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Stochastisches Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:19 So 28.05.2017
Autor: Thomas_Aut

Hallo,


Wir betrachten zwei adaptierte Prozesse [mm] $(X_t), (Y_t)$ [/mm] und suchen einen adaptierten Prozess [mm] $(Z_t)$ [/mm] mit

[mm] $Z_t [/mm] = [mm] \int_{0}^{t}X_s dY_s$ [/mm]

nun ist mir klar, dass, sofern beispielsweise Y von unendlicher Variation ist, das Lebesque-Stieltjes oder Riemann-Stieltjes Integral pfadweise versagen.
Für stetiges X und für Y von endlicher Variation, so funktioniert beispielsweise das R-S-Integral sehr wohl.

Naja wie auch immer : also müssen wir unseren Integralbegriff erweitern und landen also beim Ito-Integral.

Da interessiert mich allerdings der Aufbau (also von sehr einfachen Integranden/Integratoren bishin zu doch eher schon allgemeinen Klassen stoch. Prozesse)


Es sei bemerkt, dass ich das Folgende so schreibe, wie ich es aus der Vorlesung (bereits doch 2-3 jahre her) in Erinnerung habe :


Setting: Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, [/mm] F , [mm] \mathbb{P})$, [/mm] Filtration [mm] $F_t$, [/mm] Stoppzeiten $S [mm] \le [/mm] T$ und eine beschränkte ZV Z, die [mm] F_s [/mm] messbar ist.


1) Man beginnt mal mit einfachen Integranden, also Integranden der Bauart

$H = Z [mm] \cdot \mathbbl{I}_{(s , t]}$ [/mm]

und erhält als intuitives Integral $(H [mm] \bullet X)_t [/mm] = [mm] Z(X_{T \wedge t} [/mm] - [mm] X_{S \wedge t}) [/mm] = [mm] \int_{0}^{t}H_s dX_s$ [/mm] , welche Anforerungen muss ich hier an X stellen ?

2) danach erweiteren wir auf Prozesse der Form
$H = [mm] \sum_{i=1}^{n} Z_i \cdot \mathbbl{I}_{(S_i , T_i]}$ [/mm]

und erhalten :  $(H [mm] \bullet X)_t [/mm] = [mm] Z_i(X_{T_i \wedge t} [/mm] - [mm] X_{S_i \wedge t})$ [/mm]

auch hier: was muss ich von X verlangen?

wenn das mal geklärt ist, werde ich über die Martigal-integranden schreiben.


LG und Dank

THomas

        
Bezug
Stochastisches Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Di 30.05.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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