ist,
>  wenn man nämlich mehrere Zustände hat, zwischen denen
> mit gewissen Wahrscheinlichkeiten gewechselt wird.
>
> Das ist bei Deiner Aufgabenstellung jedoch nicht so,
> wie Du ja selbst bemerkt hast. Die Käfer wechseln nicht in
> den Eizustand, sondern sie produzieren Eier.
>  (Stichworte: Populationsmatrix, Lesliematrix)

Verstehe - Danke :-)

Bezug
                
Bezug
Stochastische Prozesse: dazugehörige Prozessmatrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 Di 12.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!

> Von K zu E hat man 800%, genau so, wie Du sagst.
>  Daß keine Käfer überleben, hast Du eingebaut, wenn Du
> Dir überlegst,
>  daß der Übergang von K zu K nicht vorkommt.

Ist das dann die zugehörige Prozessmatrix?

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0} [/mm]

VG, Nadine

Bezug
                        
Bezug
Stochastische Prozesse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Di 12.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > Von K zu E hat man 800%, genau so, wie Du sagst.
> > Daß keine Käfer überleben, hast Du eingebaut, wenn
> Du
> > Dir überlegst,
> > daß der Übergang von K zu K nicht vorkommt.

>

> Ist das dann die zugehörige Prozessmatrix?

>

> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0}[/mm]

>

Die kann nicht stimmen. Selbst wenn man die Zeilen und Spalten nicht in der 'biologischen Reihenfolge' E, L, K anordnet passt sie nicht, denn die Anordnung von Zeilen und Spalten muss die gleiche Reihenfolge aufweisen.

So sollte es aussehen:

[mm]\pmat{ 0 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 8 & 0 & 0} [/mm]

Dabei sind Zeilen und Spalten in der Reihenfolge E, L, K angeordnet (ich bekomme hier im Matheraum leider keine zeilen- und Spaltenköpfe für Matrizen hin).

EDIT: diese Antwort ist falsch, siehe die folgenden Beiträge.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Stochastische Prozesse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Di 12.12.2017
Autor: Pacapear

Hallo!



>  > [mm]\pmat{ 0 & 0 & 8 \\ 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0}[/mm]

>  >
>  
> Die kann nicht stimmen. Selbst wenn man die Zeilen und
> Spalten nicht in der 'biologischen Reihenfolge' E, L, K
> anordnet passt sie nicht, denn die Anordnung von Zeilen und
> Spalten muss die gleiche Reihenfolge aufweisen.

Das verstehe ich nicht. Von links nach rechts habe ich E, L, K und von oben nach unten auch. Das ist doch die gleiche Reihenfolge?



> So sollte es aussehen:
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 8 & 0 & 0}[/mm]
>  
> Dabei sind Zeilen und Spalten in der Reihenfolge E, L, K
> angeordnet

Ich habe es immer so verstanden, dass die Spaltenköpfe die Ausgangssituation sind, und in der jeweilgen Zeile dann steht, wo es sich hinentwickelt. Deine Matrix würde für mich bedeuten, dass Eier 8 Käfer produzieren Larven zu 25% Eier und Käfer zu 50% Larven.

Ich bin grad verwirrt [verwirrt]

LG, Nadine


Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Prozesse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Di 12.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe es immer so verstanden, dass die Spaltenköpfe die
> Ausgangssituation sind, und in der jeweilgen Zeile dann
> steht, wo es sich hinentwickelt. Deine Matrix würde für
> mich bedeuten, dass Eier 8 Käfer produzieren Larven zu 25%
> Eier und Käfer zu 50% Larven.

>

> Ich bin grad verwirrt [verwirrt]

Sorry, ja das war ein Fehler (ich hatte die Vorgehensweise bei Bedarfsmatrizen zugrunde gelegt, ohne weiter darüber nachzudenken).

Deine ursprüngliche Version ist richtig (und ich gehe mir jetzt noch einen Kaffee holen...).


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Prozesse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Di 12.12.2017
Autor: Pacapear

Danke :-)

Bezug
                                        
Bezug
Stochastische Prozesse: Beschriftung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Di 12.12.2017
Autor: rabilein1

> [mm]\pmat{ 0 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 8 & 0 & 0}[/mm]

Es ist sicherlich eine Hilfe für dich (und jeden, der das liest), wenn die Zeilen (links) und Spalten (oben) beschriftet sind.

Dann lässt sich leichter nachvollziehen, was die einzelnen Zahlen bedeuten, und eventuelle logische Fehler lassen sich schneller aufdecken.  






Bezug
                                                
Bezug
Stochastische Prozesse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Di 12.12.2017
Autor: Diophant


> Es ist sicherlich eine Hilfe für dich (und jeden, der das
> liest), wenn die Zeilen (links) und Spalten (oben)
> beschriftet sind.

Anstatt hier den Ober-Schlaumeier zu spielen könntest du uns ja einen LaTeX-Code dafür verraten, der hier im Forum funktioniert?

Bezug
                                                        
Bezug
Stochastische Prozesse: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Di 12.12.2017
Autor: rabilein1

  
> Anstatt hier den Ober-Schlaumeier zu spielen könntest du uns ja einen LaTeX-Code dafür verraten, der hier im Forum funktioniert?

Ich bin kein Oberschlaumeier (im Gegensatz zu manchem Oberlehrer - der wiederum kein Oberlehrer sein will).

Und es geht auch gar nicht so sehr um den Matheraum, wo eben LaTex-mäßig nicht alles so fein läuft wie auf einem Blatt Papier. Und dort - auf ebenjenem Blatt Papier - ist eine Beschriftung der Spalten und Zeilen hilfreich.

Also: Bevor man auf einem Taschenrechner rumtippselt, muss man sich ja überlegen, was der Rechner rechnen soll, denn ansosnten rechnet der Rechner jeden Unsinn zusammen, den man ihm eingibt.


Bezug
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