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Summation/Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 So 13.08.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo,

ich weiß nicht, ob ich in diesem Unterforum richtig bin, aber ich denke, dass mein Problem ein kombinatorisches Problem ist.
Ich habe Probleme die folgende Gleichung zu verstehen:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und 1 [mm] \le [/mm] d [mm] \le [/mm] n. Sei [mm] D_d [/mm] die Menge der d-elementigen Teilmengen von {1,..,n}.
Ich möchte folgende Gleichung zeigen:

[mm] \sum_{j=1}^{n} \sum_{J,K,L,M \in D_d :j \in J \cap K \cap L \cap M} E(W_J W_K W_L W_M) [/mm]
= [mm] \sum_{(J,K,L,M) \in D_d^4 : J \cap K \cap L \cap M \neq \emptyset} [/mm] | J [mm] \cap [/mm] K [mm] \cap [/mm] L [mm] \cap [/mm] M | [mm] E(W_J W_K W_L W_M) [/mm]

Dabei bezeichnet E(.) den Erwartungswert und [mm] W_J, W_K, W_L, W_M [/mm] Zufallsvariablen, die eine Menge als Index besitzen.
Wie diese genau definiert sind, ist für obige Gleichung, meiner Einschätzung nach, nicht wichtig, daher will ich hier nicht unnötige Details auflisten.

Hat jemand eine Idee, warum diese Gleichung gültig ist?

Grüße
Die_Suedkurve

        
Bezug
Summation/Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Mi 23.08.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo Südkurve,

dein Problem ist nicht mal ein kombinatorisches, sondern ein reines Abzählproblem: Auf der linken Seite suchst du zu jedem j alle Kombinationen von J,K,L,M so dass j im Schnitt liegt und erhälst pro Treffer einen Summanden. Insbesondere erhältst du für verschiedene js dieselben Summanden mehrfach, wenn diese js alle im selben Schnitt von J,K,L,M liegen. Und zwar gerade so oft wie es Elemente im Schnitt gibt. Und genau das steht auf der rechten Seite in Formeln.

Gruß,
Gono



Bezug
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