matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenSummenabschätzung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Summenabschätzung
Summenabschätzung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Summenabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:56 Mi 16.07.2014
Autor: Reticella

Aufgabe
Für alle [mm]N,m \geq 1[/mm] gilt
[mm] \sum_{k=1}^{N^m} k^\frac{-(m-1)}{m} \leq N \cdot m ~ . [/mm]



Hallo,

obige Abschätzung kommt in einem Beweis vor, den ich für meine Masterarbeit verstehen möchte. Das sieht so einfach aus, aber ich bekomme es einfach nicht hin. Versucht habe ich schon Induktion nach $N$ und $m$ sowie alle einfachen Abschätzungen - nichts klappt. Tests mit Wolfram Alpha besteht die Ungleichung aber. Hat irgendjemand eine Idee? Sieht ja ein bisschen aus wie eine verallgemeinerte harmonische Reihe oder die Partialsumme einer Dirichlet-Reihe...
Vielleicht sieht es ja auch einfach jemand direkt oder hat so etwas schon einmal gesehen?

Über jegliche Hilfe/Anregungen wäre ich dankbar,
viele Grüße,
Reticella
 

        
Bezug
Summenabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 Mi 16.07.2014
Autor: Leopold_Gast

Betrachte die Funktion [mm]f_m[/mm] mit [mm]f_m(x) = x^{\frac{1}{m} - 1}[/mm] für [mm]x \geq 1[/mm]. Wegen [mm]m \geq 1[/mm] ist sie monoton fallend. Daher gilt:

[mm]\sum_{k=2}^{N^m} k^{\frac{1}{m} - 1} \leq \int_1^{N^m} f_m(x) ~ \mathrm{d}x \ = \ (N-1) \cdot m[/mm]

Die Ungleichung besteht, weil die linke Seite eine Untersumme des Integrals ist (zur Intervallbreite [mm]\Delta x = 1[/mm]). Jetzt noch auf beiden Seiten 1 addieren und die rechte Seite trivial durch [mm]N \cdot m[/mm] abschätzen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]