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Summe von Teilstrecken: Ansatzprüfung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A (0;3) und B (4;5).

Auf der x−Achse ist ein Punkt P so zu bestimmen, dass die Summe der Entfernungen [mm] l=\overline{AP}+\overline{BP} [/mm] minimal wird.

Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:

[mm] \overline{AP}=\wurzel{x^{2}+9} [/mm] ; [mm] \overline{BP}=\wurzel{(4-x)^{2}+5} [/mm]

[mm] \rightarrow l=\wurzel{x^{2}+9} [/mm] + [mm] \wurzel{(4-x)^{2}+5} [/mm]

Stimmt das bis hierhin? Dann würde ich die nächsten Schritte posten.

        
Bezug
Summe von Teilstrecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Sa 19.01.2013
Autor: Adamantin


> Gegeben sind die Punkte A (0;3) und B (4;5).
>  
> Auf der x−Achse ist ein Punkt P so zu bestimmen, dass die
> Summe der Entfernungen [mm]l=\overline{AP}+\overline{BP}[/mm]
> minimal wird.
>  Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
>  
> [mm]\overline{AP}=\wurzel{x^{2}+9}[/mm] ;
> [mm]\overline{BP}=\wurzel{(4-x)^{2}+5}[/mm]

Hier fehlt das Quadrat der y-Koordinate

>  
> [mm]\rightarrow l=\wurzel{x^{2}+9}[/mm] + [mm]\wurzel{(4-x)^{2}+5}[/mm]
>  
> Stimmt das bis hierhin? Dann würde ich die nächsten
> Schritte posten.

bis auf den Fehler oben alles gut.
Jap das sieht sehr gut aus, Entfernung ist der Abstand der Koordinaten im Quadrat und Wurzel drüber. Und die Summe ist die Summe, denke, das passt also ;)


Bezug
                
Bezug
Summe von Teilstrecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Das war ein Tippfehler, sollte natürlich 25 sein. Vielen Dank, ich mach mal weiter:


[mm] l'=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+9}}+(x-4)*(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-8x+41}}) [/mm]

richtig?

Bezug
                        
Bezug
Summe von Teilstrecken: korrekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Sa 19.01.2013
Autor: Adamantin


> Das war ein Tippfehler, sollte natürlich 25 sein. Vielen
> Dank, ich mach mal weiter:
>  
>
> [mm]l'=\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+9}}+(x-4)*(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-8x+41}})[/mm]
>  
> richtig?

Mein Fehler, hatte nicht daran gedacht, dass du -(4-x) zu (x-4) machst und ausklammerst. Ja dein Ergebnis ist korrekt ;)

Bezug
                                
Bezug
Summe von Teilstrecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Ja, da es eine bin. formel ist, habe ich die aufgelöst. und dann mit der Kettenregel abgeleitet. Hätte ich das nicht getan, hätte ich die Kettenregel ein zweites mal anwenden müssen. Somit habe ich deine -1 mit meinem Schritt bereits erledigt ...

Kann das jemand überprüfen?

Bezug
                                        
Bezug
Summe von Teilstrecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Sa 19.01.2013
Autor: Fulla

Hallo Lewser,

deine Ableitung stimmt [ok]

Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                                                
Bezug
Summe von Teilstrecken: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Vielen Dank, ich habe jetzt auch ein plausibles ergebnis herausbekommen.

Bezug
        
Bezug
Summe von Teilstrecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Sa 19.01.2013
Autor: Fulla

Hallo Lewser!

> Gegeben sind die Punkte A (0;3) und B (4;5).
>  
> Auf der x−Achse ist ein Punkt P so zu bestimmen, dass die
> Summe der Entfernungen [mm]l=\overline{AP}+\overline{BP}[/mm]
> minimal wird.

Wenn du das nicht mit der Ableitung lösen musst, kannst du auch das Reflexionsgesetz benutzen:
Spiegle einen Punkt (z.B. A) an der x-Achse, stelle eine Gleichung für die Gerade A'B auf und berechne die Nullstelle.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Lieben Gruß,
Fulla


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Bezug
Summe von Teilstrecken: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Das klingt sehr interessant, aber ich verstehe es leider nicht ganz.
Wieso ist mir  damit geholfen? kann ich nicht trotzdem noch den Punkt P beliebig verschieben?

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Bezug
Summe von Teilstrecken: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Habe mich verklickt, Entschuldigung! Meine Mitteilung sollte eine Frage sein.
Damit es nicht zu verwirrend wird noch einmal der Originalpost:

Das klingt sehr interessant, aber ich verstehe es leider nicht ganz.
Wieso ist mir  damit geholfen? kann ich nicht trotzdem noch den Punkt P beliebig verschieben?

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Summe von Teilstrecken: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Sa 19.01.2013
Autor: Fulla

Hallo nochmal,

nun, du suchst ja die kürzeste Verbindung zwischen A und B mit einem "Umweg" über die x-Achse.
Egal, wo du P hinlegst, ist der Abstand zwischen A und P genauso lang, wie der Abstand zwischen A' und P (wobei A' durch Spiegelung von A an der x-Achse entsteht).
Wenn P jetzt "nicht richtig" gewählt wurde, ist die Verbindung A'PB keine Gerade, also nicht der kürzeste Weg.

Lieben Gruß,
Fulla


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Bezug
Summe von Teilstrecken: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Sa 19.01.2013
Autor: Lewser

Stimmt, wenn ich den verschiebe, dann habe ich ja keine Geraden mehr.
Habs gemacht und dabei ganz nebenbei herausgefunden, dass ich mich beim Extremwertumweg verrechnet habe.

Habe bei diesem Weg [mm] \bruch{3}{2} [/mm] heraus und beim Extremwert [mm] \bruch{3\wurzel{3}}{2} [/mm]

Da schau ich noch mal drüber. Vielen Dank für den Hinweis auf diese Methode!

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