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Supremum: Supremum einer Definitionsm.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Sa 27.02.2016
Autor: SoWhat

Aufgabe
[mm] D=\{e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3)|x,y\ge 0\} [/mm]

Bestimme Inf. und Sup.

Hallo,
das Infimum habe ich bereits gefunden (-3). Das konnte man aus der Definitionsmenge herleiten.
Beim Supremum bin ich letant verzweifelt...
Gibt es ein allgemeines Vorgehen? Was ich suche, obere Schranke ist klar und auch die Definition davon verstehe ich, nur habe ich probleme mit diesen Aufgabentypen bei der konkreten Berechnung...

Wenn ich nun nicht auf das Supremum über die Definitionsmenge komme, wie gehe ich dann vor?
Weiter: eine konkrete Frage zur vorhandenen Lösung dieser Aufgabe:

Es wird bei der Suche nach dem Sup so angefangen:
"Alle Punkte [mm] \in D\not=(0,0) [/mm]  liegen auf einer Geraden x+y=a, a>0."
Wie komme ich auf diese Behauptung?


Vielen lieben Dank schonmal!


        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 So 28.02.2016
Autor: hippias


> [mm]D=\{e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3)|x,y\ge 0\}[/mm]
>  
> Bestimme Inf. und Sup.
>  Hallo,
> das Infimum habe ich bereits gefunden (-3). Das konnte man
> aus der Definitionsmenge herleiten.
>  Beim Supremum bin ich letant verzweifelt...
>  Gibt es ein allgemeines Vorgehen? Was ich suche, obere
> Schranke ist klar und auch die Definition davon verstehe
> ich, nur habe ich probleme mit diesen Aufgabentypen bei der
> konkreten Berechnung...
>  
> Wenn ich nun nicht auf das Supremum über die
> Definitionsmenge komme, wie gehe ich dann vor?

Ich weiss nicht, was Du mit "auf das Supremum über die
Definitionsmenge kommen" meinst. Da $D$ einfach das Bild der Funktion [mm] $\{(x,y)|x,y\geq 0\}\to e^{-(x+y)}(x^{2}+y^{2}+xy-3)$ [/mm] ist, kannst Du versuchen mit den üblichen Mitteln der Differentialrechnung die globalen Maxima und Minima dieser Funktion zu bestimmen: diese liefern Infimum und Supremum.

>  Weiter: eine konkrete Frage zur vorhandenen Lösung dieser
> Aufgabe:
>  
> Es wird bei der Suche nach dem Sup so angefangen:
>  "Alle Punkte [mm]\in D\not=(0,0)[/mm]  liegen auf einer Geraden
> x+y=a, a>0."
>  Wie komme ich auf diese Behauptung?

Scheinbar gar nicht? Jedenfalls beschreiben die Mengen [mm] $\{(x,y)|x+y=a\}$ [/mm] stets eine Gerade (mit der Gleichung $y= a-x$) und jeder Punkt [mm] $(x_{0}|y_{0})$ [/mm] liegt auf einer solchen mit $a:= [mm] x_{0}+y_{0}$. [/mm] O.K.?

>  
>
> Vielen lieben Dank schonmal!
>  


Bezug
        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> [mm]D=\{e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3)|x,y\ge 0\}[/mm]
>  
> Bestimme Inf. und Sup.
>  Hallo,
> das Infimum habe ich bereits gefunden (-3). Das konnte man
> aus der Definitionsmenge herleiten.

Ein wenig genauer solltest Du schon sein !  

Wir setzen [mm] $Q:=\{(x,y) \in \IR^2: x,y \ge 0\}$ [/mm] und [mm] f(x,y):=e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3). [/mm]

Für (x,y) [mm] \in [/mm] Q ist f(x,y) [mm] \ge [/mm] -3 und f(0,0)=-3. Damit haben wir:

  [mm] $\inf [/mm] D= [mm] \min [/mm] D=-3$



>  Beim Supremum bin ich letant verzweifelt...
>  Gibt es ein allgemeines Vorgehen? Was ich suche, obere
> Schranke ist klar und auch die Definition davon verstehe
> ich, nur habe ich probleme mit diesen Aufgabentypen bei der
> konkreten Berechnung...
>  
> Wenn ich nun nicht auf das Supremum über die
> Definitionsmenge komme, wie gehe ich dann vor?
>  Weiter: eine konkrete Frage zur vorhandenen Lösung dieser
> Aufgabe:
>  
> Es wird bei der Suche nach dem Sup so angefangen:
>  "Alle Punkte [mm]\in D\not=(0,0)[/mm]  liegen auf einer Geraden
> x+y=a, a>0."
>  Wie komme ich auf diese Behauptung?

Was das soll, ist mir nicht klar.

Zum Supremum/Maximum:

1. Zeige: $ f(x,y) [mm] \to [/mm] 0$ für $||(x,y)|| [mm] \to \infty$. [/mm] Es gibt also ein r>0 mit $|f(x,y)| [mm] \le [/mm] 1$ für $||(x,y)||>r.$

2. $ K:=Q [mm] \cap \{(x,y) \in \IR^2: ||(x,y)|| \le r\}$ [/mm] ist kompakt. f ist stetig auf K, also ist f auf K beschränkt.

3. Aus 1. und 2. folgt: f ist auf Q beschränkt.

4. Zeige: f hat auf [mm] $Q^{o}:=\{(x,y) \in \IR^2: x,y > 0\}$ [/mm] keine stationären Punkte.

5. Aus 3. und 4. folgt: die Funktion f nimmt ihr Maximum auf $ [mm] \partial [/mm] Q$ an.

6. Untersuchung auf $ [mm] \partial [/mm] Q$: aus Symmetriegründen genügt es, die Funktion

   g(t):=f(t,0) auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm]

zu untersuchen. Zeige: es gibt genau ein [mm] $t_0 \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm]  mit

     [mm] $\max \{g(t): t \in [0, \infty) \}=g(t_0)$ [/mm]

7. Fazit:

    [mm] $\max D=g(t_0)$ [/mm]


FRED

>  
>
> Vielen lieben Dank schonmal!
>  


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