matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisSupremum
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Funktionalanalysis" - Supremum
Supremum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Supremum: Supremum einer Definitionsm.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Sa 27.02.2016
Autor: SoWhat

Aufgabe
[mm] D=\{e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3)|x,y\ge 0\} [/mm]

Bestimme Inf. und Sup.

Hallo,
das Infimum habe ich bereits gefunden (-3). Das konnte man aus der Definitionsmenge herleiten.
Beim Supremum bin ich letant verzweifelt...
Gibt es ein allgemeines Vorgehen? Was ich suche, obere Schranke ist klar und auch die Definition davon verstehe ich, nur habe ich probleme mit diesen Aufgabentypen bei der konkreten Berechnung...

Wenn ich nun nicht auf das Supremum über die Definitionsmenge komme, wie gehe ich dann vor?
Weiter: eine konkrete Frage zur vorhandenen Lösung dieser Aufgabe:

Es wird bei der Suche nach dem Sup so angefangen:
"Alle Punkte [mm] \in D\not=(0,0) [/mm]  liegen auf einer Geraden x+y=a, a>0."
Wie komme ich auf diese Behauptung?


Vielen lieben Dank schonmal!


        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 So 28.02.2016
Autor: hippias


> [mm]D=\{e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3)|x,y\ge 0\}[/mm]
>  
> Bestimme Inf. und Sup.
>  Hallo,
> das Infimum habe ich bereits gefunden (-3). Das konnte man
> aus der Definitionsmenge herleiten.
>  Beim Supremum bin ich letant verzweifelt...
>  Gibt es ein allgemeines Vorgehen? Was ich suche, obere
> Schranke ist klar und auch die Definition davon verstehe
> ich, nur habe ich probleme mit diesen Aufgabentypen bei der
> konkreten Berechnung...
>  
> Wenn ich nun nicht auf das Supremum über die
> Definitionsmenge komme, wie gehe ich dann vor?

Ich weiss nicht, was Du mit "auf das Supremum über die
Definitionsmenge kommen" meinst. Da $D$ einfach das Bild der Funktion [mm] $\{(x,y)|x,y\geq 0\}\to e^{-(x+y)}(x^{2}+y^{2}+xy-3)$ [/mm] ist, kannst Du versuchen mit den üblichen Mitteln der Differentialrechnung die globalen Maxima und Minima dieser Funktion zu bestimmen: diese liefern Infimum und Supremum.

>  Weiter: eine konkrete Frage zur vorhandenen Lösung dieser
> Aufgabe:
>  
> Es wird bei der Suche nach dem Sup so angefangen:
>  "Alle Punkte [mm]\in D\not=(0,0)[/mm]  liegen auf einer Geraden
> x+y=a, a>0."
>  Wie komme ich auf diese Behauptung?

Scheinbar gar nicht? Jedenfalls beschreiben die Mengen [mm] $\{(x,y)|x+y=a\}$ [/mm] stets eine Gerade (mit der Gleichung $y= a-x$) und jeder Punkt [mm] $(x_{0}|y_{0})$ [/mm] liegt auf einer solchen mit $a:= [mm] x_{0}+y_{0}$. [/mm] O.K.?

>  
>
> Vielen lieben Dank schonmal!
>  


Bezug
        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Mo 29.02.2016
Autor: fred97


> [mm]D=\{e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3)|x,y\ge 0\}[/mm]
>  
> Bestimme Inf. und Sup.
>  Hallo,
> das Infimum habe ich bereits gefunden (-3). Das konnte man
> aus der Definitionsmenge herleiten.

Ein wenig genauer solltest Du schon sein !  

Wir setzen [mm] $Q:=\{(x,y) \in \IR^2: x,y \ge 0\}$ [/mm] und [mm] f(x,y):=e^{-(x+y)}\cdot(x^2+y^2+xy-3). [/mm]

Für (x,y) [mm] \in [/mm] Q ist f(x,y) [mm] \ge [/mm] -3 und f(0,0)=-3. Damit haben wir:

  [mm] $\inf [/mm] D= [mm] \min [/mm] D=-3$



>  Beim Supremum bin ich letant verzweifelt...
>  Gibt es ein allgemeines Vorgehen? Was ich suche, obere
> Schranke ist klar und auch die Definition davon verstehe
> ich, nur habe ich probleme mit diesen Aufgabentypen bei der
> konkreten Berechnung...
>  
> Wenn ich nun nicht auf das Supremum über die
> Definitionsmenge komme, wie gehe ich dann vor?
>  Weiter: eine konkrete Frage zur vorhandenen Lösung dieser
> Aufgabe:
>  
> Es wird bei der Suche nach dem Sup so angefangen:
>  "Alle Punkte [mm]\in D\not=(0,0)[/mm]  liegen auf einer Geraden
> x+y=a, a>0."
>  Wie komme ich auf diese Behauptung?

Was das soll, ist mir nicht klar.

Zum Supremum/Maximum:

1. Zeige: $ f(x,y) [mm] \to [/mm] 0$ für $||(x,y)|| [mm] \to \infty$. [/mm] Es gibt also ein r>0 mit $|f(x,y)| [mm] \le [/mm] 1$ für $||(x,y)||>r.$

2. $ K:=Q [mm] \cap \{(x,y) \in \IR^2: ||(x,y)|| \le r\}$ [/mm] ist kompakt. f ist stetig auf K, also ist f auf K beschränkt.

3. Aus 1. und 2. folgt: f ist auf Q beschränkt.

4. Zeige: f hat auf [mm] $Q^{o}:=\{(x,y) \in \IR^2: x,y > 0\}$ [/mm] keine stationären Punkte.

5. Aus 3. und 4. folgt: die Funktion f nimmt ihr Maximum auf $ [mm] \partial [/mm] Q$ an.

6. Untersuchung auf $ [mm] \partial [/mm] Q$: aus Symmetriegründen genügt es, die Funktion

   g(t):=f(t,0) auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm]

zu untersuchen. Zeige: es gibt genau ein [mm] $t_0 \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm]  mit

     [mm] $\max \{g(t): t \in [0, \infty) \}=g(t_0)$ [/mm]

7. Fazit:

    [mm] $\max D=g(t_0)$ [/mm]


FRED

>  
>
> Vielen lieben Dank schonmal!
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]